Понятие интегрируемости

Понятие интегрируемости. Вопросы, касающиеся интегрируемости данной динамической проблемы, представляют большой интерес. Общеизвестно, что для некоторых задач можно ввести вспомогательные аналитические соотношения, с помощью которых мы мо- кем удовлетворительно исследовать решения соответствующих дифференциальных уравнений. В этом случае система может быть названа [c.254]

По отношению к функции О(х],сц х 0, как и функции точки, применимы обычные понятия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости на отрезке [а,6]. [c.19]

Понятие интеграла по Лебегу является более общим, чем обычное понятие интеграла по Риману. В отличие от интеграла Римана интеграл Лебега существует практически для Каждой ограниченной функции. При этом всякая функция, интегрируемая по Риману, необходимо интегрируем и по Лебегу и оба ее интеграла равны между собой. Подробнее см. [1]. , [c.26]

В предлагаемой книге, представляющей собой обработку лекций, читанных мной в Пермском университете, сделана попытка дать анализ эмпирических закономерностей, связанных с макроскопической необратимостью, и выяснить, каким образом из этих законов выводятся понятие энтропии и закон ее возрастания. Доказательство существования энтропии оказывается возможным провести, не пользуясь теорией интегрируемости дифференциальных форм. [c.6]

Это выражение можно преобразовать далее ((Зм. [2]) и показать, что для степенных потенциалов с угловым обрезанием ядро 2 (1 1) ограничено константой, умноженной на соответствующее ядро для упругих сферических молекул. В той же работе [2] показано, что третья итерация симметризованной формы / /27 2/7 / этого ядра интегрируема с квадратом. Следовательно, оператор вполне непрерывен в (понятия функционального анализа см. в книге [4]) при любых степенных потенциалах с угловым обрезанием и для упругих сферических молекул. Так как это, очевидно, верно и для (в этом случае ядро само интегрируемо с квадратом), то отсюда следует, что оператор К вполне непрерывен. Ясно, однако, что это свойство бесполезно, если переходить [c.87]

Математику легко убедить себя в том, что теоретическая гидродинамика в основном непогрешима. Так, Лагранж ) писал в 1788 г. Мы обязаны Эйлеру первыми общими формулами для движения жидкостей... записанными в простой и ясной символике частных производных... Благодаря этому открытию вся механика жидкостей свелась к вопросу анализа, и будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил... Многие из величайших математиков, от Ньютона и Эйлера до наших дней, штурмовали задачи теоретической гидродинамики, веря в это. И в их исследованиях, часто вдохновляемых физической интуицией, были введены некоторые из наиболее важных понятий теории уравнений в частных производных функция Грина, вихревая линия, характеристика, область влияния, ударная волна, собственные функции, устойчивость, корректность задачи —таков неполный список. [c.16]

Современные представления о физическом смысле скорости материальной точки, используемые в понятиях кинетической и потенциальной энергии, действия и других, требуют сопоставления им математических объектов, называемых обобщёнными функциями (распределениями) 99, 135]. Так, например, в интегральных принципах, использующих выражение кинетической энергии, скорости - Ь) — функции, интегрируемые не менее чем с квадратом, т.е. принадлежащие пространству распределений ). Если кинетическая энергия является локально интегрируемой функцией, то ей однозначно сопоставляется (в случае её существования) обобщённая функция. [c.22]

В этой главе предложен иной подход к задаче качественного анализа случая Ковалевской. Он основан на широком использовании понятий, связанных с теоремой В. И. Арнольда о поведении траекторий интегрируемых гамильтоновых систем. [c.225]

Если функция / [х, у) лишь непрерывна, то формула (2) п. 5, вообще говоря, несправедлива, так как в этом случае функция Р (х, у) может не иметь частных производных по х и г/ в обычном смысле. Но можно обобщить понятие частных производных таким образом, чтобы функция Р (х, у) оставалась дифференцируемой и в этом случае. А именно, если понимать частные производные в смысле С. Л. Соболева, то в случае, когда функция / (х, у) лишь непрерывна, равенство (2) п. 5 имеет место почти всюду в 8. Более того, это равенство имеет место почти всюду в 8, если функция / (ж, у) лишь интегрируема по Лебегу. Доказательство этих результатов дано И. Н. Векуа [8]. [c.669]

Перемешивание является более тонким понятием, чем эргодичность, и хотя оно было введено в статистическую физику еш,е в работах Гиббса, тем не менее многообразие вложенного в него содержания удалось понять сравнительно недавно. Введем понятие корреляционной функции. Пусть / и g — две произвольные интегрируемые функции динамических переменных z. Тогда [c.28]

