Периодические функции—см. Функции периодические

Ряд Фурье функции /(х) состоит из одних косинусов, если f (х) — чётная периодическая функция или функция, заданная на интервале с условием f (l—j ) = / (л-).-При дополнительном условии f(x)—f(lh — х) в ряде остаются только косинусы чётных дуг (см. фиг. 179). [c.264]

Итак, в равенстве (11.13) слева стоит искомая периодическая функция у () с частотой, зависящей от параметра 8 и, следовательно, от параметра J,, а справа - ряд по степеням д,, в котором первый член y t) - периодическая функция частоты со,, не зависящей от ц. В практических задачах мы в состоянии учесть в ряду (11.13) только конечное (и, как правило, небольшое) число членов. При таком подходе каждый член должен быть периодической функцией времени t. Однако функции У2 1), — не будут периодическими, и, следовательно, любой конечный отрезок ряда в (11.13) не представит периодическую функцию Причина кроется в упомянутом различии в частотах колебаний функций y i) и yJJ) (см. 7.2). Чтобы добиться периодичности членов ряда (11.13), изменим масштаб времени таким образом, чтобы в новом масштабе частота искомых колебаний не зависела от ц. Разумеется, единица измерения нового времени будет зависеть от параметра jj,, который пока не определен. [c.227]

Энергия ионизации зависит от строения атома, т. е. от его места в периодической системе элементов (рис. 2.13). Она представляет собой периодическую функцию атомного номера элемента Z и снижается с уменьшением номера группы и увеличением номера периода таблицы Менделеева. Наименьший потенциал ионизации Ui = 3,9 эВ имеют пары s (см. выше). Единственный валентный электрон у щелочных металлов I груп- [c.44]

На рис. В.5 показана передача с гибкой связью, обладающей изгибной жесткостью. Если момент сопротивления, действующий на ведомый шкив, изменяется во времени, то и осевые усилия в ветвях передачи также будут изменяться во времени. Поэтому уравнения поперечных колебаний ветвей передачи будут зависеть от времени, и если коэффициенты будут периодическими функциями времени, то могут возникнуть параметрические колебания, В дампом примере в отличие от примера (см. рис. В.1) возможные неустойчивые режимы колебаний будут зависеть и от скорости ЗУ продольного движения гибкой связи. [c.5]

Мы начнем с того, что займемся одномерной системой. Допустим, что движение периодическое. Периодическое движение может осуществляться двумя различными путями. Либо различным значениям q соответствуют различные состояния системы и обе функции р а q являются периодическими функциями времени спустя период т обе функции р Vi q возвращаются к тем же самым значениям либрация см. рис. 29, а) либо всякий раз, когда координата q возрастает на определенную постоянную величину qo, повторяется то же самое состояние системы через период т величина р принимает то же самое значение, но величина q возрастает на <7 вращение, см. рис. 29, б). В одной и той же системе могут осуществляться и либрация, и вращение. Простой маятник, например, совершая малые колебания, обнаруживает либрацию однако если энергия, сообщенная маятнику, достаточна, чтобы он перекидывался через верхнюю точку, он будет вращаться. Вообще говоря, первый случай обычно имеет место тогда, когда [c.165]

Спектр периодической функции 312 Специальные функции — см. Функции специальные Спираль Архимеда 274 [c.585]

Исследовано влияние частоты (Ste) и амплитуды А периодического гармонического возбуждения на отношение и /и , где и и и - соответственно, среднеквадратичные значения пульсаций скорости при наличии и отсутствии периодического возбуждения (см. рис.6.9). При этом отношение и /и является функцией периода Т гармонических возмущений. [c.161]

Исследование установившихся режимов движения и определение средней скорости движения частицы точными аналитическими методами в рассматриваемом общем случае достаточно громоздко, оно выполнено лишь для некоторых простейших режимов (см. ниже). При этом периоды изменения проекций % ( ) п х (t) колебаний поверхности обычно принимаются одинаковыми, так что = (w/) и rj = = T]i (со/) — периодические функции at с периодом 2л. [c.39]

