Динамические координаты

Гамильтоновы переменные д, ..., ра данной системы О мы в дальнейшем часто будем называть динамическими координатами ее изображающей точки в пространстве Г, а любую функцию этих переменных — фазовой функцией данной системы. Важнейшей фазовой функцией является гамильтонова функция Н д, ..., ps) , заданием ее полностью определяется механическая природа данной системы, ибо полностью описывается система уравнений движения в частности, заданием ее полностью определяется естественное движение фазового пространства данной системы. [c.13]

Будем для краткости обозначать динамические координаты точки через хг,х2,..., Х2е подобно тому как мы это делали в 4. Так как [c.26]

В этом параграфе мы будем, как мы это уже делали не раз, обозначать через Ж1, Ж2,..., Х2з динамические координаты точек пространства Г, причем порядок нумерации будет безразличен. Каждая фазовая функция, в том числе и полная энергия Е данной системы, есть функция этих 2з переменных. [c.29]

Условимся В ЭТОМ случае говорить, что совокупность (ж1, Ж2,..., Ж2<,) динамических координат данной системы распадается на две компоненты (ж1, Ж2,..., х .) и (ж +х, Хк+2,- , Х2з)- Короче мы будем выражать это, говоря, что сама данная система состоит из двух компонент, являющихся как бы носителями соответствующих групп динамических координат. С точки зрения формальной теории, разумеется, безразлично, будем ли мы называть компонентой данной системы самую группу координат (х, ..., х ) или припишем этой группе некоторый носитель , который и наделим наименованием компоненты мы можем поэтому в дальнейшем пользоваться обеими терминологиями, не опасаясь никаких смешений. С более реальной точки зрения, у нас, естественно, возникает желание мыслить всякую компоненту как особую физическую систему, входящую в состав данной. Однако, такая позиция была бы слишком узкой и в некоторых случаях не соответствовала бы нашим целям. Дело в том, что хотя всякая материально обособленная часть данной системы и определяет собой в большинстве случаев некоторую компоненту этой системы, но иногда оказывается полезным рассматривать и такие компоненты (т. е. группы координат), которые не соответствуют никаким материально обособленным частям данной системы обособленность их имеет только энергетический характер, в точном смысле установленного нами определения компоненты. Так, если система состоит из одной материальной точки, компоненты скорости и массу которой мы обозначим соответственно через и, V, ъи, т, и если ее энергия Е сводится к кинетической энергии, то [c.29]

Как бы то ни было, каждой компоненте данной системы мы можем приписать определенную энергию, как это прямо вытекает из определения компоненты. Каждая компонента, будучи по существу группой динамических координат, имеет свое фазовое пространство, и состояние этой компоненты (т. е. совокупность значений ее координат) изображается некоторой точкой этого фазового пространства. Фазовое пространство Г данной системы, очевидно, есть прямое произведение фазовых пространств Г1, и Г2 тех двух компонент, на которые она распадается, и элемент объема У пространства Г может быть выбран равным произведению У У2 элементов объема пространств Г1 и Г2. [c.30]

Чтобы закончить это краткое предварительное рассмотрение, заметим еще, что принятая нами концепция разложения системы на компоненты приводит, как это неоднократно отмечалось, к своеобразному методологическому парадоксу. Как мы указывали уже в самом начале главы I, при всей общности и отвлеченности предпосылок статистической механики построение этого учения все же неизменно предполагает, что составляющие материю частицы находятся в состоянии интенсивного взаимодействия, которое прежде всего мыслится как взаимодействие энергетическое, т. е. как передача энергии от одной частицы к другой (например, посредством столкновений) как мы более подробно увидим далее, именно на возможности такого обмена энергетическими ресурсами между частицами вещества статистическая механика и основывает свой метод. Между тем, принимая частицы, составляющие данную физическую систему, за компоненты ее в определенном нами смысле, мы тем самым исключаем возможность какого бы то ни было энергетического взаимодействия между ними. В самом деле, если функция Гамильтона, выражающая энергию нашей системы, является суммой таких функций, каждая из которых зависит от динамических координат только одной частицы (и служит гамильтоновой функцией этой частицы), то, очевидно, и вся система уравнений (1) распадается на системы, каждая из которых описывает движение одной какой-нибудь частицы и никак не связана с прочими частицами поэтому энергия каждой частицы, выражаемая ее гамильтоновой функцией, служит интегралом уравнений движения и, следовательно, не может подвергаться никаким изменениям. [c.31]