Сейчас не время обсуждать понятие полной интегрируемости во всей его общности, его происхождение, развитие и связанные с ним понятия и результаты. Для наших целей достаточно сказать, что гамильтонова система вполне интегрируема в открытом множестве У С М, если в У можно выбрать такие координаты (I, < ) = (1,,..., Г < 1,..., < ), что компоненты [c.49]

В каком смысле обобщенная функция обобщает понятие функции Если Т есть функция, определенная на том же пространстве, что и основные функции, то может случиться, что произведение T[x)f[x) определяет интегрируемую функцию при произвольной основной функции / и что T f), определенная как линейный функционал с помощью уравнения [c.51]

В этой книге впервые предпринята попытка систематизировать результаты по проблеме интегрируемости гамильтоновых систем, полученные за последние 10-15 лег, а также дать современное изложение классических результатов по этой тематике. Структура книги такова. Во введении дан исторический обзор исследований по проблеме интегрируемости уравнений динамики. Основы гамильтоновой механики изложены в гл. I. Глава II посвящена методам точного интегрирования уравнений Гамильтона в ней обсуждаются различные аспекты понятия интегрируемой гамильтоновой системы. В гл. III указаны грубые препятствия к интегрируемости, выраженные через топологические инварианты конфигурационного пространства. Обсуждение резонансных явлений в связи с проблемой интегрируемости содержится в гл. IV-VIIL Изложенные методы позволяют дать строгие доказательства неинтегрируемости многих актуальных проблем динамики. Особое место занимает обсуждение механизма стохастизации гамильтоновых систем при малом изменении функции Гамильтона. [c.7]

Еще один пример указывает на типичную ошибку, связанную с отсутствием в квантовой механике четкого понятия, которое являлось бы аналогом понятия интегрируемости в классической системе. Рассмотрим систему из двух связанных нелинейных осцилляторов (например, модель Хенона — Хейлеса в 5.3). При достаточно малых энергиях системы (и, следовательно, малых нелинейностях и связи) можно с заданной степенью точности диагонализировать гамильтониан и представить его в виде суммы гамильтонианов для двух степеней свободы. Гамильтониан каждой из степеней свободы является интегралом движения. Таким образом, состояния всей системы описываются набором из двух независимых квантовых чисел ( 1, Пг). Полная энергия системы может быть выражена как функция этих чисел [c.159]

Из сказанного вытекает, что фактически понятие интегрируемой системы остается совсем неопределенным. Было бы неестественным связывать понятие интегрируемости динамической системы с возможностью ее приведения к квадратурам. Это видно не только из сказанного в 199, но также из примеров, показывающих, что возможность приведения динамической системы к квадратурам не является ни достаточным, ни необходимым условием для получения достаточной информации качественного характера о решениях этой системы (см., во-первых, 195—198 и, во-вторых, исследования геодезических многообразий на двумерных многообразиях отрицательной кривизны, упоминавшиеся в 127). Все это находится в согласии с высказываниями Пуанкаре, который относил системы не к интегрируемым или к неин- [c.178]

Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс. Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковгияевской [24]. В качест)зе примера методики по.чучения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стеклова [6]. С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов [14, 41], достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. [c.12]

Т. о., эргодич. теоремы позволяют говорить о предельных временных средних или о временнь1х средних пй бесконечному отрезку времени. Существование последних — признак нек-рой регулярности в поведении траектории ДС, но эта регулярность связана с усреднением, а потому носит лишь статистич. характер. Что касается предельного временного среднего, то его можно охарактеризовать в гсом. терминах, не прибс1 ая к помощи усреднения. Здесь ключевую роль играет понятие инвариантной функции. Так называются ф-пии, постоянные вдоль траекторий почти всех точек фазового пространства. Множества, индикаторы к-рых инвариантны, наз. инвариантными множествами. В пространстве инвариантные ф-ции образуют линейное подпространство, и предельное временное среднее / любой ф-ции feL совпадает с её ортогональной проекцией на это подпространство. Аналогичным образом можно охарактеризовать / ив том случае, когда / имеет лишь интегрируемый модуль, т, е. принадлежит пространству L . [c.627]