Модифицированный метод моментных функций может быть применен также к системам, параметрически возбуждаемым периодически нестационарными воздействиями. Примером такого воздействия может служить стационарный процесс, модулированный периодической функцией. Используя метод моментов, приходим к системе уравнений типа (33) однако матрица Л будет содержать члены, зависящие от времени. Дальнейшее исследование устойчивости может проводиться различными методами, например, методом матриц перехода (см. гл. VII). [c.309]

Условия равновесия оболочки в целом. Если оболочка вращения ограничена одной (см. рис. 2.2) или двумя (см. рис. 4.1) параллелями, то она будет замкнута в отношении координаты ф, в соответствии с чем компоненты поверхностной и краевой нагрузок будут периодическими функциями названной координаты с периодом 2я. Это позволяет разложить компоненты поверхностной нагрузки в ряды Фурье и представить в виде аналогичных рядов все искомые функции. При этом, как уже говорилось (см. п. 2.5), достаточно рассмотреть нагрузку [c.191]

Если для определения функций и, применяется вышеописанный алгоритм, то мы строим преобразование Крылова — Боголюбова в виде 2п-периодических функций от у. Выражения для ft, у выписываются последовательно в аналитическом виде (см. (130), (133), (140)). [c.53]

В табл. 6.1 приведены скорости изнашивания, рассчитанные для периодической кусочно-постоянной функции P i) (см. (6.10)) S = 0,7). Результаты показывают, что хотя соотношение скоростей Is и Iss в рассматриваемых случаях различно, величины Iw отличаются незначительно (менее, чем на 10%) минимум скорости полного износа достигается в случае, когда подповерхностного разрушения нет. Следующие рассуждения показывает, что такие результаты вполне закономерны. [c.338]

Известно, что любую вещественную периодическую функцию f(x) можно разложить по гармоникам в ряд Фурье вида (см., например, [14]) [c.20]

Степень временной когерентности (см. пунктирную кривую) представляет собой периодическую функцию N единственным главным максимумом (равным единице), который соответствует случаю генерации одной моды. Для реального лазера, однако, степень временной когерентности [c.55]

Часто в расчетах используется такая характеристика случайных процессов, как спектральная плотность (см. 21). Она также характеризует внутреннюю структуру процесса. В теории случайных процессов доказывается, что всякий стационарный процесс (рис. 28, а) может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различной частоты, так называемых гармоник. В каждой гармонике с детерминированной частотой амплитуды случайны. Иными словами, каждая периодическая функция является случайной из-за разброса амплитуд (рис. 28,б,в,е). Разброс этих амплитуд характеризуется дисперсией. При этом каждой частоте свойственна своя дисперсия амплитуд. Спектр случайного процесса представляет собой распределение дисперсий амплитуд по различным частотам. [c.90]

ОСНОВНАЯ ЧАСТОТА — частота повторения для периодической функции, определяется (нестрого)) как низшая частота сложной периодической волны, иногда называется первой гармоникой (см. также СУ Б ГАРМОНИКИ). [c.298]

ФАЗА —мера попадания в такт или выхода из такта для звука или другой периодической функции. Измеряется в угловой мере в градусах или, лучше, в радианах (360° = 2я радиан) если, например, одна синусоидальная волна отстает от другой, так что минимумы первой совпадают по времени с максимумами второй, то говорят о расхождении по фазе на я радиан, или на 180° (см. также УГЛОВАЯ ЧАСТОТА). [c.301]

Галеркин Б. Г. 137 Гарантированный натяг 509 Гармонические колебания — см. Колебания гармонические Гармонический анализ периодических функций 252 [c.1066]

На круговой орбите (б = 0) уравнение (2.3.5) переходит в уравнение свободных колебаний математического маятника, которое интегрируется в эллиптических функциях (см. 2 этой главы). Упомянутые выше 2я-периодические решения при 6 = 0 имеют вид [c.96]

