ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА Уравнения Гамильтона

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

В частности, если 7 — замкнутая кривая на М и — фазовый поток гамильтоновой системы, то интеграл от 1-формы ydx по замкнутой кривой 5 (7) не зависит от t. Отсюда выводится основная теорема гамильтоновой механики фазовый поток уравнений Гамильтона является семейством канонических преобразований. [c.21]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

В. Канонические уравнения Гамильтона. Из леммы Стокса непосредственно вытекают все основные положения гамильтоновой механики. [c.207]

Основные понятия гамильтоновой механики (импульсы р, функция Гамильтона Н, форма р dq — Hdt, уравнение Гамильтона — Якоби, о котором будет идти речь ниже) возникли при перенесении на общие вариационные принципы (и, в частности, на принцип стационарного действия Гамильтона, dt 0) некоторых весьма простых и естественных понятий геометрической оптики, управляемой частным вариационным принципом — принципом Ферма. [c.218]

Более важный класс динамических систем, связанных с линейными потоками на торах, возникает в гамильтоновой механике. Напомним наиболее классическое определение гамильтоновой системы. Пусть Н — гладкая функция, определенная на некотором открытом подмножестве 17 евклидова пространства Уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона (или гамильтонианом) Я имеют вид [c.48]

Особенности существующих методов распространения лагранжевой и гамильтоновой механики на механику сплошной среды связаны прежде всего с тем, что на основании простейших примеров постулируется существование функции Лагранжа (лагранжиана), а затем функции Гамильтона (гамильтониана), порождающих дифференциальные уравнения движения элементов сплошной среды. При этом среда рассматривается как консервативная и, неявно, как свободная система. [c.11]

Чтобы ввести уравнения движения в пределы гамильтоновой механики недостаточно, чтобы они были каноническими в общем смысле этого термина. Необходимо, чтобы они были гамильтоновыми каноническими уравнениями, т. е. чтобы они порождались некоторой функцией или тензором Гамильтона. [c.103]

При исследовании систем с конечным числом степеней свободы большие успехи достигнуты благодаря сведению уравнений движения этих систем к виду (6.1). Это всегда выполнимо в случае консервативных систем. Гамильтонова механика является базой статистической механики и кинетической теории газов, на основе которых можем строить модель континуальных систем [26]. Для гамильтоновых систем уравнение Лиувилля — основное уравнение статистической механики — представляется в виде скобок Пуассона от функции Гамильтона. [c.156]

Если построена обобщенная функция Гамильтона и уравнения движения непотенциальной системы приведены к гамильтоновой форме, то для таких систем справедливы все основные теоремы и методы гамильтоновой механики потенциальных систем, в частности теорема Остроградского — Гамильтона — Якоби об интегрировании канонической системы уравнений. На доказательстве этих утверждений не останавливаемся, поскольку оно проводится так же, как указано, например, в работе [16]. [c.169]

Гамильтонова механика Формально метод, позволяющий записывать уравнения движения динамической системы с N степенями свободы в виде 2N дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [Гамильтон (1805—1865)]. На практике под гамильтоновой механикой часто понимают теорию недиссипативных систем с потенциальными силами. [c.268]

Конечно, уравнения (1.1)-(1.2) можно изучать безотносительно их происхождения из гамильтоновой механики. Однако с методической точки зрения проще действовать по-другому. Мы покажем, что каждое уравнение (1.1) есть уравнение Ламба для и-мерной инвариантной поверхности некоторой гамильтоновой системы. Это обстоятельство дает возможность воспользоваться известными результатами об уравнениях Гамильтона из первой главы. [c.103]

Адиабатические инварианты. Проблема медленно меняющихся цугов волн аналогична проблеме медленно меняющихся колебаний в классической механике. Известная элементарная задача состоит в определении изменений амплитуды простого маятника, когда пружина медленно перемещается по подставке. Вообще же говоря, эта задача относится к поведению гамильтоновой системы, когда внешний параметр медленно меняется со временем. Теория основывается обычно на уравнениях Гамильтона, причем сушественно используются канонические преобразования. Соответствующие преобразования не существуют в случае большего числа независимых переменных [8], так что в задачах теории волн подобные методы построить нельзя. С дру- [c.22]

