Пространство кокасательное

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

Как уже говорилось в гл. I, обычно в задачах динамики фазовое пространство совпадает с пространством кокасательного расслоения конфигурационного многообразия М , а функция Гамильтона квадратично зависит от канонических импульсов. [c.65]

Пусть N — гладкое многообразие и T N — кокасательное пространство к. N в точке д, состоящее из всех 1-форм на касательном пространстве Г,Л/. Объединение и я7, Л =М имеет естественную структуру гладкого многообразия размерности 2п. Оно называется пространством кокасательного расслоения N и обозначается Т И. Если д=(д. .... локальные координаты на N. то любая 1-форма задается своими п компонентами р=(рь. .., р ) в базисе 1.....<1д . Наборы чисел ри. .. [c.34]

С другой стороны, нормальное отображение можно рассматривать как лагранжево. Действительно, пространство нормального расслоения подмногообразия, рассматриваемое как подмножество пространства кокасательного расслоения объемлющего евклидова пространства, — его лагранжево подмногообразие. Проектирование иа базу кокасательного расслоения и есть искомое лагранжево отображение. [c.103]

В типичной вариационной гиперболической системе главный символ оказывается нестрого гиперболичным в некоторых внутренних точках области гиперболичности. Соответствующее многообразие особых точек имеет коразмерность два на гиперповерхности нулей главного символа в пространстве кокасательного расслоения пространства-времени. На трехмерной трансверсали к этому многообразию типичных особенностей множество нулей главного символа оставляет след, диффеоморфный невырожденному конусу [c.143]

Координаты Хк,Ук будут сопряженными каноническими переменными, а пространство кокасательного расслоения Р = Т М — фазовым пространством. [c.60]

Пример. Уравнение эйконала = 1 определяет послойно квадратично выпуклую гиперповерхность в пространстве кокасательного расслоения риманова многообразия. Следовательно, решения уравнения Гамильтона-Якоби (У ) = 1 определяют оптические лагранжевы подмногообразия. [c.49]

Рассмотрим лагранжево подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения некоторого многообразия. Оно может быть поднято (по крайней мере локально) до лежандрова подмногообразия многообразия 1-струй функций на выбранном многообразии [c.69]

Соответствующая одномерная задача проще точные лагранжевы кривые (то есть проекции компактных лежандровых кривых из пространства 1-струй функций на вещественной прямой в пространство кокасательного расслоения этой прямой) обязательно имеют точки самопересечения. [c.119]

Эти классы индуцируют лагранжевы характеристические классы когомологий с целочисленными коэффициентами на лагранжевых подмногообразиях пространства кокасательного расслоения Т У. [c.127]

В пространстве кокасательного расслоения (р, д) ч- [c.263]

Замечание. Отображение, задаваемое главным матричным символом дифференциального уравнения, не может быть произвольным, так как главный матричный символ есть однородный многочлен от кокасательного вектора. Тем не менее, предыдущие соображения общности положения работают и в этой ситуации, поскольку существуют деформа ции вариационного принципа такие, что образ производной главного матричного символа по параметрам накрывает всё касательное пространство к N (для любой точки пространства кокасательного расслоения, не принадлежащей нулевому сечению). [c.286]

С понятием касательного пространства ТрМ тесно связано понятие кокасательного пространства Т М. Т М — пространство всех линейных [c.52]

Примером симплектического многообразия является кокасательное расслоенное пространство. Пусть М — конфигурационное пространство механической системы. Кокасательное расслоенное пространство Т М — фазовое пространство с системой локальных координат [c.54]

Координаты Ql, .. участвующие в понижении порядка гамильтоновой системы, определены конечно неоднозначно к ним можно добавить произвольные первые интегралы уравнения (3.9). Гамильтониан пониженной системы в общем случае зависит от выбора решения Qn уравнения (3.9). Если же постоянная линейного интеграла Г равна нулю, то функция Г амильтона приведенной системы однозначно определена на кокасательном расслоении локального приведенного пространства положений, точки которого являются орбитами действия группы д. Иногда такое приведение при = О можно осуществить не только локально, но и в целом. [c.37]

Движения обратимой системы описываются уравнениями Гамильтона в кокасательном расслоении Т М, которое является ее фазовым пространством. Расслоение Т М имеет естественную структуру четырехмерного аналитического многообразия. Будем считать, что функция Гамильтона Н Т М —> К всюду аналитична. Так как Я = Т р,д) + У д) и Т р,д) при всех д Е М является квадратичной формой от р е Т А1, то функции Т (кинетическая энергия) и V (потенциальная энергия) аналитичны соответственно [c.133]

Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай (фазовое пространство в зтом случае есть кокасательное расслоение конфигурационного, а функция Гамильтона — преобразование Лежандра функции Лагранжа). [c.142]

Рассмотрим дуальное к алгебре Ли 9 линейное пространство 9. Это — пространство вещественных линейных функций на алгебре Ли. Иными словами, 9 есть кокасательное пространство к группе в единице, 9 = T Ge. [c.285]