Значения физических величин, характеризующих состояние изучаемой нами системы, однозначно определяются этим состоянием, которое мы в нашей теории, в свою очередь, описываем совокупностью динамических координат. Таким образом, физическая величина, как правило, является функцией динамических координат системы, или, что то же, функцией точки ее фазового пространства, или, наконец, как мы условились говорить, фазовой функцией. Желая сопоставить выводы нашей теории с данными опыта, состоящего в измерении тех или других физических величин, мы должны поэтому сравнивать даваемые опытом значения какой-либо физической величины с даваемыми теорией значениями соответствующей фазовой функции. Однако, при такой постановке задачи мы немедленно сталкиваемся с рядом принципиальных затруднений, грозящих лишить эту задачу всякого содержания. Дело в том, что фазовые функции системы, вообще говоря, представляют собой величины, получающие весьма различные значения для различных состояний системы. Для того, чтобы сравнивать эти значения с экспериментальными данными, мы должны были бы иметь возможность определять состояние системы в момент экспериментального измерения, т. е. определять значения всех динамических координат системы для этого момента для газа, например, это означало бы по меньшей мере определение положений и скоростей всех составляющих его молекул, т. е. задачу, заведомо невыполнимую. Если же от этого отказаться, то остается совершенно открытым вопрос о том, для каких же состояний системы мы должны вычислять те значения фазовых функций, которые нам предстоит сличать с данными опыта. [c.33]

Поясним это. Во многих случаях мы бываем вынуждены характеризовать одно и то же физическое состояние системы не одной, а несколькими или даже бесконечным множеством систем значений ее динамических координат. Так, для точки, равномерно движущейся по окружности, мы, характеризуя ее положение центральным углом, отсчитываемым от какого-либо постоянного радиуса, должны считать тождественными состояния, для которых величины этого угла отличаются друг от друга на кратные 2тг. [c.40]

Пусть данная система С имеет компоненту С, с динамическими координатами (ж1,ж2,..., Хг) (дополнительная компонента 6 2, с динамическими координатами ж +1,. .., Х2з)- Основной закон распределения, который мы приняли для системы О, т. е. для многомерной случайной величины (ж1,..., Ж2<,), однозначно определяет собой по известным правилам теории вероятностей закон распределения для любой группы этих динамических переменных в пространстве соответствующего числа измерений. В частности, совокупность переменных (ж1, Ж2,..., Хг) (г < 2з) или, как мы будем ради краткости говорить, компонента 6 1, получает определенный закон распределения в пространстве г измерений, которое совпадает, конечно, с ее фазовым пространством. Этот закон распределения мы теперь найдем. [c.50]

Мы видели, что совокупность х, ..., Хг) динамических координат компоненты С есть многомерная случайная величина, распределенная в пространстве Г1, с плотностью [c.51]

В приложениях преимущественно приходится иметь дело с такими фазовыми функциями, которые зависят от динамических координат какой-либо компоненты данной системы, причем энергия этой компоненты занимает среди таких функций по своей важности выдающееся место. Но как мы только что видели, в выражения законов распределения как для энергии данной компоненты, так и для составляющих ее динамических переменных существенным образом входят структурные функции II, iii и й,2 (общие формулы, определяющие средние значения любых фазовых функций на поверхности также содержат величину ii(a)). Естественно поэтому, что всякий аналитический метод, ставящий своей целью установление приближенных формул для средних значений употребительных в статистической механике фазовых функций, в первую очередь должен озаботиться созданием удобных приближенных формул для структурных функций. Этим путем мы и пойдем мы постараемся в широкой мере использовать тот факт, что системы, с которыми мы встречаемся в статистической механике, состоят, как правило, из очень большого числа в известном смысле подобных между собой компонент с помощью методов теории вероятностей это позволит нам установить для структурных функций таких систем приближенные формулы, в значительной степени не зависящие от индивидуальной природы составляющих данную систему компонент. [c.52]

