Методы конечной амплитуды

Прежде всего подчеркнем, что нелинейная теория волновых течений энергично развивается в последние годы благодаря широкому использованию численных методов [29, 30, 43]. При использовании аналитических методов решения обычно представляются в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости которых требует большой вычислительной работы [36]. Важные тенденции в поведении волн конечной амплитуды могут быть выявлены с помощью различных приближенных методов. В частности, если в описании гравитационных волн ограничиться третьими степенями амплитуды, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины имеет вид [c.142]

Рис. 32. Зависимости амплитуд деформаций у вершины усталостной трещины от ее длины при нагружениях образца силой 5,7 кН (а) 3,5 кН (б) и 2,1 кН (в), полученные с помощью метода конечных элементов

Метод комплексных амплитуд является предпочтительным при аналитическом решении задачи об установившихся вынужденных колебаниях систем с конечным числом степеней свободы. [c.108]

При исследовании волн конечной амплитуды решение сложной гидродинамической задачи с нелинейными граничными условиями обычно представляется в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости и построение которых требуют большой вычислительной работы. Приближенные и точные методы решения задачи о волнах конечной амплитуды рассмотрены в [75]. [c.87]

Из двух описанных методов, несомненно, предпочтительнее с аналитической точки зрения метод характеристик, но он несколько сложнее и требует значительно более высокой квалификации исследователя. Метод узлов подробнее разработан применительно к двигателю Стирлинга и вполне приемлем при низких и средних скоростях, но при высоких скоростях необходимо учитывать распространение волн давления конечной амплитуды, что пока не позволяет применить метод узлов в последнем случае. Кроме того, из-за предположения о постоянстве параметров внутри ячеек невозможно проследить за траекториями отдельных частиц, а это необходимо для понимания взаимосвязи между различными механизмами течения н теплообмена. [c.343]

По своей общей идее он аналогичен графическому методу расчета распространения волн конечной амплитуды, изложенному ранее в 33. Некое его своеобразие заключается лишь в удобстве использования заранее раз навсегда вычерченных 1) сетки характеристик в плоскости годографа — известных уже нам эпициклоид (147) — и 2) эллипса Буземана (149), изготовленного в виде прозрачного шаблона. [c.266]

В рассмотренных примерах длительность импульсов и ищс течением времени стремится к нулю, а их энергия — к бесконечности. Это влечет за собой неограниченное возрастание градиентов деформации и напряжения, что нереально. Учет же в исходной модели нелинейности, потерь и дисперсионных свойств реальной системы приведет к установлению конечной амплитуды и длительности импульсов. При линейной же идеализации полученные результаты достаточно хорошо отражают начальный этап переходных процессов и правильно предсказывают форму возбуждаемых колебаний в режимах неустойчивости. Это указывает на эффективность метода итераций при исследовании динамических процессов в различных устройствах, в которых рабочий элемент можно считать одномерной системой с изменяющейся во времени длиной. Кроме того, он позволяет выявить характерное время формирования импульсов из гладких начальных возмущений в критических режимах (таких, как параметрическая неустойчивость или резонанс) и оценить допустимое время нахождения системы в этих опасных состояниях без существенного нарушения их нормальной эксплуатации. [c.166]

Подставляя в уравнение (V.1) выражения (V.5), а затем (V.4), (V.7) и выполняя обычную процедуру метода конечных элементов, получаем систему 12п уравнений для конечного элемента S(/ относительно амплитуд узловых перемещений [c.162]

В табл. 1 приведены экспериментальные и теоретические частоты колебаний для пластинки с центральным вырезом. Черными точками на рисунках табл. 1 обозначены узлы конечно-разностной сетки, в которых при теоретическом исследовании были получены максимальные амплитуды и соответствующие им формы свободных колебаний. Как видно, в случае использования улучшенной конечно-разностной схемы результаты получаются значительно более точные. Сравнение теоретических и экспериментальных данных показывает хорошее совпадение, и различия между ними не превышают 1,5% для основной формы колебаний и 3 % для более высоких. Очевидно, что для высших форм колебаний точность результатов, полученных методом конечных разностей, снижается. Общей закономерностью, как видно из схем табл. 1, является то, что максимальные амплитуды колебаний имеют место около краев выреза. [c.124]

