Уравнение с периодической функцией. Движение в периодическом

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

Уравнение малых колебаний маятника в конечной форме (125.82) является периодической функцией ф от t. Это уравнение описывает колебательное движение с амплитудой А, начальной фазой е, которые на основании формулы (125.83) зависят от начальных условий, и периодом т = 2яй. [c.188]

Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им критического значения и установления рассматривавшегося в 26 периодического течения. По мере увеличения R наступает в конце концов момент, когда становится неустойчивым и это периодическое движение. Исследование этой неустойчивости должно, в принципе, производиться аналогично изложенному в 26 способу определения неустойчивости исходного стационарного движения. Роль невозмущенного движения играет теперь периодическое движение vo(r, ) (с частотой oi), а в уравнения движения подставляется v = Vo + V2, где V2 —малая поправка. Для 2 получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты являются теперь функциями не только координат, но и времени, причем по времени эти коэффициенты представляют собой периодические функции с периодом Т = 2n/ oi. Решение такого уравнения должно разыскиваться в виде [c.156]

На рис. В.5 показана передача с гибкой связью, обладающей изгибной жесткостью. Если момент сопротивления, действующий на ведомый шкив, изменяется во времени, то и осевые усилия в ветвях передачи также будут изменяться во времени. Поэтому уравнения поперечных колебаний ветвей передачи будут зависеть от времени, и если коэффициенты будут периодическими функциями времени, то могут возникнуть параметрические колебания, В дампом примере в отличие от примера (см. рис. В.1) возможные неустойчивые режимы колебаний будут зависеть и от скорости ЗУ продольного движения гибкой связи. [c.5]

Частотные характеристики механизма. Во многих механизм мах внешние силы, действующие на звенья механизма, являются периодическими функциями времени, которые посредством разложения в ряды Фурье могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот. Для исследования динамики механизмов с линейными уравнениями движения при этих воздействиях (силах) предлагались различные виды характеристик, которые устанавливают соотношения между функцией [c.178]

В системах более чем с одной степенью свободы мы ограничимся рассмотрением лишь тех задач, в которых уравнение, определяющее характеристическую функцию W, является уравнением с разделяющимися переменными (по крайней мере, для одной системы канонических переменных). Движение системы мы будем представлять как движение изображающей точки в многомерном фазовом пространстве (q, р). Будем говорить, что это движение является периодическим, если, проектируя изображающую точку на каждую плоскость (qi, / ,), мы получаем периодическое движение в обычном смысле слова (как для системы с одной степенью свободы). Но так как мы рассматриваем случай полного разделения переменных, то эти движения будут независимыми, и их можно легко исследовать. Согласно уравнениям канонического преобразования [c.318]

Уравнения (4) дают возможность найти законы щ, ф изменения всех обобщенных координат системы (законы управления) для любых заданных функций fj, При прямолинейных перемещениях захвата = f (х) os 0, х = j (t) sin 0 уравнения (4) интегрируются в явном виде [3]. Можно показать, что в этом случае законы управления обладают свойством повторяемости при возвращении захвата в исходную точку координаты Wj, щ, ф принимают первоначальные значения. Другими простейшими (наряду с возвратно-поступательными) движениями захвата являются периодические круговые (г = Га) или эллиптические (г г ), когда [c.10]

В настоящей главе наряду с общим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата ставится также задача отыскания частного (при фиксированных начальных данных) и периодического решений. Поэтому в исходной системе уравнений (16.7) необходимо перейти к таким переменным, для которых отыскание периодического решения имело бы смысл. В качестве системы обобщенных координат, удовлетворяющей указанному выше требованию, можно принять угловые скорости масс или относительные углы закручивания смежных масс. Останавливаясь на последней, отметим, что к этой системе координат можно перейти путем линейного преобразования вектор-функции ф (О при помощи матрицы Q по формуле [c.107]

Если внешнее воздействие F (/) является периодической функцией периода Т, т. е. F t Т) = F (t), то при определенных условиях система уравнений движения машинного агрегата (16. 21) имеет периодическое решение у (t). Подставив это решение в матрицы В (7), С (у) и вектор-функцию 5 (у) системы уравнений (16. 21), получим линейную систему дифференциальных уравнений (18. 7) с периодическими кусочно-постоянными коэффициентами. [c.124]