Всякую фазовую функцию f xi,x2,...), зависящую только от динамических координат молекулы gi, мы можем интерпретировать как функцию f P) точки Р фазового пространства 71 этой молекулы так как совокупность динамических координат молекулы gi подчинена закону распределения, плотность которого определяется формулой [c.63]

Гамильтоновыми динамическими координатами молекулы g служат три ее декартовых координаты три компоненты импульса [c.69]

В идеальном одноатомном газе мы представляли себе все молекулы имеющими одинаковую структуру (т. е. одинаковое выражение энергии через динамические координаты) но массы их могли быть различны между собой. Мы видим теперь, что как среднее значение, так и закон распределения энергии — для всех молекул одни и те же, независимо от различия в их массах так, в смеси двух различных газов — тяжелого и легкого — средняя величина энергии молекулы одинакова для обеих составляющих. Более того, среднее значение и закон распределения энергии молекулы не зависят и от объема сосуда, являясь, как мы видим, универсальными функциями параметра тЗ. [c.71]

Пусть, далее, система С распадается на компоненты 6 1 и 6 2 с энергиями Е м Е2. Мы получим закон распределения системы С в ее фазовом пространстве Г1, если проинтегрируем выражение (64) по динамическим координатам системы 6 2 по всему пространству Г2 так как Е = Е + Е2 л Ф(т ) = Ф1(т ) Ф2(т ) и так как (см. (32), стр. 54) [c.75]

Во всем рассмотренном до сих пор мы не исключали того случая, когда энергии молекул данной физической системы, кроме динамических координат этих молекул, зависят еще от известного числа параметров, физически характеризующих собой положение или состояние внешних тел, действующих на изучаемую систему Так, в предыдущем параграфе величина g характеризовала собой поле тяготения и естественным образом входила во все получаемые формулы. В других случаях в качестве таких параметров могут фигурировать, например, координаты каких-либо притягивающих или отталкивающих центров. Такого рода параметры мы во всем дальнейшем будем называть внешними параметрами. С математической стороны внешний параметр характеризуется тем, что величина его в выражении энергий всех молекул имеет одно и то же значение. [c.87]

Нам остается выяснить смысл этих параметров и рассмотреть, совпадают ли их значения, полученные здесь, с теми, которые были нами найдены ранее. С этой целью покажем прежде всего, что щ х, у) есть плотность двухмерного закона распределения, которому подчиняется (приближенно) пара случайных величин e , / . В самом деле, так как совокупность динамических координат выбранной нами молекулы распределена, как мы знаем (гл. V, 20), в фазовом пространстве этой молекулы по закону, плотность кото- [c.109]

Динамические координаты, 13 Дирак, 8, 37 [c.116]

Синтез, или проектирование механизмов, состоит в определении некоторых постоянных параметров, удовлетворяющих заданным структурным, кинематическим и динамическим условиям. К этим параметрам механизма относятся длины звеньев, координаты точек звеньев, угловые координаты, массы звеньев, их моменты инерции и т. д. Так, на рис. 2.1 для проектирования кривошипно-коромысло-Бого механизма по заданному закону движения коромысла 3 необходимо определить шесть независимых параметров длины а, Ь, с и [c.14]

Выведем дифференциальное уравнение колебаний стержня. С этой целью рассмотрим условие динамического равновесия участка колеблющегося стержня. Сечения аи Ь (рис. 545, б), ограничивающие элементарную длину dx, периодически перемещаются. Перемещение и произвольного сечения с координатой х может быть выражено как и = f (х, t). Это уравнение указывает на наличие в стержне относительных перемещений отдельных его поперечных сечений. [c.569]

Условия (95) означают, что центр масс тела должен лежать -на оси вращения, а условия (96) — что ось вращения должна быть главной осью инерции тела для начала координат Л. При одновременном же выполнении условий (95) и (96) ось Аг будет главной центральной осью инерции тела (см. 104). Таким образом, динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, будут равны статическим, если ось вращения является одной из глазных центральных осей инерции тела. Этот вывод остается справедливым и в случае, когда тело вращается неравномерно. [c.354]