Для придания высоких технических характеристик УЗ-сварочным машинам необходимо тщательно разрабатывать комплектующие их элементы преобразователи, трансформаторы, волноводы, управляющую аппаратуру, акустические головки в сборе, механизмы привода. При изготовлении волноводов передовые фирмы используют метод конечных элементов, который обеспечивает их оптимальную геометрию, что означает достижение максимальной амплитуды при наименьших потерях, быстрый и целенаправленный переход от чертежа к готовому волноводу, минимальные напряжения в материале и благодаря этому высокую долговечность волновода. [c.406]

Аналитический подход к рассмотрению конвекции конечной амплитуды по существу применяемых методов ограничен [c.137]

В работах [ ] и р], в которых изучалось влияние течения Куэтта на конвективную устойчивость, для решения амплитудной краевой задачи использовались разные приближенные методы. В [ ] амплитуды скорости и температуры разлагались по полным системам базисных функций в р] уравнения решались численно методом конечных разностей. Результаты обеих работ полностью согласуются. Поскольку случай к = О, как указывалось выше, не приводит к изменению критического числа Рэлея, основное внимание было уделено случаю к фО, / 2 = О (плоские возмущения, периодические в направлении невозмущенного движения — у-валы ). В этом случае нейтральное значение числа Рэлея зависит от к К = К(/ 1). Минимизация этой зависимости дает критическое число Кт как функцию остальных параметров — чисел Рейнольдса и Прандтля. Основные результаты представлены на рис. 103. Как видно, для всех видов возмущений, кроме л -валов к = 0), движение с профилем [c.270]

Очерком общих методов интегрирования уравнений динамики заканчивается вторая часть этой книги, содержащая, вместе с ГЛ. I первой части, краткое рассмотрение основ аналитической механики. Оставлен в стороне ряд вопросов, как, например, распространение метода Остроградского — Гамильтона — Якоби на системы с избыточными координатами ) на случай неголоном-ных систем ), колебания с малыми и конечными амплитудами систем при наличии неголономиых связей и т. д. [c.396]

В последние годы стала развиваться нелинейная теория гидродинамической устойчивости. Основы ее изложены в конце обзора, составленного Дж. Стюартом и помещенного в только что цитированном руководстве под ред. С. Розенхеда (стр. 562—578). Эта часть теории устойчивости также пользуется методами теории колебаний, но изучает развитие возмущений конечной амплитуды (интенсивности) ). [c.524]

В высп1ей степени суш,ественные результаты удалось получить Н.Е. Кочину в работе Определение точного вида волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины , доложенной Всероссийскому съезду математиков в Москве в 1927 г. (см. Труды съезда ). Здесь речь идет о движении двух тяжелых несжимаемых жидкостей различной плотности, наложенных одна на другую, причем сверху и снизу эти жидкости ограничены горизонтальными плоскостями. Рассматривается безвихревое движение, в котором линия раздела жидкостей обладает некоторым периодом в горизонтальном направлении и перемегцается без изменения формы с постоянной горизонтальной скоростью. Н.Е. Кочин вводит комплексное переменное и сводит вопрос к нахождению двух функций, голоморфных в некоторых областях и удовлетворяюгцих определенным условиям. Действительные и мнимые части этих двух функций определяются в форме бесконечных рядов, сходимость которых доказывается методом мажорантных функций. Уравнения профиля волны автор дает также в виде бесконечного ряда. Регаение для бесконечных глубин обеих жидкостей получается как частный случай. [c.140]

Исследование конвективных движений с конечной амплитудой, когда линеаризо ванные уравнения конвекции не работают, представляет большие трудности как для численных (особенно при больших надкритичностях течения), так и для аналитиче ских методов. Наиболее широко применяются в настоящее время численные методы, которые при не очень больших надкритичностях позволяют достаточно эффективно построить поле течения для широкого класса двумерных задач. Получение надежных результатов для пространственных задач численными методами пока еще весьма трудоемко и встречает ряд затруднений особенно при сложных геометриях течений. Поэтому применение аналитических методов для выявления некоторых качественных и количественных эффектов для пространственных задач представляет большой интерес. [c.371]