Фазовые точки, которые проходят через резонанс, не захватываясь, испытывают скачок адиабатического инварианта Я, равный по порядку величины л/ё (и, тем самым, скачки величин Ii 2, поскольку Ii = шЯ — liJ, I2 = —пЯ + hJ)-Это явление называется рассеянием на резонансе. Как захват, так и рассеяние на резонансе представляют собой вероятностные явления и типичны для систем с переходами через резонансы (см. [7, 8] и примеры в [9, 10]). Вероятность захвата для фазовой точки, приближающейся к резонансу, есть величина порядка л/ё. Следовательно, если di = di et) — периодическая функция, то в течение времени t фазовые траектории с начальными условиями суммарной меры 1 [c.174]

Переменные qi являются периодическими функциями т с периодом 2т (см. формулу (5.4)). Следовательно, функции Сг(9г(т)) тоже периодические с тем же периодом. [c.221]

Видно, что / — 27г/Л-периодическая функция от а. Оказывается, если 1 а) ф О, то возмущенные сепаратрисы расщепляются. Более того, если функция а 1 а) имеет простые нули, то расщепленные сепаратрисы пересекаются, причем трансверсально (см. [16]). Картины трансверсально пересекающихся сепаратрис показаны па рис. 2. [c.243]

Пусть К = ko,ki,.. .,к У, Hi x,y°,ip) = Я " exp[i(rov >+Tia i + +. .. + т Жп)], т G Введем 2тг-периодическую функцию одной переменной /i(A) = Я exp(i/iA), ц Ъ. Эта функция — результат усреднения возмущающей функции Н Ш вдоль траекторий невозмущенной задачи (см. п. 1 10). [c.246]

Пусть механическая система является обобщенно-консервативной, а хотя бы один набор канонических переменных разделяется, причем либо каждая из соответствующих переменных 7г, pi является периодической функцией времени с одинаковым периодом, либо каждый импульс рх является периодической функцией координаты в то -время как сама координата не является периодической функцией времени. Движение первого типа обычно называется либрацией, а второго типа — вращением. Примером либрации могут служить колебания неизотропного осциллятора (см. пример 9.9), а примером вращения — движение математического маятника при достаточно большом значении начальной энергии. В самом деле, получая из интеграла энергии маятника обобщенный импульс [c.438]

Естественно, что существенное значение имеет вопрос о реальном нахождении функций Эти функции, как оказывается, могут быть построены, если известно необходимое число независимых решений некоторой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (см. 4). Указанные решения в свою очередь могут быть найдены для ряда классов нелинейных систем (2Л), в частности, для систем квазилинейных. [c.160]

Замечание 2.2. Если мы продолжим и нулем на У , то мы можем писать У вместо У в (2.17). Напомним, что У-периодические функции можно рассматривать и как заданные только на У, и как заданные на всем В первом длучае У-периодичность значит, что следы и на противоположных гранях периода У одинаковы (см. гл. V, замечание 2.1) во втором случае подразумевается, что и локально принадлежит Н и У-периодична в обычном смысле ( 1, гл. V). Чтобы получить вариационную формулировку (2.10) - (2.12), возь-мш пробную функцию (бРу и умножим (2.10) на , интегрируя по У , имеем (заметим, что интегралы п<5 д У равны нулю в силу к р = О и условий периодичности) [c.173]

Теорию колебаний решеток, с историческим введением и исследованием электрических схем, математически эквивалентных механическим структурам, см. Бриллюэн Л., Парод и М., Распространение волн в периодических структурах, ИЛ, Москва, 1959. В добавление к историй вопроса, данной Бриллюэ-ном, можно заметить, что Гамильтон глубоко разработал этот вопрос в статье, названной Динамика света , но опубликовал только короткий доклад об этой работе см. Hamilton W. R., Mathemati al Papers, т. 2, стр. 413—607. Гамильтон получил формулу (54.3) операционными методами, функции Бесселя появлялись при этом как интегралы (цит. соч., стр. 451, 576). [c.163]

Выше указывалось, что если точка, характеризуемая. заданными параметрами а и q, оказывается на какой-либо из кривых йт или Ьщ характеристическнх чисел (см. рис. 2.1), то одно из частных решений оказывается периодическим или полупериодическим (функции Матье), а другое частное решение оказывается неустойчивым так, что общее решение тоже неустойчиво. [c.64]