Значение элемента кокасательного пространства к группе в какой-либо точке g на элементе т] касательного пространства в той же точке мы будем обозначать круглыми скобками [c.285]

Левый и правый сдвиги индуцируют в кокасательных пространствах операторы, дуальные к Lg и Мы обозначим их через [c.286]

Оператор, дуальный оператору А(1 , отображает кокасательное пространство к группе в единице в себя. Он обозначается через [c.286]

Образ вектора g под действием оператора инерции Ag называется кинетическим моментом и обозначается через М = Agg, Вектор М лежит в кокасательном пространстве к группе в точке g, и его можно перенести в кокасательное пространство к группе в единице как левыми, так и правыми сдвигами. Получаются два вектора [c.289]

Симплектические многообразия классической механики — это чаще всего фазовые пространства лагранжевых механических систем, т. е. кокасательные расслоения конфигурационных пространств. [c.308]

ЗИЯ, или с 2п — 1-мерным многообразием уровня энергии материальной точки, движущейся по риманову многообразию по инерции. Контактные структуры в этих 2п — 1-мерных многообразиях тесно связаны с симплектической структурой в 2п-мерном фазовом пространстве точки (т. е. в кокасательном расслоении исходного риманова п-мерного многообразия). [c.315]

В самом деле, контактный элемент задается 1-формой на кокасательном пространстве, для которой этот элемент является нулевым множеством уровня. Эта форма не нулевая, и она определена с точностью до умножения на отличное от нуля число. [c.320]

Дело в том, что многообразие контактных элементов связано простой конструкцией с пространством кокасательного расслоения (проективизацией которого является многообразие контактных элементов). Причем невырожденность поля контактных плоскостей проективизированного расслоения тесно связана с невырожденностью 2-формы, задающей сиьшлектическую структуру кокасательного расслоения. [c.321]

В результате сиьшлектизации получается 2и-мерное многообразие. Это многообразие есть пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых векторов. При этом действие мультипликативной группы вещественных чисел на слое сводится к уьшожению на числа векторов кокасательного пространства. [c.323]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Эти отображения лагранжевы. Действительно, потенциальное поле скоростей задает лагранжево сечение пространства кокасательного расслоения. Фазовый поток уравнения Ньютона сохраняет лагранжевость. Но это лагранжево многообразие при больших I перестает быть сечением его проекция на базу имеет особенности. Каустики этого отображения — места бесконечной плотности частиц ). Согласно Я. Б. Зельдовичу (1970) аналогичная [c.449]

Пример 8. Пусть — гладкое многообразие и g — группа его диффеоморфизмов, порожденная векторным пачем и. Поскольку каждый диффеоморфизм N переводит 1-формы в 1-формы, то группа действует и на пространстве кокасательного расслоения М = Т М. Напомним, что М имеет стандартнук> симплектическую структуру ш =ёр/ <1д = й(р-с1ц), где р,д — канонические координаты на ЛГ. Поскольку группа g сохраняет 1-форму р-с1д, то она сохраняет 2-форму и, стало быть, является группой симплектических диффеоморфизмов М. Действие g на М порождается однозначной функцией Гамильтона Р = р и. Д [c.98]

Примеры индекс Маслова и первый класс Понтрягина. Пусть N — лагранжево иммерсированное подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения многообразия W. Если эта иммерсия T W — общего положения, то особое множество проекции имеет в N коразмерность 1. Ока- [c.205]

Пример 4 фазовое пространство). Фазовое пространство (пространство кокасательного расслоения) М = Т У любого гладкого многообразия V снабжено естественной симплектической структурой, в обычных координатах фазового пространства записываемой как и = J2dPi dqi. [c.7]

Определение лагранжева кобордизма опирается на понятие лагранжева края. Рассмотрим лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения многообразия с краем. Физически лагранжево подмногообразие описывает коротковолновую асимптотику волнового поля. Волновое поле в области индуцирует волновое поле на краю зтой области. Его асимптотика определяет лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения края. Это лагранжево подмногообразие называется лагранжевым краем исходного (лагранжева) подмногообразия. Размерность лагранжева края на единицу меньше размерности исходного подмногообразия, и оно вложено в симплектическое пространство, размерность которого на 2 меньше размерности исходного симплектического пространства. [c.114]

Другими словами, вложение дУ V индуцирует проекцию 9(Т У) Т дУ) из края пространства кокасательного расслоения в пространство кокасательного расслоения края (эта проекция отпра вляет 1-форму в точке края в ограничение зтой формы на край). [c.114]

Рассмотрим два замкнутых (т. е. компактных беэ края) лагранжева подмногообразия Ьо и 1 пространства кокасательного расслоения Т У. Лагранжевьш, (цилиндрическим) кобордизмом между Ьо и (рис. 56) называется лагранжево подмногообразие пространства Т У X [о, 1]) (кокасательного расслоения цилиндра над У), лагранжев край которого есть разность между 1 1 X 1 и 1 о X О (для ориентированных кобордизмов изменение ориентации многообразия индуцирует изменение знака в кобордизме в неориентированном случае коэффициенты принадлежат 7г). [c.116]