Я рассматривал два метода изучения этого вопроса. Первый метод заключался в исследовании распространения волн конечной амплитуды в заданном теле при различии в значениях квазиста-тического предела упругости, обусловленного предварительными термической обработкой и деформированием. Второй метод, видимо, более важный, сводился к изучению распространения волн конечной амплитуды в материале, для которого динамический предел упругости, определенный по амплитудам деформаций вблизи фронта начальной волны с помощью дифракционных решеток был значительно выше квазистатического в этом же материале. [c.273]

В 1951 г., и до работ Альтера и Картиса 1956 г. были выполнены до того, как отыскание профилей волн на основании метода дифракционных решеток позволило уверенно проводить экспериментальное изучение распространения волн конечной амплитуды. Бьянки в [c.332]

Проводившиеся в течение шестидесяти лет переупрощенные опыты по определению конечных деформаций при ударе в кристаллических телах привели к долгому, бесплодному спору о роли вязкости в пластичности. Эти долгие годы косвенных измерений никоим образом не заложили основы для внезапного открытия 50-х гг. XX века, состоящ,его в том, что для полностью отожженных кристаллических тел явления динамической пластичности при высоких скоростях деформаций отмечались отсутствием влияния вязкости во всем диапазоне температур, даже вблизи точки плавления. Это открытие оказалось возможным только после создания метода непосредственного и точного наблюдения за волнами конечной амплитуды, без использования квазистатических гипотез. [c.383]

В 20-х годах были впервые строго исследованы задачи о волнах конечной амплитуды. А. И. Некрасову удалось свести задачу об установившихся периодических волнах на поверхности тяжелой жидкости неограниченной глубины к некоторому интегральному уравнению и провести его исследование, доказав существование и единственность решения. В конце 20-х годов Некрасов рассмотрел и случай жидкости конечной глубины, а Н. Е. Кочин исследовал распространение волн на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности Позже методы строгой теории были перенесены на капиллярно-гравитационные волны и на простейшие случаи стоячих волн (Я. И. Се-керж-Зенькович и др.). [c.286]

Следует сказать, что для подобных волн равны любые комбинации указанных безразмерных чисел, например Е М = pjp v (число кавитации), MfE = p v/p и др. В качестве параметров подобия могут быть выбраны любые два числа. Если в Е под р, р, с понимать полное значение давления (избыючное + давление, определяющее упругость среды), а также полное значение плотности и скорости, то дня адиабатического процесса Е = у . В случае кидкостей, если применимо уравнение Тэта, Е = Г . Решение уравнений гидродинамики невязкой жидкости должно зависеть от числа Маха и этого нелинейного параметра уравнения адиабаты ).Методы теории подобия полезны тем, что они дают общие закономерности, позволяющие систематизировать экспериментальные данные и подойти с общей точки зрения к проблеме распространения волн конечной амплитуды. Однако они не позволяют получить точного решения той или иной задачи. [c.55]

Подводя итог, можно сказать, что задача о конечных колебаниях поршня, рассмотренная в этом разделе, может решаться различными методами. Разложение решения по малому числу Маха в эйлеровых координатах приводит к своеобразной трудности в эйлеровых координатах поршень (колеблющийся синусоидально в лагранжевых координатах) совершает довольно сложное колебание, что приводит к появлению псевдогармоник даже у источников звука. Это различие между системами координат проявляется, если учитывать в решении члены и более высокого порядка малости. При решении задач с точностью до членов вид решения не зависит от выбора системы координат. Монохроматическая волна, излучаемая поршнем, по мере распространения искажается. В идеальной среде искажение формы волны происходит беспрепятственно вплоть до образования разрыва на конечном расстоянии от поршня. Степень искажения зависит от безразмерного числа о = ггМ. Искажение может быть представлено как возникновение, взаимодействие п рост гармоник в процессе распространения волны. Спектральное представление искажения удобно тем, что многие экспериментальные методы исследования нелинейного искажения основаны на выделении спектральных составляющих из волны конечной амплитуды (см. гл. 4). [c.80]