Узловой метод является популярным при создании программных комплексов анализа динамических систем. В качестве вектора базисных координат в этом методе используется вектор переменных типа узловых потенци- [c.129]

Во многих случаях при проектировании машин и механизмов закон изменения обобщенных координат в функции времени удается определить только на последующих стадиях проектирования, обычно после динамического исследования движения агрегата с учетом характеристик сил, приложенных к звеньям механизма, масс и моментов инерции звеньев. В таких случаях движение выходных и промежуточных звеньев определяется в два этапа на первом устанавливаются зависимости кинематических параметров звеньев и точек от обобщенной координаты, т. е, определяются относительные функции (функции положения и передаточные функции механизма), а на втором —определяются закон изменения обобщенной координаты от времени и зависимости кинематических параметров выходных и промежуточных звеньев от времени. [c.61]

Е = Е х1,Х2,. .., Ж2в) представляется в виде суммы двух слагаемых Е111Е2, из которых первое зависит только от некоторых (не всех) динамических координат, а второе — только от остальных координат. Так как порядок нумерации динамических координат безразличен, то мы можем, не ограничивая общности наших допущений, положить Е = Е + Е2, где [c.29]

В статистической механике прежде всего приходит на помощь то обстоятельство, что значительное большинство фазовых функций, интерпретирующих важнейшие физические величины, имеет (как мы кратко уже упоминали в 10) совершенно своеобразное поведение такая функция, как правило, оказывается на каждой поверхности постоянной энергии приближенно постоянной, т. е. принимает всюду за исключением множества весьма малой меры значения, весьма близкие к некоторому постоянному для данной поверхности числу, за которое можно, разумеется, принять фазовую среднюю рассматриваемой функции. Причины этого своеобразного поведения мы частично укажем немного ниже, а полностью вскроем в последующих главах здесь же заметим, что эти причины отчасти заложены в особых свойствах механических систем статистической физики (распадение на большое число компонент), отчасти же лежат в специфических чертах тех функций, с которыми приходится иметь дело (это, как правило, сумматорные функции, т. е. суммы функций каждая из которых зависит от динамических координат только одной компоненты). Без всяких вычислений очевидно, что для такой функции временные средние вдоль большинства траекторий должны иметь значения, близкие к фазовой средней. Если желать все же произвести примерный расчет, то к этому можно подойти следующим образом. [c.44]

Рассмотрим, наконец, еще одно несложное соображение, относящееся к этому же кругу идей. Условимся называть суммируемую фазовую функцию /(Р) эргодической, если для почти всех траекторий /(Р) = /. Мы уже говорили выше, что большинство изучаемых в статистической механике фазовых функций имеет тип сумматорной функции, т. е. представляет собой сумму функций, каждая из которых зависит от динамических координат только одной из составляющих данную систему молекул. Очевидно, такая функция будет эргодической, если этим свойством обладает каждое из ее слагаемых, ибо оба средние / и / являются линейными образованиями. Таким образом, для установления эргодичности таких функций было бы достаточно убедиться в эргодичности функций, зависящих от состояния одной единственной молекулы. Мы имеем в виду привести теперь некоторые соображения, направленные к тому, чтобы сделать правдоподобным этот последний факт. [c.46]

Подавляющее большинство фазовых функций, встречающихся в статистической механике, имеет весьма специальную форму это почти всегда — суммы функций, каждая из которых зависит от динамических координат только одной молекулы. Такие фазовые функции мы в дальнейшем будем называть сумматорными функциями. Таким образом, если система О состоит из молекул gl, g2,..., g с фазовыми пространствами соответственно 71,72,..., 7 , то сумматорная фазовая функция имеет вид [c.66]

Мы говорили уже о том, что большинство фазовых функций, интересующих статистическую механику, имеет вид сумматорных функций, т. е. таких сумм, каждое слагаемое которых зависит от динамических координат только одной молекулы. Среднее значение такого слагаемого, ввиду отмеченной близости законов распределения малых компонент, может быть приближенно вычислено, исходя из формул канонического распределения (именно в этом и состоял наш приближенный метод ). Но среднее значение суммы всегда равно сумме средних значений слагаемых, будут ли эти слагаемые зависимы или независимы между собой поэтому при вычислении средних значений сумматорных функций мы можем всегда, в порядке приближения, исходить из канонического распределения (64) вместо микроканонического (63) как уже замечено выше, этот переход и составляет, в сущности, содержание нашего приближенного метода. [c.76]

