Численное решение дифференциальных уравнений движения

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 48. Численное решение дифференциальных уравнений движения [c.140]

Весьма часто, составляя дифференциальные уравнения движения материальной точки, мы приходим к таким уравнениям, которые не могут быть проинтегрированы при помощи известных нам функций. В таких случаях приходится отказываться от точного аналитического решения задачи и искать приближенного ее решения. Существуют численные и графические методы приближенного решения дифференциальных уравнений В этом параграфе мы изложим простой прием численного решения дифференциальных уравнений движения, дающий достаточно точные результаты и не требующий большой затраты вычислительной работы. [c.140]

Изложенный в 48 прием численного решения дифференциального уравнения движения может быть применен и в таких случаях, когда аналитический вид функции х, х ), стоящей в правой части уравнения, рам не задан, а известны лишь значения этой функции Для ряда отдельных значений ее аргументов. [c.146]

Для случая вращательного движения звена приведения при условии, что М = М (ф) и = J (ф), рассмотрим метод численного решения дифференциального уравнения двил<ения механизма. Перепишем уравнение (22.9) в виде [c.284]

Устойчивость несущего винта с учетом аэроупругости может быть оценена путем численного решения нелинейных уравнений движения для определения переходного процесса. Недостаток такого подхода заключается в том, что для определения Переходного процесса требуется существенно больший объем вычислений, чем для получения периодического решения (которое, кстати говоря, должно быть определено как исходное состояние для переходного процесса), и в том, что по переходному процессу не так просто получить количественную информацию о полной динамике системы. Альтернативным подходом является расчет устойчивости с учетом аэроупругости при помощи методов теории линейных систем (см. разд. 8.6). Линейные дифференциальные уравнения описывают возмущенное движение несущего винта и вертолета относительно балансировочного положения. Затем устойчивость оценивается непосредственно по собственным значениям. При этом подходе основная трудность заключается в получении уравнений движения, описывающих систему, что является условием применения эффективного аппарата теории линейных систем. В случае рассмотрения всего вертолета при расчете устойчивости с учетом аэроупругости одновременно определяются динамические характеристики вертолета как жесткого тела, что также важно для характеристик устойчивости и управляемости. [c.692]

Одной из наиболее выигрышных тем, имеющих прикладное значение и дающих возможности для теоретического и практического освоения методов совместного применения аналитических и численных способов решения дифференциальных уравнений движения, является динамика систем с одной степенью свободы. Теоретическое изучение этой темы с решением несложных задач на практических занятиях возможно в курсах теоретической механики объемом от 50 до 102 лекционных часов, читаемых студентам большинства специальностей технических вузов выдачу соответствующего расчетно-графического задания можно рекомендовать в первую очередь для студентов механических специальностей. Отметим, что в силу универсальности темы, подбор интересных практических примеров возможен для студентов всех специальностей. [c.81]

Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая ломаная с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования И. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип [c.290]

В основу разработки алгоритма и программы решения на ЭВМ уравнений, описывающих динамические процессы в полученной эквивалентной модели, было положено численное интегрирование дифференциальных уравнений движения с использованием условий перехода с одного этапа движения на другой, определяемых функциями б,-. При этом особое внимание уделяется шагу интегрирования и точности перехода с одного этапа на другой [13]. Таким образом осуществляется численное моделирование процесса включения ФС. [c.326]

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29). [c.63]

В случае решения обратной задачи, т. е. при определении движения по заданным силам ввиду сложности решения дифференциального уравнения (21), часто применяется численное интегрирование. [c.492]

Основные вычислительные сложности при построении решения системы дифференциальных уравнений движения вынужденных колебаний (6.35) обусловлены определением полюсов подынтегральной функции еР N (р) F (р) и нахождением вычетов этой функции по соответствующим полюсам. Отыскание указанных выше полюсов связано с необходимостью решать алгебраические уравнения обычно высоких порядков, что осуществимо только численными методами. Отметим, что в ряде практически важных случаев не столько необходимо знать закон движения какого-либо из звеньев привода, сколько экстремальные значения динамических характеристик (момента двигателя, момента сил упругости в рассматриваемом соединении, скоростей звеньев). Следовательно, актуальной является проблема разработки эффективных приближенных методов, позволяющих с требуемой точностью оценить решение системы дифференциальных уравнений движения. [c.191]