Мы начинаем изучение самого плодотворного метода теоретической физики — гамильтонова формализма [8, 15, 16, 28, 40, 156, 262]. В современной физике гамильтоновы системы занимают весьма важное место. С одной стороны, они описывают практически все явления, изучаемые в классических теориях гамильтонов формализм является основой квантовой механики и теорий вторично-квантовых полей [15, 156-158]. С другой стороны, теория канонических преобразований позволяет развить универсальные методы получения точных и приближенных решений систем нелинейных уравнений. [c.250]

Книга посвящена математическому изложению аналогий, существующих между гидродинамикой, геометрической оптикой и механикой. Оказывается, изучение семейств траекторий гамильтоновых систем по существу сводится к задачам многомерной гидродинамики идеальной жидкости. В частности, известный метод Гамильтона — Якоби отвечает случаю потенциальных течений. Рассказано о некоторых приложениях такого подхода, в частности, о вихревом методе точного интегрирования дифференциальных уравнений динамики. [c.2]

Полезно подчеркнуть, что если механика основывается на аксиомах Ньютона, то при теоретическом нахождении кинематических уравнений движения должны быть заданы силы. Если же речь идет о второй схеме, лагранжевом или гамильтоновом формализме, то должны быть заданы функция Лагранжа или Гамильтона. Конкретные формулы как для сил, так и для названных функций в рамках механики не выводятся, а задаются. [c.212]

Чтобы закончить это краткое предварительное рассмотрение, заметим еще, что принятая нами концепция разложения системы на компоненты приводит, как это неоднократно отмечалось, к своеобразному методологическому парадоксу. Как мы указывали уже в самом начале главы I, при всей общности и отвлеченности предпосылок статистической механики построение этого учения все же неизменно предполагает, что составляющие материю частицы находятся в состоянии интенсивного взаимодействия, которое прежде всего мыслится как взаимодействие энергетическое, т. е. как передача энергии от одной частицы к другой (например, посредством столкновений) как мы более подробно увидим далее, именно на возможности такого обмена энергетическими ресурсами между частицами вещества статистическая механика и основывает свой метод. Между тем, принимая частицы, составляющие данную физическую систему, за компоненты ее в определенном нами смысле, мы тем самым исключаем возможность какого бы то ни было энергетического взаимодействия между ними. В самом деле, если функция Гамильтона, выражающая энергию нашей системы, является суммой таких функций, каждая из которых зависит от динамических координат только одной частицы (и служит гамильтоновой функцией этой частицы), то, очевидно, и вся система уравнений (1) распадается на системы, каждая из которых описывает движение одной какой-нибудь частицы и никак не связана с прочими частицами поэтому энергия каждой частицы, выражаемая ее гамильтоновой функцией, служит интегралом уравнений движения и, следовательно, не может подвергаться никаким изменениям. [c.31]

С уравнениями Лагранжа. В лагранжевой механике существенной является функция L, представляющая собой разность между кинетической и потенциальной энергией. При попытке упростить выражение для потенциальной энергии кинетическая энергия может приобрести слишком сложный вид, и наоборот. Одновременное упрощение выражений и для потенциальной и для кинетической энергий является довольно трудной задачей. В гамильтоновой механике положение более благоприятное, потому что основная функция, функция Гамильтона Н, зависит лишь от самих переменных и не содержит каких бы то ни было производных. Поэтому ее можно сравнить с потенциальной энергией в лагранжевой задаче. Кинетическая же энергия приводится к нормальному виду piqi и не участвует в задаче преобразования. Ею определяется общий класс преобразовании, которые могут применяться. Оставаясь внутри этого класса, мы можем полностью сконцентрировать свое внимание на функции Гамильтона Н. [c.226]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Есть русский перевод Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, Москва, 1957.— Изложение, имеющее целью дать методы, требующиеся в квантовой механике. Используются матричный и векторный аппарат. Специальная теория относительности. Уравнения Гамильтона, канонические преобразования, малые колебания, знакомство с лагран-жевой и гамильтоновой формулировками задач для непрерывных систем и полей. [c.440]

