Решение уравнений малых колебаний

Был рассмотрен наиболее простой случай (одно уравнение), соответствующий системе с одной степенью свободы или одночленному приближению при решении уравнений малых колебаний стержня с использованием принципа возможных перемещений. Для систем с несколькими степенями свободы выкладки становятся громоздкими. Более подробно решение систем линейных дифференциальных уравнений изложено в работах [6, 10, 14]. Дополнительные сведения о методах решения задач статистической динамики приведены в разделе, посвященном прикладным задачам. [c.148]

Естественно, что после того, как получено общее решение уравнений малых колебаний в норма.тьных координатах в виде [c.371]

Таким образом, общее решение уравнений малых колебаний двойного маятника будет таким [c.506]

При ш = О ф1А = О, и из (6.94) получается известное решение уравнений малых колебаний струны. [c.154]

Предположим, что при прохождении через резонанс, соответствующий какой-либо собственной частоте Xv, форма колебаний системы близка к собственной форме колебаний, отвечающей этой частоте. Подобное предположение часто делается при исследовании стационарных вынужденных колебаний оно может быть обосновано теоретическими соображениями н хорошо согласуется с экспериментальными данными. Тогда можно представить колебательные обобщенные координаты системы при проходе через резонанс на частоте Xv в форме частного решения уравнений малых колебаний системы, соответствующего той же частоте Xv Иными словами, положим, что колебания системы при переходе через резонанс определяются известными выражениями (см. т. 1) [c.185]

Решение уравнений малых колебаний [c.316]

Выписывая теперь решение уравнений малых колебаний, предположим, что все параметры взяты из области 6>1>8, 1+8>6, так как этого условия достаточно для устойчивости относительного равновесия. [c.109]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один конец нити. [c.377]

Решение дифференциального уравнения (81.6), т. е. уравнение малых колебаний маятника имеет вид [c.216]

Возвратимся к формулам (II. 184), определяющим общее решение дифференциальных уравнений малых колебаний [c.243]

Применяя формулы линейного преобразования (b) предыдущего параграфа и формулы (II. 196), можно найти общее решение системы дифференциальных уравнений малых колебаний в координатах Х . То, что этим способом будет найдено общее решение в координатах ж,-, вытекает из линейности как дифференциальных уравнений движения, так и формул преобразования. [c.253]

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ. [c.2]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Точное численное решение уравнений. Уравнения малых колебаний стержней (3.11) — (3.15) были получены в 3.1. Исключая Аи н полагая АР=АТ=0, получаем уравнения свободных колеба- [c.119]

Как правило, полученные общие уравнения движения стержней, включая и уравнения малых колебаний, являются довольно сложными, в то время как решение прикладных задач приводит к уравнениям, которые являются частными случаями общих уравнений. Поэтому целесообразно более подробно рассмотреть эти частные случаи динамики стержней с решением конкретных задач из разных областей техники. [c.164]

Приведенные в данном параграфе уравнения малых колебаний прямолинейных стержней могут быть использованы для решения многих прикладных задач. [c.178]

Методы решения уравнений параметрических колебаний систем с одной степенью свободы. Метод малого параметра. Полагая [c.220]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний цилиндра, если движение качалось из состояния покоя и при [c.367]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения. [c.375]

Решение дифференциальных уравнений малых колебаний системы около состояния стационарного движения найдем, приняв [c.236]

Отметим попутно, что из самой формы характеристического уравнения (28), которое действительно для всех дифференциальных систем вида (27) и, в частности, для уравнений малых колебаний, следует, что если 2 есть его корень, то корнем будет также и — 2. Отсюда имеем характеристические показатели статического решения дифференциальной системы типа (26) и, в частности, динамической задачи попарно равны по модулю и противоположны по знаку. [c.389]

Уравнения малых колебаний вблизи этого решения получатся согласно общему правилу п. 19, если положить ср = ср,,9 = + ш и рассматривать и <11 как количества первого порядка малости. Таким образом, мы придем к двум уравнениям [c.407]

В главе II рассмотрены методы решения дифференциальных уравнений малых колебаний многомассовой системы классический, символический и метод главных координат. [c.6]

Рассмотрим колебания вращающегося кольца в плоскости чертежа (рис. 8.12). Уравнение малых колебаний кругового стержня в плоскости было получено в п. 1 (уравнение 8.169). В этом случае функции, характеризующие формы колебаний, должны удовлетворять условию периодичности, поэтому ищем решение, полагая [c.213]

Уравнение (37) может иметь несколько приближенных решений вида (40), наибольшее их число достигает 2У+ 1. Одно из этих решений соответствует малым колебаниям системы, при которых обеспечивается выполнение условий виброизоляции. Остальные решения носят резонансный характер, они соответствуют резонансу одной из гармоник вынуждающей силы, в каждом из этих решений одна из амплитуд Цд. преобладает над остальными Нормальное функционирование вибро-защитной системы обеспечивается только при исключении возможности возникновения любого из резонансных режимов, что достигается такими же способами, как и в случае гармонического воздействия (увеличение области линейности и усиление диссипации). [c.244]

Количество приближенных полигармонических решений уравнения (1), найденных указанным выше способом, может достичь 2Л + 1, где N — число гармоник. Ит них N + 1 решений могут оказаться устойчивыми (одно нерезонансное решение, соответствующее малым колебаниям системы, и N резонансных решений, в каждом из которых одна из гармоник имеет большую амплитуду). [c.165]

Если уравнение малых колебаний содержит переменные во времени коэффициенты, то получить решение в аналитической форме, как правило, нельзя. Например, приближенное уравнение малых колебаний двигателя (рис. 5.3), вызванных случайным разбросом тяги ДЛ из-за неравномерного горения заряда, имеет вид [c.166]