Механические характеристики двигателей и рабочих машин представляют собой большей частью сложные зависимости и изображаются в виде кривых линий. Динамическое исследование механизмов во многих случаях целесообразно производить аналитическими методами с тем, чтобы можно было установить закономерности изменения основных параметров машинного агрегата. Это возможно в тех случаях, когда удается решить дифференциальные уравнения движения механизма и представить их решения в конечном виде. Если механические характеристики двигателя и рабочей машины представляют собой сложные функции кинематических параметров, то сделать это оказывается невозможным, и тогда для решения дифференциальных уравнений приходится применять численные или графические методы. Путем их применения получаются результаты частного характера, по которым нельзя сделать обобщающих выводов. [c.24]

В другом случае, т. е. когда в течение периода колебаний механизма величины реакций в кинематических парах изменяются существенно, задача резко усложняется вследствие того, что обобщенный момент сил трения оказывается нелинейной функцией обобщенной координаты и ее производной. При этом дифференциальное уравнение движения оказывается нелинейным, точное его решение, как правило, получить невозможно и для решения этой задачи во втором приближении обычно приходится обращаться к методам приближенного или численного интегрирования. [c.193]

До сих пор мы непосредственно решали дифференциальное уравнение энергии пограничного слоя. Рассматривались только те граничные условия, при которых существуют автомодельные решения. При других граничных условиях дифференциальные уравнения движения и энергии всегда можно записать в конечноразностном виде и получить численное решение. Другим плодотворным методом, который часто используется для получения приближенных решений инженерных задач, является решение интегрального уравнения энергии. [c.258]

Поскольку точное решение в общем виде дифференциальных уравнений движения твердой частицы и особенно газодисперсной среды в турбулентном потоке в настоящее время невозможно даже численными методами, при расчетном исследовании были приняты допущения о шарообразности частицы, а также отсутствии влияния на процесс движения частиц турбулентных пульсаций потока, нестационарности относительного движения частицы и силы противодавления.. [c.43]

Численное решение нелинейных дифференциальных уравнений движения (2.5), (2.8), (2.55), (2.61)... (2,65), (2.76), (2.81), (2.82), (2,87). .. (2.89) с переменной структурой, определяемой условиями (2,7), (2,56) (2.60), (2.66), (2.69), (2,83)... (2.86), осуществлялось на ЭВМ с использованием алгоритмического языка Модель, разработанного в ПО Союзтехэнерго , Этот язык совмещает преимущества аналогового и численных методов моделирования решаемые уравнения представляются в виде структуры, составляемой при аналоговом моделировании на АВМ, Для каждого типового элемента-оператора структуры была подготовлена программа численного выполнения операций на ЭВМ, [c.151]

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Инженеру очень часто приходится сталкиваться с ними при разработке новых изделий или технологических процессов, так как большая часть законов физики формулируется именно в виде дифференциальных уравнений. В сущности любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движения тел, в конечном счете сводится к решению дифференциальных уравнений. К сожалению, лишь очень немногие из них удается решить без помощи вычислительных машин. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в практике инженерных расчетов. [c.72]

Некоторое представление о численных значениях показателя и общих характеристиках движения дает упрощенное рассмотрение задачи, проведенное в работе [20]. Было построено точное частное решение дифференциальных уравнений автомодельного движения, которое является [c.656]

При исследовании (в общем виде) движения трех или нескольких тел встречаются большие затруднения решение дифференциальных уравнений не может быть получено в конечном виде - приходится прибегать к численному интегрированию составленных дифференциальных уравнений. В случае трех и более тел математически невозможно исследовать формы орбит и характер движения, за исключением некоторых частных случаев. [c.109]

Теория движения больших планет. Дифференциальные уравнения движения п тел интегрируются в небесной механике приближенно, с помощью разложения в ряды (аналитические методы) или численным интегрированием (численные методы). Если решение ищется в виде рядов, расположенных по степеням малых параметров, то такими параметрами обычно являются массы планет, так как масса даже самой большой планеты солнечной системы — Юпитера — в 1047 раз меньше массы Солнца. Малыми параметрами, по которым ведется разложение в ряды, являются также эксцентриситеты и наклоны орбит больших планет, так как все орбиты лежат почти точно в одной плоскости и мало отличаются от круговых. Члены ряда называются возмущениями или неравенствами и имеют следующую форму [c.6]

Одновременно и независимо от работ Копенгагенской обсерватории численные методы для разыскания периодических решений в ограниченной задаче трех тел были применены Дарвиным (1845—1912). Для соотношения масс Дарвин принял т. = . 0. Вначале Дарвин пытался интегрировать дифференциальные уравнения движения при помощи гармонических рядов. Однако чрезвычайно медленная сходимость разложений заставила отказаться от этого пути. [c.138]