Нетрудно показать, что для параметров системы х и ц таких, что y.l i = plq, где р и <7 — целые числа, указанному выше условию удовлетворяют только те значения i, которые располагаются в интервале 0< 2<<7-Действительно, при этом условии законы движения системы (9.19), а также частотное уравнение (9.18) являются периодическими функциями с периодом, равным q. При этом каждому значению корня соответствует свой интервал изменения безразмерного времени т. [c.329]

Е — единичная матрица размерности п). Уравнения (13) в компонентах имеют ту же структуру, что и канонические уравнения Гамильтона в аналитической механике. Системы уравнений, приводимые к виду (13), а также соответствующие механические системы называют каноническими. Наиболее важный пример механических систем канонического типа — системы с идеальными голономными стационарными связями, нагруженные силами, которые выражаются через силовую функцию. Сели силовая функция — периодическая функция времени, то уравнения движения можно привести к виду (13) с периодической матрицей Н t). [c.118]

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо и Ир их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = at с периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п.3 гл. II. [c.218]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

С учетом концевых потерь верхний предел интегрирования г следует принять равным В, а не 1. Указанные моменты вызваны приращением подъемной силы при изменении угла атаки лопасти. Такие же коэффициенты были определены в разд. 5.5, где для угла взмаха, представленного в виде ряда Фурье, получено установившееся решение. Здесь мы имеем линейное дифференциальное уравнение возмущенного махового движения. Для режима висения (ц = 0) уравнение имеет постоянные коэффициенты. При полете вперед аэродинамические коэффициенты уравнения движения становятся периодическими функциями азимута ф. [c.516]

Частотная характеристика линейной стационарной динамической системы определяется передаточной функцией Я (со), которая связывает амплитуды и фа ы входного и выходного сигналов соотношением / = Я(со)а. Если уравнения движения имеют периодические коэффициенты (как в случае двухлопастного винта), то указанного однозначного соотношения не существует и входному сигналу с частотой со в общем случае соответствуют выходные сигналы со всеми частотами, равными со пЙ, где п — целое число. Тогда соотношение между входом и выходом для синусоидального входного сигнала имеет вид [c.581]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

Погрешность решения для медленных переменных будет порядка 8 на интервале времени порядка е" , что соответствует числу оборотов спутника по орбите порядка 8" (так как Av 8" ). Для построения осреднен-ной системы (6.7.12) нужно осреднять правые части уравнений движения (при фиксированных медленных переменных и V) по движению Эйлера — Пуансо. Эти правые части — периодические функции д, ф, г ) с периодами 2я, а периоды т и т несоизмеримы. В этом случае, как можно показать [71], осреднение по времени эквивалентно независимому осреднению по периоду т и периоду т, то есть [c.227]

Механизмы односторонне направленных движений пузырей, обусловленные волнами на свободной поверхности жидкости. Анализ системы (8), которая приведена к стандартной форме для последующего применения метода усреднения, показывает, что в шестом уравнении имеется произведение гармонических с частотой колебаний полости членов. Это последнее произведение описывает механизм односторонне-направленного перемещения пузырей в жидкости, в которой колебания центра масс пузырька и пульсации его радиуса происходят с одинаковой частотой. Именно этот механизм и лежит в основе дрейфа пузырей в трубе, заполненной вязкой жидкостью, когда перепад давлений на концах трубы — периодическая функция времени. Все движения, исследованные в предыдущем разделе 1, обусловлены действием именно этого механизма. Что касается движений пузырей в баках, то действие этого механизма приводит к возникновению вибрационной силы, обеспечивающей затопление пузырей. Она может быть вычислена исходя из исследования одномерных уравнений движения пульсирующего пузыря. По-видимому, впервые данная вибрационная сила была описана еще в пятидесятых годах прошлого века в работе [2].Члены, определяющие [c.319]