Впервые общая картина поведения различных гироскопических систем с быстро вращаюищмся симметричным ротором была, как уже упоминалось, обрисована в классических докладах Л. Фуко, а затем — в фундаментальной монографии В. Томсона и П. Тэта. Следующим шагом в развитии механики гироскопических устройств, позволившим перейти к количественному изучению их движения, был четырехтомный труд Ф. Клейна и А. Зоммер-фельда . Наряду с подробным изложением случаев интегрируемости уравнений движения твердого тела здесь впервые четко формулируется понятие <бкстрого динамически симметричного гироскопа, указывается, что он может совершать псевдорегулярную и вынужденную прецессию, и даются обоснованные количественные оценки угловых ошибок, с которыми следует Считаться, полагая, что вектор кинетического момента гироскопа совпадает с осью его фигуры, т. е. пользуясь допущением прецессионной теории. Авторы впервые изучают влияние трения в опоре и сопротивления среды на движение быстро вращающегося гироскопа. В четвертом томе этой работы имеются также результаты исследования различных конкретных гироскопических устройств, в частности, гиростабилизаторов непосредственного действия, о чем будет сказано особо. [c.168]

Спектр МОЩНОСТИ. Большинство случайных процессов стационарны по времени, т. е. их общий характер с течением времени не изменяется. Это означает, что функции, описывающие эти процессы, не имеют оЬраза Фурье, поскольку они не абсолютно интегрируемы (функция не стре- мится к нулю при г со), Следовательно, применить обычные методь и понятия спектрального анализа к этим функциям нельзя. Да это и нецелесообразно, поскольку в случайных процессах интересны лишь среДние характеристию , а фазовые соотношения между гармоническими составляющими в спектральном разложении не имеют значения. Кроме того, полностью не известна функциональная зависимость случайных функций от времени. Поэтому в Фурье-анализе случайных процессов используются более подходящие для этих целей величины и понятия, [c.82]

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М., Паука , 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д. [c.13]

При качественном исследовании динамических систем можно использовать переход от исходной модели к упрощенной или кусочно-интегрируемой, аппроксимируя характеристики в уравнениях движения. При этом возникает важный вопрос о допустимых отклонениях аппроксимирующих функций от реальных характеристик при сохранении необходимой близости между исходной и аппроксимирующей системой. Понятие необходимой близости не однозначно и определяется целями исследования. Естественным требованием при создании удобной модели за счет изменения аппроксимации будет при этом требование сохранения при изменении характеристик качественной структуры раз-бения пространства параметров и фазового пространства исследуемой системы. Таким образом, возникает задача выяснить, в какой мере возможно изменять характеристики системы, не изменяя существенно общую картину зависимости поведения траекторий от параметров, и выяснить, что может происходить с пространством параметров системы при изменении характеристик, В общей постановке задача сводится к вопросу о сохранении или потере бифуркаций при переходе к аппроксимирующей системе. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что не все бифуркации могут быть прослежены регулярными методами, и, кроме [c.431]

Пуанкаре ввел понятие практической интегрируемости задач небесной механики, понимая под этим нахождение приближенного решения, удовлетворительно представляюш,его наблюдения и охватываюш,его практически приемлемый промежуток времени. В этом смысле все задачи небесной механики интегрируемы, особенно в связи с большими возможностями электронных вычислительных машин. Использование методов теории возмущений (см. ч. IV, гл. 9) обусловливает появление асимптотических расходяи ихся рядов. Практика построения теорий движения тел Солнечной системы, накопленная в небесной механике на протял<ении двух столетий, говорит в пользу применения таких рядов в конкретных задачах. [c.812]

Алгебраические понятия и методы, изложенные в монографии, оказались хорошо приспособленными для решения задачи описания интегрируемых вложений (2 + 2Л )-мерных супермногообразий, вложенных в объемлющие суперпространства. При этом матричная структура коэффициентов третьих фундаментальных форм двумерных многообразий адекватным образом отражает алгебраические требования градуировки и спектрального состава операторов Лакса [131]. [c.271]

Невозмущенное движение. Условия невырожденности. Напомним основные понятия, связанные с интегрируемыми системами. Рассмотрим невозмущенную интегрируемую гамильтонову систему с гамильтонианом Но 1). Ее фазовое пространство расслоено на инвариантные торы / = onst. Движение по тору является условно-периодическим с вектором частот =дНо1д1. Тор, на котором частоты рационально независимы, называется нерезонансным. Траектория заполняет его всюду плотно (как говорят, является обмоткой тора). Остальные торы /= onst называются резонансными. Они расслоены на инвариантные торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если ее частоты функционально независимы [c.197]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...