С этой точки зрения расчетные формулы, получаемые путем интегрирования исходной системы дифференциальных уравнений движения смеси в трубах, имеют несомненные преимущества. В то же время следует отметить, что интегрирование исходной системы дифференциальных уравнений представляет большую сложность и может быть выполнено только с помощью численных методов на ЭВМ и лишь в отдельных случаях удается получить точное решение в аналитической форме. Поэтому с целью получения формул, пригодных для инженерных расчетов течения смеси в реальных трубопроводах большой протяженности, производится осреднение отдельных слагаемых уравнения движения. В каждом конкретном [c.309]

Таким образом, уравнения (67) охватывают все периоды движения математического ротора. Как следует из вывода этих уравнений, закон изменения Р, М и может быть практически любым, поэтому указанные уравнения применимы для любых случаев нагружения- толкателей. Система дифференциальных уравнений движения (67) нелинейна и линеаризирована быть не может, поскольку должна решаться для всего хода штока. Эта система имеет только численные решения, которые практически наиболее рационально находить с помощью электронно-вычислительных машин Для решения на ЭВМ переменные величины Р, Мв и /Пщ должны задаваться в табличной форме. 126 [c.126]

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить в результате закон движения каждой из точек системы и реакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдельных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегрируя уравнения численно с помощью ЭВМ. [c.273]

Решение конкретных задач по определению закона движения механизма манипулятора сводится к составлению системы дифференциальных уравнений (11.19) и решению их численными методами. [c.338]

В общем случае уравнение движения механизма не решается точно в виде конечной функции. Обычно применяют приближенные либо численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, а уравнениям движения механизма придают вид, наиболее удобный для исследования в данных конкретных условиях характеристик нагружения. [c.284]

Указания к решению задачи на ЭВМ. Система дифференциальных уравнений (7) приводится к форме Коши и интегрируется численным методом на интервале т. Чтобы при счете выявилось поведение всех составляющих движения, величину т следует выбрать равной наибольшему из характерных времен этих составляющих. [c.62]

Для течения в шероховатых трубах в отсутствие магнитного поля гидравлическое сопротивление при ламинарном режиме практически не отличается от сопротивления при течении в гладких трубах. В поперечном магнитном поле картина течения в шероховатых трубах существенно меняется. Исследование свободного обтекания тел проводящей жидкостью [17] показало, что наложение магнитного поля приводит к увеличению давления в окрестности лобовой части тела и к понижению в кормовой (т. е. к увеличению сопротивления формы), к повышению сопротивления трения вследствие увеличения градиента скорости на поверхности тела, к безотрывности течения при больших значениях индукции магнитного поля и т. д. Обтекание элементов шероховатости, расположенных на стенке, имеет специфические особенности, однако качественно влияние поперечного магнитного поля на течение в обоих случаях аналогично. Численное решение дифференциальных уравнений движения для ламинарного плоскопараллельного течения несжимаемой проводящей жидкости между бесконечными непроводящими плоскостями, имеющими равномерно расположенные призматические выступы квадратного сечения [18], подтверждает это предпо- [c.66]

Исследователи, изучающие движение сыпучей среды, из общих законов механики могут предсказать основные качественные черты движения. Поэтому к математическим способам описания неизвестных эмпирических зависимостей, в которых выбор вида аппроксимирующей функции осуществлен формальным образом, обычно не прибегают. Наиболее привычной формой описания движения являются дифференциальные уравнения. Достаточно просто решаются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому сплошную среду описывают моделью, состоящей из системы твердых тел, связанных взаимно и с пове])Хностью лотка со стандартными элементами линейной упругости, линейной вязкости, сухого трения с постоянными коэффициентами и простейшими ударными элементами. Такие модели позволяют получить общее решение, поэтапно используя решения линейных систем. Число масс упругих, вязких, ударных элементов сухого грения определяет число посгоянных, подлежащих определению из эксперимента. С увеличением числа элементов возрастает точность описания экспериментальных результатов. Такие модели способны описывать с достаточной гочносгью все необходимые зависимости — = Кг (о), где вектор а — совокупность всех параметров, влияющих на /(, т. е пространство параметров, в котором ведется эксперимент. Решение дифференциальных уравнений движения дает теоретические значения К . Но эти значения зависят от численных значений параметров модели с . Их определяют, минимизируя квадратическую ошибку между экспери енгальными значениями (aj и теоретическими значениями подсчитанными при тех же комбинациях параметров а,-, при [c.90]