Если уравнения возмущенного движения (1.1) таковы, что можно-построить функцию V (х, ), периодическую по времени t с периодом o или не зависящую явно от времени, которая является определенно-положительной, допускает бесконечно малый высший предел в области [c.24]

Аналогичные соотношения были выведены и для задач об оптимизации систем, описываемых уравнениями с разрывными функциями / и фь. При этом условия Эрдмана — Вейерштрасса дополняются еще соотношениями, связанными с выходом оптимальных движений на поверхности разрыва функций fs и Также были исследованы задачи с ограничениями на фазовые координаты хг ( ), задачи оптимизации функционалов, включающих функции зависящие от промежуточных значений 1 ) фазовых координат, задачи с условиями разрыва этих координат и т. д. Последние задачи отличаются от подробно рассмотренной выше основной задачи оптимизации с ограничениями только на управления тем, что здесь могут иметь место разрывы непрерывности лагранжевых множителей и функции Н. Поэтому при решении таких задач возникает необходимость преодо ления некоторых дополнительных трудносте . Общие уравнения и соотношений были применены к исследованию оптимальных режимов в линейных системах автоматического управления, при решении задач о накоплении возмущений и при определении наихудшего периодического воздействия на колебательную систему и т. д. Общие критерии оптимальности, выведенные для разрывных систем, были использованы для решения задач оптимизации режимов работы вибротранспорта, для задач оптимизации движений многоступенчатых ракет и т. д. [c.191]

Покажем на примере, что если / х) — однозначная функция, то периодические движения в системе возможны тогда, когда уравнение (6.1) хотя бы в некоторых точках не определяет движения системы или теряет смысл для каких-либо значений переменных. В качестве такого примера рассмотрим теорию механических релаксационных (разрывных) колебаний, данную Хайкиным и Кайдановским [91. Колодка малой массы тп насажена с большим трением на равномерно вращающийся вал и соединена с неподвижной станиной при помощи пружины (рис. 6.3). Уравнение движения колодки при условии, что т — О, имеет вид [c.216]

Формула (IV.32), полученная для общего решения уравнения (IV.28), удобна для исследования. Сперва обратим внимание на общий характер движения точки М. Как видно из формулы (IV.32), отклонение х точки М. от положения статического равновесия с течением времени t уменьшается и стремится к нулю благодаря наличию множителя е . Поэтому колебания точки в этом случае называются затухаюш ими. Движение точки М в этом случае имеет периодический характер, но полностью периодическим его назвать нельзя, так как х, как видно из формулы (IV.32), не является периодической функцией времени. Поэтому мы лишь условно введем понятие периода такого движения. [c.337]

Уравнение Матье. К частным видам уравнения (9.51) отно- сится уравнение Матье, в котором /(/) есть периодическая функция, а р (0 — гармоническая функция. Например, при ис следовании динамики шарнирных механизмов с упругими звеньями уравнения движения в некоторых случаях приводятся к уравнению Матье [c.175]

Метод В КБ (Венцеля, Крамерса, Бриллюэна). При исследовании периодических движений в механизмах могут быть слу чаи, когда в уравнении движения типа (9.51) функции p t) и f t) медленно изменяются по времени. Тогда функцию p t) по аналогии с уравнением консервативного типа (9.8) можно рас сматривать как медленно изменяющуюся собственную частоту. [c.175]

Предположим, что по первой пли по второй причине линии тока во всех плоскостях ри—замкнутые. Тогда движущаяся частица жидкости возвращается в ту же самую точку, а затем движение повторяется. Мы имеем тогда периодическое движение. Это касается, однако, только траектории движущейся точки, спроектированной на плоскости qit, Pk в отношении же движения во времени периодичность не имеет места. Скорость, с которой точка начинает свой второй виток, не совпадает с первоначальной скоростью, потому что qk и ри в общем случае зависят от всех qi, pi и поэтому возвращения одной пары переменных к начальным значениям недостаточно для того, чтобы движение было периодическим. Однако движение содержит в себе п независимых периодов, и они охватывают неразделяющимся образом все переменные. Метод Делоне показывает, как путем изучения свойств двух основных функций — функции Гамильтона Н и производящей функции S—можно получить все частоты движения. В этом заключается суть метода. Соответствующее преобразование обнаруживает многопериодическую структуру данной системы с разделяющимися переменными и определяет частоты системы в явном виде. Этот процесс не требует ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно определенных переменных. [c.283]

