Приближенное решение систем линейных уравнений

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.128]

Для решения уравнения (37), включающего матрицу А высокого порядка, при граничных условиях, требующих многократного приближения к необходимой точности (33) или (35), важным является выбор метода решения систем линейных уравнений с максимальной скоростью сходимости. [c.12]

Для решения систем линейных уравнений хорошо разработаны два метода а) прямой метод, позволяющий получить точное (в пределах ошибки округления) решение б) итерационный метод, использующий сходящийся к точному решению процесс последовательных приближений. [c.478]

Существующие способы решения систем линейных уравнений можно разделить иа прямые и итерационные. В прямых методах решение X получается непосредственно в результате одного применения вычислительной процедуры. Напротив, в итерационных методах решение задачи требует повторяющегося применения алгоритма. Для начала итерационной процедуры необходимо задать начальное приближение решения. Прн последующих итерациях получаются все более точные оценки решения. Для проверки сходимости последнее полученное приближение решения сравнивают с предыдущим. Итерационный процесс заканчивается, если разность последовательных приближений становится меньше заданной величины. [c.221]

Уравнения первого приближения образуют систему линейных дифференциальных уравнений.с постоянными коэффициентами. Будем искать частное решение этой системы уравнений в следующей форме [c.333]

Был рассмотрен наиболее простой случай (одно уравнение), соответствующий системе с одной степенью свободы или одночленному приближению при решении уравнений малых колебаний стержня с использованием принципа возможных перемещений. Для систем с несколькими степенями свободы выкладки становятся громоздкими. Более подробно решение систем линейных дифференциальных уравнений изложено в работах [6, 10, 14]. Дополнительные сведения о методах решения задач статистической динамики приведены в разделе, посвященном прикладным задачам. [c.148]

В общем случае распределение температуры неизвестно и необходимо определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели точно такая же, как описано выше, но добавляется один дополнительный шаг. Снова определяют множество узлов и значения темпера туры в узлах 7], Гз,..., которые теперь являются переменными, так как заранее не известны. Область разбивают на элементы, на каждом из которых определяют соответствующую функцию элемента. Узловые значения Т (х) должны быть теперь отрегулированы таким образом, чтобы обеспечивалось наилучшее приближение к истинному распределению температуры. Это регулирование осуществляют, минимизируя некоторую величину, связанную с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения теплоты, то минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Т (j ). [c.199]

В работе [10] приведены результаты расчетов по изложенной выше схеме, а также выполнено исследование сходимости приближенных решений на примерах систем линейных уравнений с десятью и двадцатью неизвестными. Результаты исследования позволяют сделать заключение о хорошей сходимости приближенных решений уравнения (III.5.7), за исключением некоторой узкой области параметров [. [c.154]

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

Обработка на ЭЦВМ информации, получаемой при балансировке однотипных агрегатов, требует решении систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений значительно больше числа неизвестных. Как правило, такие системы иесов.местны и не имеют точного решения. Приближенное решение по методу наименьших квадратов сводится к решению системы линейных уравнений с квадратной матрицей [1], [2]. Однако в процессе решения возникают трудности, связанные с возможностью плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Чис.до обусловленности дает оценку того, насколько относительная погрешность результата превосходит погрешность исходной информации. Если число обусловленности велико, то небольшая ошибка в исходных данных приводит к значительным ошибкам в решении. Поэтому оценка обусловленности матрицы дает существенную характеристику качества решения. [c.151]

Таким образом, решение задачи разностным методом сводится к решению системы линейных уравнений с огромным числом неизвестных это решение можно выполнить с помощью метода последовательного приближения [30] (метод итерации). Задавшись во всех внутренних узлах области произвольными значениями назовем эту систему значений системой № 1 затем вычисляем во всех внутренних точках среднее арифметическое соседних значений системы № 1 и назовем новую систему значений системой № 2 и т. д. этот процесс производится до образования такой системы № п, значения которой будут удовлетворять уравнению [c.74]