Книга посвящена активно развивающемуся направлению классической механики — теории интегрирования уравнений Гамильтона. Впервые излагается систематический ангшиз причин неинтегрируемого поведения гамильтоновых систем сложное строение пространства положений, малые знаменатели, расщепление асимптотических поверхностей, рождение изолированых периодических решений, ветвление решений в плоскости комплексного времени, квазислучайные режимы колебаний. Изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики. [c.2]

В этой книге впервые предпринята попытка систематизировать результаты по проблеме интегрируемости гамильтоновых систем, полученные за последние 10-15 лег, а также дать современное изложение классических результатов по этой тематике. Структура книги такова. Во введении дан исторический обзор исследований по проблеме интегрируемости уравнений динамики. Основы гамильтоновой механики изложены в гл. I. Глава II посвящена методам точного интегрирования уравнений Гамильтона в ней обсуждаются различные аспекты понятия интегрируемой гамильтоновой системы. В гл. III указаны грубые препятствия к интегрируемости, выраженные через топологические инварианты конфигурационного пространства. Обсуждение резонансных явлений в связи с проблемой интегрируемости содержится в гл. IV-VIIL Изложенные методы позволяют дать строгие доказательства неинтегрируемости многих актуальных проблем динамики. Особое место занимает обсуждение механизма стохастизации гамильтоновых систем при малом изменении функции Гамильтона. [c.7]

В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрий, порождаемые гамильтоновыми системами если функции Я и F находятся в инволюции, то фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения уравнений Г амильтона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений. Таким образом, задача о группах симметрий уравнений Гамильтона содержит как частный случай задачу о первых интегралах. Нётеровы симметрии порождаются линейными интегралами F = р - v q). [c.14]

Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 Релятивистская механика . Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрируюш их приложения методов теоретической механики к исследованию широкого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также 42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляюш их различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включаюш ий множество задач, иллюстрируюш их применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений обш его вида, представленных в гамильтоновой форме. [c.5]

Вопрос. Почему система дифференциальных уравнений, ведь можно определить задачу с помощью лагранжиана или гамильтониана Понятия лагранжевой и гамильтоновой механики используют только тогда, когда они вносят какое-нибудь упрощение, на вычислительном или концептуальном уровне. Одна из идей, которую мы хотим довести до читателя, состоит в том, что эти понятия ничего не упрощают в процессе редукци. [c.3]

Включены следующие разделы теоретической механики равновесие, устойчивость положения равновесия консервативной системы, малые колебания консервативной системы, асимптотическая устойчивость, гамильтонова механика, каконические преобразования, уравнение Гамильтона-Якоби. [c.2]

Она отличается от болыней части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. На этой идее базируется как и,зложение основных понятий механики, так п обоснование лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется leopeMe Э. Нетер и интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби. [c.2]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Могут спросить, в чем значение канонических уравнений движения. Здесь можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том, что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная — волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом формализме, чем на лагранжевом следует отметить, однако, что лагранжев формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же обстоятельство состоит в том, что формализм Гамильтона особенно удобен для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для теории возмущений имеется необъятная область применения — как в классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к теории возмущен и1. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что статистическая механика широко использует гамильтонов подход 2s-Mepnoe (р, (7)-простраиство в статистической механике называется фазовым пространством. [c.126]

Гамильтоновы динамические системы. В задачах небесной механики и теоретической физики значительную роль играют гамильтоновые системы и близкие к ним при учете диссипативных эффектов. Система Гамильтона — это динамическая система, уравнения движепия которой записываются с помощью единственной функции Гамильтона H(q, р) в виде [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...