Движущаяся точка неограниченное число раз проходит через каждую точку окружности (в частности, через свое начальное положение) и, как это вытекает из уравнения (21) и из периодичности функции os6, при каждом таком прохождении она всякий раз имеет в этой точке одну и ту же угловую, а следовательно, и линейную скорость. Теперь легко показать, что здесь мы имеем дело с периодическим движением. Действительно, заметим прежде всего, что если 6д является начальным значением отклонения движущейся точки и если для определенности предположим, что движение в начальный момент было прямым, то отклонение б( ) точки в любом ее положении будет определено в функции от времени (отсчитываемого от момента начала движения) тем интегралом дифференциального уравнения [c.39]

За исключением различия в обозначениях мы снова получим уравнение типа, подробно разобранного в 6 предыдущей главы. Применяя непосредственно полученные там выводы, мы заключаем, что возможными движениями будут колебательные периодические движения (между простыми нулями функции U r)- -E, где она остается положительной) или апериодические самое большее с одним обращением направления. В этом последнем случае речь будет итти либо [c.86]

Рассмотрим некоторые нелинейные модели механичесхшх частей машин. Выведем сначала уравнения движения механической части машинного агрегата, обладающей одной степенью подвижности и состоящей из механизмов с жесткими звеньями. Условная схема такого агрегата показана на рис. 23. Предполагается, что выходное звено двигателя совершает вращательное движение угол поворота этого звена выбирается за обобщенную координату q. Приведенный к этому звену момент инерции передаточных и исполнительных механизмов является в общем сл чае периодической функцией от с периодом 2пг , где г м — передаточное отношение механизма, связывающего выходной вал двигателя с главным валом машин >1 [c.50]

Ляпунов дал строгое решение вопроса о том, когда при исследовании задачи об устойчивости движения можно ограничиваться рассмотрением первого приближения. Он установил особые слу 1аи, при которых использование первого приближения не решает задачу об устойчивости. Большой заслугой его явилось подробное исследование уравнений, в которых коэффициентами являются периодические функции с одним и тем же периодом. Оп указал признаки устойчивости и неустойчивости для периодических двингений. Отметим еще, что он впервые доказал теорему, согласно которой положение равновесия при некоторых дополнительных условиях неустойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия не мини- [c.248]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Система с вязким или сухим треиием без позиционной силы (простейшая модель процесса виброперемещения). Некоторые важные закономерности действия вибрации на диссипативные механические системы можно выяснить при рассмотрении системы с одной степенью свободы, описываемой дифференциальным уравнением, которое приведено в п. 7 таблицы. В этом уравнении величины т и имеют смысл масс, 1=1 titt) — заданная 2я-периодическая функция Т — некоторая постоянная сила F (х)—сила сопротивления, зависящая от скорости. Указанное уравнение описывает, например, относительное движение тела массы т по плоскости, совершающей периодические колебания по закону при действии постоянной силы Т и силы сопротивления F (х) в этом случае = т. То же уравнение при т , вообще говоря, отличном от т, описывает движение тела, находящегося на неподвижной плоскости, но подверженного действию заданной периодической силы mjl (о) ) и сил Т W F (х). К изучению этого уравнения сводятся и многие Другие одномерные [c.253]

Частотно - временные методы основаны ца представлении законов движения периодических виброударкых процессов через так называемые периодические функции Грина линейных систем [5, 6, 9]. По своему характеру они, в известной мере, объединяют оба описанных подхода, почему и получили такое наименование. Рассмотрим общее уравнение движения (6.5.32) и эквивалентное ему (для установившихся режимов) интегральное уравнение (6.5.33). Воспользовавшись стереомеханической теорией, предположим, что в системе установился Г-периодический виброударный процесс с V соударениями за период. В соответствии с (6.5.29) [c.385]