Периодические дроби 62, 64 Периодические функции—см. Функции периодические Перициклоиды 281 [c.581]

Параметрический резонанс, возникающий при определенной пульсации параметров системы (например, приведенного момента инерции или приведенной жесткости), в ряде случаев может служить не только источником нарушений нормальього функционирования механизмов, но и приводить к серьезным авариям, угрожающим безопасности обслуживающего персонала. Периодические изменения приведенных упругих и инерционных характеристик механизмов в основном вызываются переменностью первой передаточной функции звеньев П (см. параграф 1), которая для цикловых механизмов является периодической функцией угла поворота ведущего звена. [c.99]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Где т — масса электрона. Учет периодического потенциала кристаллической решетки (метод Блоха) усложняет эту зависимость, приводя к разрывам параболической зависимости W p) в областях запрещенных энергий (см. рис. 1.4). Функция W p) непрерывна в различных интервалах пространства импульсов, называемых зонами Бриллюэна (например, при —n/a k n/a и др.), а при переходе от одной зоны Бриллюэна к другой терпит разрывы. Применение одноэлектронной зонной теории с блоховскими волновыми функциями хорошо оправдывается для кристаллов с s- и р-электронами, орбитали которых имеют большую пространственную протяженность и значительное взаимное перекрытие (в случае кристаллов с d- и /-орбиталями применять зонную теорик> нужно с осторожностью (см. 4.4)). [c.13]

Аналоги теорем 2.1.6 и 2.1.7 для случая, когда правая часть системы (1.2.1) является почти периодической функцией Г, получены А.О. Игнатьевым [1989а]. По поводу других результатов, касающихся анализа ЧУ-задачи неавтономных систем см. А.С.Андреев [1982], L. Hatvani [1982] и Y.X. Guo [1992]. [c.165]

Как уже говорилось во введении, постановка задачи об интегралах возмущенных гамильтоновых систем, аналитических по малому параметру, принадлежит Пуанкаре [225 146, гл. V]. Предполагая множество Р1 всюду плотным, Пуанкаре доказал отсутствие однозначных интегралов, независимых с интегралом энергии и аналитических по фазовым переменным и параметру е. В работе [75] показано, что предположение о плотности множества Р1 можно ослабить достаточно, чтобы Р1 было ключевым множеством для класса аналитических функций, В докладе автора на семинаре им. И, Г, Петровского [80] было дано распространение метода Пуанкаре на случай, когда интегралы разыскиваются в виде формальных рядов по степеням е с аналитическими или гладкими коэффициентами (см. теоремы 3 и 4). Распространение метода Пуанкаре на гамильтоновы системы с периодическим гамильтонианом содержится в [75]. Обобщения результатов Пуанкаре на негамильтоновы системы стандартного вида (1,1) (см. теоремы 1 и 2) в литературе, по-видимому, не обсуждались. [c.185]

В типичной ситуации функция h является функцией Морса. Поэтому у нее всегда найдутся критические точки, в которьгх h имеет знак, противоположный знаку 6. При п = 1 получаем периодические решения возмущенной задачи, период которьгх кратен 27г/о . Этот случай, по существу, охватывается классической теоремой Пуанкаре о рождении невырожденных периодических решений (см. теорему 5 8). Отметим две особенности. Во-первых, зависимость возмущенных решений аналитична по е, а не по у/г, как в теореме 1. Во-вторых, критическим точкам функции /г, в которьгх к Х )6 > О, при е > О отвечают возмущенные периодические реигения эллиптического типа они устойчивы в линейном приближении. Условия их устойчивости по Ляпунову указаны в работе [123]. [c.247]

V является 2тг-периодической функцией от переменной x + at а = = onst), в этом случае уравнение (3.1) допускает обобщенный интеграл энергии, степень которого равна двум (см. п. 1). [c.383]

Среди немногих случаев, для которых дифракционные поля могут быть вычислены аналитически, особую важность представляют поля, имеющие вид периодических функций. Рассмотрим такие поля более подробно, поскольку их дифракция имеет интересные приложения для теории рещеток [14] (см. разд. 6.10). [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...