Аналогичный метод применяют при решении системы нелинейных алгебраических уравнений (2-34). Ориентировочные значения температур также могут быть определены с помощью зависимости (2-49), затем вычисляют в первом приближении величины тепловых проводимостей Оц и решают систему уравнений (2-34), рассматривая ее как систему линейных уравнений. В результате получают температуры tj во втором приближении. Расчеты последующих приближений проводятся до тех пор, пока не будет выполняться неравенство (2-50). [c.47]

Зададимся первым приближением Q[, Я2.....и подсчитаем первые производные, соответствующие этому решению df /dq i (1 = 1, 2,, t fe= 1, 2,. .., t). Для отыскивания поправок к расходам q надо решить систему линейных уравнений [c.366]

По-видимому, наиболее часто используемым методом решения систем нелинейных уравнений, встречающихся в задачах нелинейной теории упругости, является метод последовательных нагружений. Будучи в некоторых чертах сходным с методом Ньютона — Рафсона, этот метод обладает рядом особенностей, делающих его особенно полезным в приложениях к физическим задачам. Во-первых, каждый шаг итерационного процесса допускает ясную физическую интерпретацию. А именно рассматривается нагружение деформируемого тела приращением нагрузки бр, которое считается достаточно малым, так что реакция тела на это приращение линейна. После приложения каждого приращения нагрузки выписывается новое жесткостное соотношение и осуществляется следующее приращение нагрузки. Продолжая этот процесс, мы получаем полную картину нелинейного поведения тела в виде последовательности кусочно-линейных шагов. Поскольку до приложения нагрузок тело, как правило, находится в естественном ненапряженном состоянии, вопрос о выборе начального приближения отпадает. Действительно, если X обозначает вектор неизвестных узловых перемещений, то мы просто полагаем Хо = О, что дает начальную точку, соответствующую недеформированному состоянию тела. В случае же, когда тело несжимаемо, мы приравниваем нулю узловые перемещения и вычисляем гидростатические давления в недеформированном состоянии. Они и служат компонентами начальной точки Хо- [c.317]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Мы получили систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Найдем приближенное решение уравнений (1). Для этого в членах, содержащих произведения X OS 2nt и у os 2ni положим х равным Xi и соответственно у равным уг- Тогда каждое из уравнений системы (1) приобретает вид уравнений вынужденных линейных колебаний при отсутствии сил сопротивления [c.434]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Поэтому в настоящей главе ставится более ограниченная задача применения практических приемов решения систем обычных линейных дифференциальных уравнений, к которым методами линеаризации, в первом приближении, можно свести и большое число нелинейных задач. Для некоторых случаев нелинейных сил трения во второй главе будут показаны принципы возможной их линеаризации. [c.22]

Поэтому при решении инженерных задач, которые, по существу, все нелинейны, стремятся ограничиться рассмотрением линеаризованных систем, с тем, чтобы использовать хорошо развитые методы решения и исследования линейных уравнений. Другими словами, стремятся заменить приближенное исследование точной (нелинейной) системы точным исследованием некоторой приближенной (линейной) системы. Естественно, что и мы, там где это возможно, будем действовать точно так же. [c.23]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

Одними из основных обстоятельств, позволивших выполнить аналитическое приближенное решение двухмерной задачи о тепло-и массообмене в контактном аппарате, является разделение пограничного слоя газа на два слоя (насыщенного и ненасыщенного газа) с обоснованной заменой сложного профиля распределения температуры и концентрации на две линейные функции. Это снимает математические трудности при решении задачи и в то же время обеспечивает достаточное приближение к сути физического явления. Кроме того, при расчете использовано уравнение относительной интенсивности тепло- и массообмена, позволяющее замкнуть систему уравнений, описывающих процесс. [c.123]

Соотношения (20.68) позволяют получить систему линейных алгебраических уравнений относительно Определив эти параметры и подставив их в (20.67), получим искомое приближенное решение задачи. [c.451]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Подставляя (1.42) в (1.40), получаем систему Зп линейных уравнений относительно Зп неизвестных постоянных а , Ь , (г = = 1, 2,. .., п). Разрешая эти уравнения, определяем величины а Ьг, f. Подставляя полученные числа в (1.34), получаем приближенное решение в перемещениях. [c.33]

ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ МАТРИЦЫ [4]. При построении и решении на ЭВМ систем линейных алгебраически х уравнений неизбежны погрешности, связанные с приближенным вычислением коэффициентов матрицы [Л], свобод-, ных членов Ь , округлением в. ЭВМ результатов расчетов. Это вызывает очень важный для приложений, вопрос како- [c.53]

Рассмотренные модификации могут существовать и как самостоятельные методы, и как вспомогательное средство получения приближения для метода Ньютона — Канторовича. Так, в работе (38J предложен итерационный метод, который представляет собой метод последовательных нагружений с учетом нагрузочной невязки с автоматическим выбором значения шага, а затем переходит в сходящийся процесс Ньютона — Канторовича. Такая вычислительная схема очень привлекательна, хотя йолучени регулирующего параметра трудно в реализации Приближения по итерациям, которые приводились выше при описании методов решения нелинейных уравнений, не могут служить объективными характеристиками, так как количество вычислений на одной итерации для различных методов различно. Так, если в методе упругих решений на каждой итерации необходимо только вычислить дополнительные нагрузки (/—Аии+in), а для получения А использовать уже обращенную матрицу, соответствующую оператору До, то в методе переменных параметров, наоборот, на каждой итерации необходимо составлять и решать систему линейных уравнений, оставляя правую часть без изменений. В методе Ньютона на каждой итерации надо делать и то и другое, т. е. составлять и решать систему линейных уравнений, а также изменять правые части. [c.85]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений [1, 3, 7, 11, 13] можно подразделить на две группы прямые и итерационные. Прямые методы позволяют получить решение за конечное число арифметических операций, итерационные дают лишь последовательность приближений к решению. Свойства симметрии и положительной определенности матрицы жесткости предопределяют выбор прямого метода, например метода Холец-кого или его разновидности — метода LDL -факторизации. Эффективная программная реализация различных вариантов мбтода Холецкого, ориентированная на применение МКЭ, дана в работе 13]. [c.34]

Система уравнений (7.7) —(7.10) и граничные условия в перемещениях на внешлих контурах оболочек дают замкнутую систему. нелинейных уравнений, которая решается методом последовательных приближений. Каждое приближение основано на решении системы линейных уравнений, полученной при линеаризации (7.9)— (7.10) путем определения коэффициентов, зависящих от неизвестных перемещений, с помощью значений перемещений предыдущего приближения. Процесс продолжается до получения заданной малой разности между соседними приближениями. Зависимость Oi(ei) задается таблично, параметры h определяются численным интегрированием. В рассмотренном решении о отличие от некоторых аналитических решений подобных задач [65] принято, что кольцо может деформироваться в упругой области и учтена сжимаемость материала в пластической области. Отметим, что аналогичные задачи на основе метода дополнительных [Нагрузок рассмотрены в работе [45]. [c.225]

Причина несоответствия заключалась в малой скорости выполнения арифметических операций, используемых при численном интегрировании и при решении систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому были оправданы попытки обойти эти затруднения. Так, представлялось целесообразным для повышения скорости вычисления интегралов использовать в плоских задачах графомеханические приборы типа интеграторов. Если, кроме того, не приводить ГИУ к системе алгебраических уравнений, а использовать последовательные приближения, то можно исключить и арифметические операции, необходимые для решения системы. Такой способ предложен и реализован в 1948 г. Ш. Массоне, который подробно описал его в своей работе [161, вышедшей в 1949 г. Это был первый конкретный шаг в постановке расчетов по теории упругости на поток . Однако начавшееся примерно в то же время триумфальное наступление электронных вычислительных машин, естественно, переключило внимание на эти гораздо более совершенные счетные устройства. [c.268]

Можно еще заметить, что возможны случаи, когда полная возмущающая сила складывается из нескольких возмущающих сил различной природы и содержит не один малый параметр а, а два или несколько. Рассмотренный способ может быть распространен на этот более общий случай без всякого труда и вычисление последовательных приближений производится опять при помощи интегрирования систем линейных уравнений, обп1ее решение которых составляется почти совершенно так же, как и выше. [c.635]

