Частное решение устойчивое

Мы не будем рассматривать приложение этого уравнения к задачам об устойчивости балок конечной длины с различными граничными условиями. Система частных решений находится стандартным методом, можно построить систему решений с единичной матрицей, как это описано в 3.9. Вычисления при этом оказываются довольно громоздкими, поскольку нужно находить корни биквадратного уравнения, отделяя в них действительные и мнимые части. Простейший пример — это устойчивость стержня бесконечной длины. Очевидно, что постановка такой задачи при отсутствии окружающей упругой среды лишена смысла, при увеличении длины стержня критическая сила стремится к нулю независимо от способа закрепления его концов. В упругой среде [c.132]

При интегрировании системы (18.2), представляющей собой систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, исходим из того, что механическая система совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия. Частные решения этих уравнений, предположив, что координаты qi и изменяются по простому гармоническому закону, можно представить в следующем виде [c.83]

Корни этого уравнения k и (причем ki < /%з) определяют частоты свободных колебаний ki и 3. Оба эти корня должны быть положительными, так как в противном случае ki и будут мнимыми или комплексными и принятые частные решения дифференциальных уравнений (19.1), выраженные через тригонометрические функции мнимого или комплексного аргумента, т. е. содержащее гиперболические функции времени t, покажут неограниченное возрастание обобщенных координат, что не может быть при малых колебаниях системы около устойчивого положения равновесия. [c.83]

Уравнения (20) имеют частное решение р = q = г = О, отвечающее покою тела. Рассмотрим устойчивость этого частного движения тела по отношению к переменным р, г. [c.524]

Свойства линеаризованной системы полностью определяются характером частных решений. Например, устойчивость ее (т. е. ограниченность всех решений) гарантируется условием Л <0, когда все собственные числа iy—Л получаются чисто мнимыми (тогда [c.100]

Наибольшее затруднение в использовании (18.173) для отыскания границ между устойчивыми и неустойчивыми состояниями системы состоит в большой сложности построения частных решений fl и Ь хотя бы в пределах первого периода. Областей динамической неустойчивости бесконечное множество. Общий характер расположения этих решений можно исследовать, предполагая, что периодическая составляющая внешней продольной силы очень мала. На рис. 18.113 этому соответствует область, примыкающая к оси абсцисс. Обнаруживается, что при р О решения с периодом 2Т лежат попарно вблизи частот 0 = 2П/А (к = 1, 3, 5,. ..), а решения с периодом Т — вблизи частот О. = 20/ к = 2, 4, 6,. ..). Оба случая объединяются формулой [c.462]

В предыдущих главах решено несколько частных задач устойчивости прямых стержней. В этом параграфе дан вывод обш,его линеаризованного уравнения для произвольно нагруженного упругого прямого стержня переменного поперечного сечения, сформулированы граничные условия и приведены примеры точного и приближенного решения этого уравнения. [c.78]

В заключение еще раз подчеркнем, что частные решения, соответствующие чисто вынужденным колебаниям, имеют смысл лишь внутри области устойчивости. [c.103]

Амплитуда вынужденных колебаний. Теперь перейдем к определению величины размыва механизма. С этой целью выпишем частное решение у равнения (5.4), предполагая, что динамическая устойчивость механизма обеспечена и вынужденные колебания механизма приобрели установившийся характер. [c.163]

Резонанс и динамические ошибки механизма в условиях линейного трения. Если вопрос о динамической устойчивости механизма решается на основании анализа общего решения однородного уравнения, то для установления условий возникновения резонанса и для выяснения вопроса о влиянии трения на динамическую точность механизма необходимо обратиться к рассмотрению частного решения уравнения (6.5), которое имеет следующий вид [c.199]

Последний множитель, содержащий мнимую степень е, может быть представлен через тригонометрические функции и поэтому остается ограниченным при любом значении t. Свойства устойчивости движения связаны с множителем если < О, то соответствующее слагаемое описывает затухающее движение, а если О, то такому слагаемому соответствует удаление системы от невозмущенного режима. Таким образом, для устойчивости состояния равновесия механической системы необходимо, чтобы среди корней характеристического уравнения не было ни одного с положительной вещественной частью в противном случае одно из частных решений, а вместе с этим и общее решение, обнаружит возрастающую тенденцию. [c.155]

В случае равновесия системы = = Я, ..., 9 = 92 являются также частными решениями дифференциальных уравнений движения, вследствие чего совершенно так же определяется устойчивость равновесия по Ляпунову. [c.402]

Если рассматривать случай устойчивого движения, то по прошествии некоторого времени движение системы будет, как известно, описываться частным решением уравнения (5. 7а) в виде [c.245]