Естественная проекция (определяемая кратным дифференцировав нием многочленов) отправляет 2тп-мерное пространство многочленов степени 2т - - 1 в (т - - 1)-мерное пространство многочленов степени т + 2. Этой проекцией раскрытый ласточкин хвост размерности т отображается на обычный тп-мерный ласточкин хвост (образованный многочленами, имеющими кратный корень). Это отображение однозначно везде, за исключением линии самопересечения ласточкина хвоста (при п = 2). Каждая точка этой линии, за исключением вершины ласточкина хвоста, имеет 2 прообраза на раскрытом ласточкином хвосте. Топологически раскрытый ласточкин хвост гомеоморфен евклидову пространству. Этот гомеоморфизм сохраняет все особенности обычного ласточкина хвоста, за исключением самопересечений. Таким образом, поднятие обычного ласточкина хвоста на раскрытый (топологически эквивалентное нормализации в алгебраической геометрии) упрощает топологическую структуру и разрезает некоторые петли в точках самопересечения. Название раскрытый как раз и отражает этот факт. Как мы увидим ниже, раскрытые ласточкины хвосты управляют особенностями систем лучей на препятствии. Здесь же мы используем эти тп-мерные особые лагранжевы многообразия для определения раскрытых зонтиков. Забудем про симплектическую структуру объемлющего 2т-мерного пространства. Конормальйое расслоение т-мерного раскрытого ласточкина хвоста лежит в 4тп-мерном симплектическом пространстве кокасательного расслоения над пространством многочленов. Это многообразие лагранжево, чётной размерности 2т, оно является образом лагранжева включения. [c.152]

Вариационный принцип определяет отображение пространства кокасательного расслоения базового многообразия (в предыдущем примере — это пространство-время) в пространство симметрпческпх (т X т)-матриц (более точно, в симметрический тензорный квадрат пространства, двойственного слою). Это отображение однородно (элементы матрицы являются однородными многочленами степени (1 = 2г, если вариационный принцип содержит производные порядка г). Обратно, любая симметрическая матрица с такими свойствами является главным матричным символом системы Эйлера-Лагранжа некоторого вариационного принципа с квадратичным лагранжианом, включающим г-е производные. [c.282]

Примеры. 1) Фазовое пространство. Пусть X — конфигурац. пространство мехэнич. системы, М = Т Х — его кокасательное расслоение. Локальные координаты в М — это обобщённые координаты (дх,. .., д ] точки д на X и обобщённые импульсы ( >х,. .., рп) (координаты ковектора р из кокасательного пространства в точке д). Дифференциальная 1-форма [c.521]

Идеи современной дифференциальной геометрии все шире проникают в аналитическую механику. В работах А. В. Арнольда [1], Абрахама 2], К. Годбийона [3] показано, что дифференциальная геометрия может рассматриваться как естественный фундамент классической механики. При этом четко разграничиваются два аспекта механики гамильтонов и лагранжев. Гамильтонова динамика связана с существованием симплектической структуры на кокасательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. Введение Клейном [4 специального дифференциального исчисления на касательном расслоении позволяет связать лагранжеву динамику с симплектической структурой касательного расслоения конфигурационного пространства. [c.51]

Касательное и кокасательное расслоения. 2п-мерное дифференцируемое многообразие ТМ, являющееся объединением всех касательных пространств в точках многообразия TM = UTpM, называется касательным расслоенным пространством. Касательное расслоение представляет важный пример дифференцируемого векторного расслоения [5. [c.52]

Другим примером векторного расслоения является кокасательное расслоение — ассоциированное расслоение внешних форм на х[М). Это двойственное к х расслоение т =(7 Л1, q, М). T" M = UTpM — кокасательное расслоенное пространство. [c.52]

Имеется еще один распространенный вариант определения симплектической структуры и гамильтоновой системы. Исходным пунктом здесь является замкнутая невырожденная 2-форма П на четномерном многообразии М. Форма П позволяет построить естественный изоморфизм касательного Т М и кокасательного Т М пространств вектору Т М ставится в соответствие ковектор [c.22]

Объединение кокасательных пространств к многообразию во всех его точках называется кокасателъным расслоением V и обо-значается через Т У. Множество Т У име- У ет естественную структуру дифференцируе- [c.176]

Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа Ь. Легко сообразить, что лагранжева обобщенная скорость д — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а обобщенный импульс р = дидд — кока-сательный. Позтому фазовое р, -пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия. [c.176]

Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфихурацион-ных пространств. [c.314]

Теорема. Расслоение контактных элементов является проективизацией кокасательного расслоения его можно получить иа кокасательного расслоения, заменив каждое кокасательное линейное п-мерное пространство и — -мерным проективным пространством точка которого — прямая, проходящая через начало координат в кокасательном пространстве). [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...