Представим себе изолированную систему, состоящую из большого числа п молекул, и выберем две любые из этих молекул. Пусть фазовая функция нашей системы, зависящая только от динамических координат первой выбранной молекулы, а ф(Р) функция, зависящая только от динамических координат второй молекулы. Тогда функции (f P) и ф Р), рассматриваемые как случайные величины, не будут независимыми, так как неизменность полной энергии Е системы известным образом связывает между собой динамические координаты двух выбранных нами молекул. Можно, конечно, ожидать, что ввиду большого числа молекул эта стохастическая зависимость между величинами (f P) и ф(Р) окажется весьма слабой. В частности, мы можем до всяких вычислений предвидеть, что коэффициент корреляции этих двух величин окажется ничтожно малым. Это и действительно так, как мы скоро убедимся однако, во многих вопросах (в частности, при вычислении дисперсий сумматорных функций) такие коэффициенты корреляции приходится суммировать в очень большом числе, вследствие чего получаемые суммы часто оказываются даже бесконечно большими, порядок которых не позволяет пренебрегать ими ). Вот почему необходимо уметь найти хотя бы приближенные выражения для таких межмолекулярных коэффициентов корреляции. Этому вопросу мы и посвящаем настоящий параграф. [c.99]

Мы можем предвидеть до всяких вычислений, что гауссовский тип предельного закона, обнаруженный нами в 22 гл. V при исследовании энергии большой компоненты (представляющей собой одну из простейших сумматорных функций), будет здесь фигурировать в качестве общего правила. В самом деле, всякая сумматорная функция представляет собой с точки зрения теории вероятностей сумму безгранично возрастающего числа случайных величин взаимная зависимость этих величин целиком сводится к требованию, чтобы сумма энергий всех молекул была равна данному значению Е полной энергии системы. При большом числе молекул зависимость между динамическими координатами каких-либо двух из них должна поэтому становиться весьма слабой так, мы видели, что коэффициенты корреляции, связывающей молекулы попарно, при та оо стремятся к нулю. Отсюда в силу известных общих теорем теории вероятностей можно предвидеть, что законы распределения сумматорных функций при большом числе молекул, как правило, будут иметь тип, близкий к гауссовскому. Мы кратко наметим расчеты, приводящие к доказательству этого предположения заметим еще только, что так как средние значения и дисперсии сумматорных функций в их предельном поведении нами [c.105]

Возможность раздельного рассмотрения перманентного и начального движений механизма имеет важное значение при исследовании кинематики и динамики механизмов. Оно позволяет при кинематическом исследовании определять положения, скорости и ускорения звеньев в функции обобщенной координаты механизма, а не в функции времени. Истинный закон изменения обобщенной координаты от времени зависит от сил, действующих и возникаюн],их в механизме, и может быть определен только после динамического исследования механизма. Определив в результате этого исследования закон изменения обобщенной координаты, например угла поворота ср начального звена от времени t, т. е. ф = <р (О, мы определим угловую скорость этого звена оз = [c.73]

В уравнениях (12.8)—(12.11) trii — масса, сосредоточенная в замещающей точке с индексом г, т — масса всего звена, Xi п t)i — координаты i-й точки относительно осей, проходящих через центр масс, и 7s — момент инерции звена относительно оси, проходящей через точку S и перпендикулярной к плоскости движения. Уравнения (12.8)—(12.10) соответствуют статическому размещению массы звена, а уравнение (12.11) вместе с уравнениями (12.8)—(12.10) соответствуют динамическому pasMeuifiHWo. [c.242]

Получить уравнение (1-7.10), записывая динамическое уравнение для кубического элемента dx -dxHx (где — декартовы координаты). [c.54]

Таким образом определены проекции динамических реакций на оси координат, т. е. поставленная задача реп1ена. [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...