Уравнение (29) можно трактовать как уравнение движения изолированной твердой частицы в заданном поле течения несущей среды, а систему (30) как уравнения движения и пульсаций изолированного пузырька. Предполагая малость амплитуды вибрационных воздействий, в (20) и (30) можно ввести малый параметр. После приведения к стандартной форме, выявление частных решений, соответствующих установившимся стационарным процессам, и исследование их устойчивости может быть проведено с помощью метода усреднения. Если такие решения или близкие к ним существуют и являются устойчивыми, то физически это означает, что реализуются режимы вибрационного перемещения частиц и пузырьков либо их локализации в окрестности устойчивых равновесных положений. [c.110]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Задача об устойчивости (неустойчивости) тривиального решения стохастических уравнений (5.94) сведена, таким образом, к исследованию поведения во времени детерминированных функций (pj ( ) и % (со, /), удовлетворяющих системе (5.97), (5.99). Характер частных решений этой системы определяется структурой характеристических показателей. Решение становится неустойчивым, если вещественная часть какого-либо характеристического показателя становится положительной. [c.164]

Неустойчивость наиболее часто проявляется при движении вязкой и теплопроводящей жидкости типичным примером является переход ламинарного движения в турбулентное. Именно поэтому теория устойчивости была более всего разработана применительно к задачам гидродинамики. Существующая теория основывается на исследовании поведения возмущений разного рода во времени, накладываемых на основное движение, т. е. имеет динамический характер. В случае малых возмущений уравнения движения (а также переноса тепла) приводят к системе частных решений, характеризующих так называемые возмущения (или моды) вида А ехр Если декремент X (в общем случае комплексный) имеет поло- [c.5]

Изучим устойчивость частного решения (90). Введем малые отклонения х,, Хг по формулам [c.80]

И интегрируется в эллиптических функциях. Но при исследовании устойчивости вращательного движения планеты нас прежде всего интересуют его стационарные частные решения, каковыми являются [c.90]

Так как знаки вторых слагаемых в (12 ">), (126) противоположны, отсюда следует, что условие устойчивости частного решения "f = О H q/s, ( )>0) является условием неустойчивости решения y = /2, и наоборот. [c.90]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

УСТОЙЧИВОСТЬ равновесия и малые ДВИЖЕНИЯХИСТЕМЫ ГЛ. XIII Частное решение этой системы будем искать в виде У1 = А sin (pi + а), [c.628]

Таким образом, Vi удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в внле суммы частных решений, в которых vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты со возмущении не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие со, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ.хо-димо, чтобы у всех возможных частот со мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.138]

Некоторое вполне определенное двингение системы, подлежащее исследованию па устойчивость, называется невозмущенным движением. Иевозмущенному движению системы отвечает определепное частное решение [c.13]

Мы получили дифференциальное уравнение, такое же, как и при решении задач устойчивости, но с правой частью. Поэтому ijaM надо найти частное решение этого уравнения. Искать его будем в виде квадратичного трехчлена. [c.161]

В физических и технических проблемах встречаются и другие виды естественных движений, а также некоторые виды движения тех же самых голономных систем, которые, хотя и выражаются уравнениями более общими, чем уравнения Лагранжа, но могут быть сопоставлены с состояниями равновесия голономной системы благодаря тому, что уравнения допускают соответствующие частные решения (статические или меростатические решения). Мы распространим наше исследование и на эти решения. Наконец, мы введем, наряду со строгим определением понятия устойчивости, приближенное понятие, соответствующее устойчивости в течение конечного, но достаточно длительного промежутка врзмени, или линейной устойчивости ), исследованием которой мы и будем часто ограничиваться в силу непреодолимых математических трудностей, возникающих при анализе устойчивости в строгом смысле. [c.352]

Все это оправдывает разделение решений системы дифференциальных уравнений (16) на з/с/иойчнвые и неустойчивые на основании критерия, который мы здесь уточним, высказав его прямо в геометрн-чески-кинематической форме. Частное решение (или интегральная кривая) уравнений (16), которое в момент t = принятый за начальный, проходит через точку (д ,), называется устойчивым, если для всякого сколь угодно малого положительного числа е можно указать такое другое положительное число т], что если взять за начальную какую-нибудь другую точку Р (х ), отклонение которой от меньше t), то отклонение точек Р а Р друг от друга на кривых о и о для одного и того же момента времени будет неопределенно долго оставаться меньшим е. [c.378]

V = Ri — R2) + является интегралом системы (51), который, как нетрудно видеть, будет знакоопределенным по переменным Ri и R2, если неравенства (52) не выполняются. Следовательно, согласно теореме Ляпунова об устойчивости, система (51) устойчива по отношению к переменным i i, R2. Утверждение о неустойчивости следует из существования при выполнении неравенств (52) неограниченно растущего со временем частного решения системы (51) [c.558]

Для полного описания системы используются фазовое пространство (х/), динамическое пространство (xj, О и пространство параметров (а ,). Фиксируем все значения параметров, т. е. выберем точку в параметрическом пространстве. Тогда решения системы уравнений будут зависеть только от начальных условий. Однако для качественной теории представляют интерес не частные решения, а по возможности более полное описание поведения системы во всем динамическом пространстве. Эта общая качественная картина в основном зависит от значений, к которым стремятся решения при t oo или —оо.Эти асимптотические значения, естественно, не зависят от начальных условий. От начальных ус товий зависит лишь, к какому из этих значений будет стремиться решение Простейшими и наиболее важными для нас асимптотическими решениями такого типа являются стационарные точки и предельные циклы. Физически наблюдаютслТРЛ Ш устойчивые еш ия, значение неустойчивых решений будет ясно из дал ьнейшегб изложения. [c.32]