Рассматриваемая задача является периодической с периодом I и относится к типу Л. Поскольку имеет место полный контакт двух тел по плоскости z = О, начальное давление распределено равномерно, т.е. р(а ,0) = Р(0)/1 (а G (—схэ,-Ьсхэ)). При изнашивании имеет место формоизменение первоначально плоской поверхности полупространства и перераспределение контактного давления p x,t). Так как движение происходит в направлении, перпендикулярном плоскости Oxz, можно пренебречь влиянием сил трения на распределение контактных давлений и использовать оператор А в форме (8.4) для определения упругих перемещений границы полупространства. Упругие Uz x, t) и износные Wif x,i) перемещения границы, а также контактное давление р х, t) являются периодическими функциями координаты X. Они могут быть определены из решения системы уравнений (7.18)-(7.20), в которых оператор А имеет вид (8.4), уравнение износа описывается соотношением (8.8), а условие контакта (7.20) примет вид [c.408]

В зтом случае ситуация меняется самым радикальным образом. Хотя фиг. П.2.1 по-прежнему представляет собой проекцию на плоскость (р), qj), ясно, что после начала движения, как это отмечено на фигуре, две представляющие точки никогда снова не сойдутся одновременно к своим первоначальным положениям. Таким образом, траектория в пространстве (д , д ) уже никогда не становится замкнутой — движение в целом не является периодическим. Более того, траектория проходит сколь угодно близко к любой точке в пределах прямоугольника, определяемого в пространстве (gi, да) максимальными амплитудами. Указанную траекторию нельзя изобразить в виде (одномерной) линии траектория плотно заполняет весь двумерный прямоугольник. Таким образом, хотя интеграл движения Фд и существует и может быть определен прежним способом, т. е. путем исключения из системы двух уравнений (П.2.2), тем не менее он имеет весьма аномальный характер. Он представляет собой многозначную функцию с бесконечным числом ветвей. Такой интеграл называется неизолирующим. Соответствующее ему движение носит название условно-периодического в плоскости (д , gj). Последнее название не совсем удачно, поскольку главной особенностью рассматри- [c.359]

Уравнения невозмущённого движения совпадают с уравнениями движения висячего волчка Лагранжа с обобщённым восстанавливающим моментом Ма(а) в виде нечётной периодической функции пространственного угла атаки (угла нутации). При е = О система уравнений возмущённого движения (1.30) является консервативной и имеет вид [c.53]

К сожалению, в этом случае не удается найти явные формулы, непосредственно выражающие функции С через функции F, аналогичные формулам (3.25) в случае непериодических Сп-цепочек Тоды. Поэтому мы ничего ие можем сказать о том, каким уравнениям удовлетворяют функции G, помимо того, что это уравнения периодической Лзп-аепочки Тоды, на которые наложена редукция (3.32). Система (3.30), (3.31) является преобразованием Беклунда, связывающим периодическую Сп-цепочку Тоды с этими уравнениями. Периодические Вп-цепочки Тоды не удается рассмотреть аналогичным образом. Если исходить из уравнений (3.1), (3.2), то на соответствующие функции или их линейные комбинации с функциями не удается получить самостоятельной замкнутой системы уравнений. Это согласуется с тем, что, как показано.в работе [4J, из..игУ-пары (3.1), (3.2) для.периодической В -цепочки Тоды можно получить только нелокальные интегралы движения, существование которых, вообще говоря, не свидетельствует об ее интегрируемости. [c.35]

Движение некоторой динамической системы описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами Xi = i = где непрерывная функция f t) периодична с периодом Т, т. е. f t- -T) = f t). Доказать, что эта система имеет единственное асимптотически устойчивое в целом периодическое движение периода Т, если матрица А = гурвицева. [c.289]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

А. П. Тузова, В. И. Зубова) разработан метод исследования устойчивости движения комбинированием метода функций Ляпунова с общими качественными методами дифференциальных уравнений. Этот метод с успехом применен для доказательства существования периодических, ограниченных и почти-периодических решений, а также для исследования устой-чивости ддижения в целом (В. А. Плисс, 1953, 1958, 1961, 1964). [c.20]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...