Другой подход к решению задачи п тел связан с использованием специальных возмуи ений. Поскольку при этом производится пошаговое численное интегрирование дифференциальных уравнений движения от начальной эпохи до эпохи, в которую нам нужно знать положения тел, то до тех пор, пока не были созданы быстродействующие вычислительные машины, многие ученые — небесные механики избегали пользоваться таким методом. Однако метод специальных возмущений обладает большим преимуществом, которое состоит в том, что его можно применять к любым орбитам и к системам, состоящим из любого числа тел. В наши дни внимание ученых направлено на применение специальных возмущений [c.129]

Большой прогресс в решении многих задач механики и, в частности, в решении задачи трех тел связан с развитием современных методов вычислительной математики. Применение электронно-вычислительных машин позволило находить численные решения дифференциальных уравнений с большой точностью, превосходящей точность аналитического решения, причем численное решение задачи трех тел отличается от решения задачи двух тел главным образом объемом вычислительной работы. В точности и бьгстроте вычислений заключается большое преимущество численных методов перед аналитическими. Однако численные методы в настоящее время еще не позволяют выявлять общие свойства движения и устанавливать функциональные зависимости между переменными, характеризующими состояние движения той или иной механической системы. Поэтому аналитические методы исследования движения, несмотря на успехи вычислительной математики, не утратили своей ведущей роли. Кроме того, чрезвычайно полезные качественные способы исследования целиком относятся к области аналитических методов. [c.161]

В настоящем курсе мы можем лишь вкратце объяснить постановку задач динамики ракет и осветить некоторые выводы из решений этих задач, иолноетью оиуекая вопросы численного интегрирования основных дифференциальных уравнений движения ракет. [c.123]

Решение системы уравнений движения, удовлетворяющее граничным условиям (2,14)-(2,16), выпо.таено численным методом интегральных соотношений [90] в его гиперболическом варианте [91], Применялась дивергентная форма записи в переменных z,l,z = /w l), где г = 0 образ сильного разрыва, = w l) непротекаемая стенка. Аппроксимирующая система дифференциальных уравнений получена разбиением интервала ге[0,1] на пять полос и при.менением интерполяционных квадратур типа Ньютона-Котеса, Итоговая система обыкновенных дифференциальных урав- [c.47]

Существует два подхода к математическому описанию ударных волн в многофазных дисперсных средах. С одной стороны, предположив, что размеры включений и неоднородностей в смеси намного меньше расстояний, на которых макроскопические параметры смеси меняются существенно, можно искать функциональные зависимости для этих параметров в классе непрерывных решений системы дифференциальных уравнений, построенной в рамках представлений механики гетерогенных сред [7]. Исследование микрополей физических параметров служит для определения межфазного взаимодействия и замыкания системы уравнений для осредненных характеристик. С помощью осредненных дифференциальных уравнений движения совокупности трех взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов, заполняющих один и тот же объем, можно найти тонкую структуру ударной волны. Полная система уравнений, описывающая распространение одномерной стационарной ударной волны умеренной интенсивности в трехфазной гетерогенной среде типа твердые частицы-паровые оболочки - жидкость , и результаты численного решения изложены в п. 4. [c.723]

Численное решение получаемых уравнений в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений (законов сохранения импульса для каждого узла — сосредоточенной массы) осуществляется в виде явной схемы по времени (3.2.5). При этом по заданным узловым скоростям с предыдущего полуцелого временного слоя определяются приращения в узлах, (Аеар)е в элементах, А ,- на узловых линиях стыковки элементов. Далее по реологическим соотношениям упруговязкопластического деформирования вычисляются напряжения в элементах и моменты в узловых линиях затем рассчитываются обобщенные внутренние силы в узлах используя уравнения движения, определяются ускорения в узлах и новые скорости для следующего шага по А . Таковы главные этапы алгоритма явной однородной схемы расчета дискретной модели. [c.97]

ВЫВОДЫ из дифференциальных уравнений движения, насколько можно упрощенных, но без значительного обеднения их механического содержания. Для подтверждения допустимости упрощения уравнений движения — в общем случае достаточно высокого порядка и существенно нелинейных — аналитические соображения сопровождаются результатами численных решений на вычислительных машинах (применительно к строгим уравнениям) и данными опытов. В этом бтношении теоретикам остается большое поле в области разработки средств построения приближенных решений дифференциальных уравнений со строгой оценкой погрешности, решений, которые наверняка сохранили бы нужные свойства точных решений. [c.5]