Величина (15) является частным решением этого уравнения. Вследствие затухания непрецессионных движений ротора оказывается устойчивым относительное расположение не связанных жестко между собой осей подшипника вала О О я нейтральной оси демпфера [c.120]

Система нелинейных уравнений (8.38), связывающая функцию напряжений в срединной плоскости пластинки и функцию прогибов, выведена немецким ученым Т. Карманом. Совместно с граничными условиями она представляет основную систему нелинейных ди ференциаль-ных уравнений та>рии гибких пластинок. Решение этой системы в общем виде не получено. В настоящее время с помощью теории гибких пластинок получен ряд частных решений для равномерно распределенной поперечной нагрузки, а также для пластинок, теряющих устойчивость при сжатии и сд иге в их срединной плоскости, [c.150]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

Движение системы, исследуемое на устойчивость и отвечающее определенным начальным условиям ую — yt ( о)> называют невозмуи/ енным. Невозмуш,енному движению соответствует определенное частное решение системы (19) [c.33]

Для эффективного построения приближенного решения необходимо предварительно решить уравнения первого или второго приближения (усредненные уравнения). Однако эти уравнения (так же, как и точные) являются дифференциальными, что накладывает определенные ограничения на возможность применения изложенного метода. В большинстве случаев усредненные уравнения, в особенности уравнения первого приближения, более простые и поддаются исследованию. Во многих случаях, в которых общее решение не удается получить, можно найти важные частные решения, например, соответствующие установившимся колебательным процессам. При п = 1 уравнения первою приближения (125) интегрируются в квадратурах при п = 2 для их исследования может быть использована известная теория Пуанкаре. При любом п, если Хо ( ) обращается в нуль в некоторой точке = о, можем рассматривать квазистатическое решение j = уравнений первого приближения. Для исследования устойчивости этого решения можно поступать обычным образом, составив уравнения для малых отклонений (уравнения в вариациях) [c.86]

Штриховые линии на рис. 5.2 характеризуют потерю устойчивости моментных функций вида xiyTyT), х2уТу2), которые содержат фазовые переменные Хи в первой степени. Эти линии не определяют устойчивость стохастического решения, однако они могут быть использованы как оценки верхней грани выборочных значений критических сочетаний параметров. Для моментов указанного типа потеря устойчивости может происходить при чисто мнимых характеристических показателях i, а соответствующие частные решения могут иметь осциллирующий характер (участки кривых выше точек излома). На рис. 5.3 показаны аналогичные границы области устойчивости, построенные при других сочетаниях параметров. На этих графиках более четко выражены области побочных параметрических резонансов. [c.145]

Вопрос об устойчивости или неустойчивости стационарного случайного процесса и (t) решается в зависимости от характера корней уравнения (5.65). Корням с положительными вещественными частями в пространстве оригиналов ср (со, t) соответствуют неограниченно возрастающие частные решения. Исследование стохастической устойчивости приводит, таким образом, к классической процедуре Раусса—Гурвица — проверке знаков определителей [c.156]

Путем соответствуюш.его выбора частных решений Uq ( ) и щ ( ) можно построить устойчивый алгоритм решения краевой задачи, проводя в некоторых промежуточных точках интервала ортонор- [c.158]

Нагруженные вдоль оси стержни. Для задач, включающих в себя случаи осевого нагружения в сочетании или без с поперечным нагружением, однородное уравнение, получаемое из (2.4) можно записать в виде d w/4x — i2araJ Eh )]d w/dx ==0. Если поперечная нагрузка отсутствует, это уравнение является результирующим и частное решение не требуется. Если сила F., а отсюда и напряжение а т постоянны, как это имеет место в классической задаче устойчивости, то это уравнение линейное, однородное, с постоянными коэффициентами. [c.99]

На протяжении XVIII—XIX столетий были составлены различные варианты дифференциальных уравнений задачи п тел, установлены методы их редукции посредством найденных первых интегралов, изучены частные решения, указаны приближенные методы решения задачи с помощью рядов, рассмотрены вопросы устойчивости соответствующих систем дифференциальных уравнений, предложены качественные методы изучения задачи. Созданная на рубеже XIX и XX столетий качественная теория дифференциальных уравнений открыла новые возможности в исследовании проблемы п тел, которые в значительной степени реализованы в трудах ученых XX в. [c.87]

Рассматривая классическую ограниченную круговую задачу трех тел при определенном соответствии конечных масс, Г. Дарвин и ученые копенгагенской школы под руководством Э. Стремгрена установили классификацию всех существуюпщх простых периодических решений задачи, которая позволяет проследить процесс исчезновения определенных классов периодических орбит при изменении начальных условий. Много работ посвящено также изучению траекторий вблизи лагранжевых частных решений, исследованию ограниченной задачи трех тел, устойчивости движения динамических систем и др. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...