Если линейное уравнение малых колебаний системы с одной степенью свободы имеет постоянные коэффициенты и решение однородного уравнения асимптотически устойчиво, то в такой системе возможны случайные стационарные колебания (при случайной стационарной правой части). [c.183]

Решение. Ддя малых колебаний каждого физического маятника можно записать дифференциальные уравнения [c.280]

Теперь составим обш ее решение дифференциальных уравнений малых колебаний (20.74) [c.488]

Упражнение 1. Найдите собственные частоты и собственные векторы и запишите общее решение системы уравнений малых колебаний в рассматриваемой задаче, [c.450]

В п. 12.5 были показаны способы составления дифференциальных уравнений малых колебаний одноразмерных тел около положения равновесия в поле потенциальных сил. Это были уравнения в частных производных относительно неизвестной функции v(x,t), где X — координата точки в равновесном положении, t — время. Решение задачи проводилось в два этапа. На первом этапе в рассмотрение вводилось семейство частных решений [c.688]

Линеаризация уравнений движения. Уравнения малых колебаний. Характеристическое уравнение и вид общего решения. Устойчивость. Границы применимости линеаризованных уравнений. Рассмотрим такие движения системы, при которых она находится вблизи положения равновесия и все ее точки имеют незначительные скорости. Эти движения, называемые малыми колебаниями системы около положения равновесия, описываются уравнениями (1.1). Однако, учитывая, что величины 7/ и 7/ (/ = 1, 2,..., /г) теперь являются малыми, уравнения (1.1) можно упростить, отбросив члены второго и выше порядков малости относительно и 7/. Полученные таким образом уравнения называются линеаризованными уравнениями движения. Для получения линеаризованных уравнений можно до составления уравнений (1.1) провести разложение в ряд Маклорена функции [c.242]

Полученные уравнения (2.14) являются уравнениями малых колебаний неголономной системы около многообразия (поверхности От) состояний равновесия. Из (2.14) следует, что поскольку величины VI, V2, V2(n- m) являются малыми, переменные П2, Пт будут медленно меняющимися функциями времени. Решение системы уравнений (2.14) можно искать методом последовательных приближений, взяв за нулевое приближение для постоянные значения [c.271]

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом Лагранжа. Мы составим дифференциальное уравнение малых колебаний системы [c.372]

Для формирования алгоритма нахождения общего решения задачи малых колебаний составим, исходя из функций (8.1), (8.2), уравнения Лагранжа [c.36]

Это уравнение неоднородно и в общем случае имеет конечные решения не при любой правой части. Известно, что для наличия конечных решений правая часть (2.22) должна быть ортогональна решениям уравнения, сопряженного уравнению (2.22) без правой части. Умножая (2.22) на Фо и интегрируя по получаем, что левая часть обращается в нуль, а правая дает дисперсионное уравнение малых колебаний солитона [c.33]

При исследовании малых колебаний около устойчивого равновесного состояния во многих случаях можно (не совершая большой погрешности) сохранять в выражениях, зависящих от координат и скоростей, только члены низшего (относительно этих величин) порядка, отбрасывая все другие как бесконечно малые высших порядков. Такая операция приводит обычно решение задачи о малых колебаниях к интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она называется линеаризацией уравнений движения системы. Колебания, описываемые линеаризованными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями. Линеаризация уравнений малых колебаний может иногда оказаться результатом некоторых конструктивных изменений в рассматриваемой или проектируемой системе, что до известной степени служит основанием ее допустимости. [c.69]

УРАВНЕНИЕ ЧАСТОТ, ИЛИ ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ. В практической постановке задача об интегрировании системы дифференциальных уравнений малых колебаний сводится к нахождению частных решений, соответствующих главным колебаниям. Именно с этими колебаниями связаны критические резонансные) состояния системы. В предыдущем разделе была установлена форма т ких частных решений когда система совершает одно из главный колебаний, все координаты q изменяются по одному и тому же гармоническому закону [c.122]

ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ И ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ. Частное решение уравнений (3.13), соответствующее s-й собственной частоте, как это установлено выше, имеет вид [c.135]

Ниже представлен пример исследования динамики пространственного многопролетного трубопровода при кинематическом возбуждении через узлы крепления. Сейсмическое воздействие в приближении заданной платформы является частным случаем данного возбуждения, при котором все узлы крепления движутся одинаково. В качестве базовых использованы уравнения малых колебаний пространственного трубопровода [1], идеология методики решения данного класса задач и ее реализация подробно изложены в [2-4]. [c.75]

Решение системы уравнений (63) следует искать в форме с1 =С е = Но в случае малых колебаний в окре- [c.475]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Введение. Решение уравнений свободных колебаний тела данной формы может быть, после разрешения уразнения частоты и опредгления нормальных функций, выбрано таким образом, чтобы былн удовлетворены любые начальные условия. Если, однако, изучать таким образом движение, которое возникает в результате мест юго возмущения, имевшего место внутри такого тела, все или некоторый части Границы которого значительно удалены от места первоначального возмущения, то получающиеся выводы с трудом поддаются истолкованию. В начале движения части тела близи границы не подвергаются йозмущению, и движение происходит так, как если бы тело было неограничено. В соответствии с этим мы рассмотрим такие малые, двнзкения й упругой твердой среде, бесконечной по всем (илн по некоторым) направлениям, которые в некоторый начальный период ограничены лишь конечной областью, в то время как остальные части среды остаются в покое и свободны от напряжений. Мы начнем со случая изотропной среды. [c.306]

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных А , А , i, г, определяемых по начальным условиям, да10т общее решение уравнений (145) и определяют закон мальа колебаний системы. Эти колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами Aj и и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если -42=0) и колебание будет гармоническим. [c.395]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...