В зтом параграфе дается общее описание алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений метода Бубнова - Галёркина, полученных с помощью лагранжевых конечных злементов для эллиптических уравнений второго порядка. Алгоритм основан на рекуррентном использовании приближенных решений систем, построенных на последовательности вложенных сеток. [c.137]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Кроме фронтальных решателей разработаны итеративные решатели, которые сокращают время решения и ресурсы компьютера при анализе больших моделей. При расчетах систем совместных линейных уравнений итеративные решатели дают сходящееся, от итерации к итерации приближенное решение. Например, в программе ANSYS используются три итеративных алгоритма ал- [c.72]

МКР применяют для приближенного решения краевой задачи в прямой постановке (2.2 - 2.4). При этом определяют значения тензора Q в конечном числе фиксированных точек (узлов). Производные тензора Q по координатам, входящие в дифференциальные уравнения (2.2) и (2.3), аппрокотмируют подходящими разностными соотношениями, получая в результате систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений тензора Q. [c.49]

Весьма перспективным для изучения трибологаческих процессов является разработка и изучение математических моделей процесса трения, износа и смазки твердых тел (деталей, механизмов и машин) с помощью электронно-вычислительных машин. Для формулировки математических моделей могут быть использованы уравнения, характеризующие процесс течения смазки, контактную и общую деформацию трущихся тел и всего узла трения, тепловые процессы - образование и распространение теплоты, а также явления, связанные с физическими, химическими и механическими фактороми, определяющие в главном процесс поверхностного разрушения деталей при трении. Известно, что широко распространенные методы классической математики часто используют принцип суперпозиции и пригодны в основном для решения линейных задач. Характерная особенность теоретических задач в области трибологии деталей машин заключается в их существенной нелинейности. В качестве примера можно сослаться на систему уравнений, указанных в данной главе. Совместное решение системы нелинейных уравнений представляет значительную математическую трудность, а если учесть также возможность возникновения качественных (и количественных) скачков исследуемых характеристик, например при возникновении процесса заедания при малых и средних скоростях, характеризующихся резким увеличением коэффициента трения скольжения и скорости изнашивания тел, то становятся ясными сложность и необходимость детального исследования адекватных математических моделей с помощью численных методов. В результате получается приближенное решение сложной научно-технической задачи с необходимой точностью. [c.169]

Для исключения быстрозатухающих решений исходную систему дифференциальных уравнений возмущенного движения линеаризуют с помощью линейного приближения Чебышева и приводят к главным фазовым координатам. Главные координаты, соответствующие быстрозатухающим решениям, полагают равными нулю. Это дает возможность выразить часть обобщенных координат через остальные. Полученные выражения подставляют в исходную нелинейную систему. При этом порядок системы уравнений, описывающей установившийся режим колебаний, существенно понижается. В случае, когда система не асимптотически устойчива, но имеет устойчивый предельный цикл, такой прием позволяет определять амплитуды, соответств ую-щие предельному циклу, алгебраически. [c.412]

Таким образом, для фактического построения рядов (42) необходимо найти пери-одическге решения систем неоднородных линейных уравнений с периодическими коэффициентами, однородная часть ) оторых совпадает с уравнениями в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, требуется знание общего решения указанных уравнений в вариациях. Однако, поскольку в данном случае нас интересует не вычисление основных частей искомого решения, которые определяются порождающим приближением, а поправочных членов, то можно воспользоваться каким-нибудь известным приближенным методом нахождения периодических решений, не требующим интегрирования однородной системы (46). [c.57]

При практическом использовании этогд метода ряд функций ф обрывают на каком-то л, а то и вообще оставляют в (3.20) только-один член. Для конечного числа ф (3.21) доставляет систему п линейных уравнений для неизвестных постоянных и соответствующее решение, естественно, будет приближенным. При этом выбор ф может быть в достаточной мере произвольным. Важно только выбором их заранее удовлетворить краевым условиям. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...