Интересно, что в это соотношение не входпт 7 и что градиент скорости дv/дR = —(у — )/1ие зависит от скорости движения норшня R/t. Па рис. 1 представлены распределения скорости и давления между ударной волной п поршнем для нескольких значений II/а нри 7 = 1.405 и = 3. Кружками даны значения этих же величин, полученных численным интегрпрованпем дифференциальных уравнений нри решении задачи о поршне в точной постановке [2. [c.266]

Для системы нелинейных дифференциальных уравнений движения жидкостей и газов известно лишь ограниченное число аналитических решений. До сих пор В полной мере не доказаны суш,ествование и единственность решения этой системы, что ограничивает использование схем численного интегрирования. Интенсивно развиваюш иеся в последние годы методы компьютерного моделирования снижают свою эффективность, если не удается предварительно выделить минимальное число независимых опреде л яюш их параметров задачи. Наконец, не утратил значения и эксперимент в механике сплошной среды, рациональная постановка которого требует определенных теоретических сведений об изучаемом явлении. [c.469]

В статье рассматриваются стопорные режимы в машинном агрегате с электроприводом постоянного тока. Механическая система схематизирована в виде дискретной цепной крутильной системы с конечным числом степеней свободы. Рассмотрены уточненное и упрощенное математические описания упруго-диссипативных свойств соединений. Динамические процессы в приводном двигателе с независимым возбуждением исследованы с учетом типовых САР скорости. При этом рассмотрены наиболее характерные примеры САР с линейными и нелинейными (задержанными) связями. На основе рассмотрения динамических процессов в механической системе и в проводном двигателе получена система дифференциальных уравнений движения с кусочно-постоянными коэффициентами при уточненном математическом описании динамических харак-геристик звеньев. Предложен эффективный численно-аналитический метод интегрирования системы уравнений движения. Рассмотрены возможные упрощения при приближенном исследовании стопорных режимов Получена система приближенных интегральнодифференциальных уравнений стопорного режима, для которой разработан метод отыскания решения в аналитическом виде. Изложенное иллюстрировано общим примером. Библ. Ill назв. Илл. 9. [c.400]

Рассматриваются динамические явления в машинном агрегате, возникающие при топорении выходного звена, с учетом э.чектромагнитных переходных процессов в асинхронном электродвигателе и упругих характеристик механизма. Получена в матричном виде система нелинейных дифференциальных уравнений стопорного режима, для построения решения которой предложен оригинальный численно-аналитический метод. Достоинствами предложенного метода является представление решения системы уравнений движения в аналитическом виде при эффективном использовании ЭЦВМ Минск 22М для вычисления постоянных, входящих -в решение. Библ. 11 дазв. Илл. 4. Табл. I. [c.402]

В работе исследованы динамические процессы в машинном агрегате с замкнутым зубчатым механизмом. Получена система дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы с учетом несимметрии характеристик механизмов в связи с реверсированием машинного агрегата. Предложены эффективные численно-аналитические методы построения решения системы дифференциальных уравнений движения с учетом реализации вычислительных процедур на ЭЦВМ. Библ. 9 назв. Илл. 2. [c.529]

Более общий подход к численному решению уравнеиия (а) пр( начальных условиях (Ь) состоит в записи решения x = / t) в вид степенного ряда ). Для разъяснении этого способа вновь возьмек дифференциальное уравнение движения в более общей форме [c.144]

Уравнение движения (86) записывается для каждой массы с учетом действующих на нее моментов. Понятно что в правой части этого уравнения для взятой массы отдельные слагаемые могут отсутствовать. Например, на массу цилиндра двигателя не действует момент Мр. Уравнения (86), записйнные для каждой массы, составляют систему п дифференциальных уравнений движения масс. Эта система второго порядка относительно ф может быть решена численными методами на ЭВМ или использованием электромеханических аналогий. В результате решения системы можно получить зависимости изменения угла поворота каждой массы от времени. [c.234]

Исооньзуя принцип составления дифференциальных уравне-ВЕЙ движения ракеты, рассмотренный в 8 1.2, можно получить дифференциальные уравнения движения ГЧ на участке бапли-стического полета. Полученную систему дифференциальных уравнений движения ГЧ можно достаточно быстро решить на ЭЦВМ, но это решение будет соответствовать конкретным начальным условиям. Еспи же требуется провести общий анализ параметров движения ГЧ, то необходимо проведение много-4>атных численных решений уравнений движения с различными начальными условиями. Для решения такой задачи требуются большие затраты машинного времени. Поэтому в задачах, возникающих щзи проектировании и предварительном анализе параметров мижения, можно рассматривать движение ГЧ при до-пушениях, позволяющих получить конечные формулы для расчета требуемых величин. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...