Квазилинейный метод описания поглощения волн конечной амплитуды применен также в [5, 4, 16]. В этих работах использовались идеи, содержащиеся в [2], т. е. предполагалось, что искажение волны происходит так же, как и в недиссипативной среде (по Бесселю — Фу-бини см. (2.74)), а поглощение каждой из гармоник — по закону для волн малой амплитуды. Применение электронной счетной машины позволило рассчитать по этой схеме различные величины, характеризующие поглощение. На рис. 8 показана зависимость амплитудного коэффициента поглощения волны конечной амплитуды от [c.116]

В этой главе будут рассмотрены экспериментальные методы, а также результаты исследования различных нелинейных эффектов. Понятие волн конечной амплитуды с точки зрения экспериментатора несколько условно, так как возможность наблюдения различных нелинейных эффектов определяется не только интенсивностью звуковых волн, но также чувствительностью и точностью измерительной аппаратуры. Например, рассматриваемые ниже методы исследования искажения ультразвуковых волн в жидкостях с успехом применялись для волн, интенсивность которых с точки арения обычных представлений в достаточной мере мала. В этой главе, предполагая, что читатель знаком с методами акустических измерений в линейной акустике, приведенными в целом ряде руководств, мы остановимся только на методах, являющихся в некоторой мере споцифическимп при исследовании нелинейных эффектов. [c.139]

Исследования распространения волн конечной амплитуды в релаксирующих средах немногочисленны. В одной из первых работ [27] наблюдалось искажение и дисперсия в уксусной кислоте при сот = 1 2 3 (т 3-10 сев). Из-за большого поглощения в концентрированной згксус-ной кислоте удалось получить только малые числа Be 10 . Несколько большие Be, но все-таки остающиеся много меньшими единицы, были получены в водных растворах уксусной кислоты. При таких числах Рейнольдса в области релаксации гармоника была порядка одного процента несколько ббльшимй лскажения (так же как и Be) были при сот = 3. Наблюдение дисперсии осуществлялось по сдвигу фазы второй гармоники при изменении расстояния излучатель — приемник относительно опорной фазы первой гармоники. При этом было установлено, что при целом числе длин волн по первой гармонике (возвращении фазы к исходному положению) по второй гармонике из-за дисперсии возвращения фазы к исходному положению не было. По порядку величины дисперсия, измеренная в интервале частот а)Т = 1 4- 8, согласуется с полученной ранее другими линейными методами. Этот результат экспериментально подтвержден также в [8] для водного раствора MnS04, где измеренный аналогичным методом при сот 0,3- -l,0 сдвиг фазы второй гармоники относительно первой оказался в два раза меньшим, чем сдвиг фазы в гипотетическом случае невзаимодействующих первой и второй гармоник. [c.158]

Наиболее просто нелинейный параметр может быть экоперимеитально определен по нелинейным эффектам при распространении волн конечной амплитуды (искажению или взаимодействию волн). Зкапериментальную трудность здесь представляет абсолютное измерение звуковых давлений, что ограничивает точность определения нелинейного параметра для жидкостей л газов. Наилуч-плие измерения сейчас сделаны по-видимому с ошибкой 5— 10%. В твердых телах опгибка измерения нелинейного параметра еще больше ( 20—30%). Эта трудность, во всяком случае для жидкостей, может быть устранена проведением сравнительных измерений. В этом методе ошибка в основном определяется оишбкой измерения п в жидкости сравнения. [c.164]

В точности проследить судьбу волн конечной амплитуды, возбужденных тем или иным способом,—задача большой трудности однако некоторые сведения можно получить приближенными методами. Такой способ был применен Эйри ) (1845) в его работе по динамической теорни приливов, где сходные вопросы возникают при исследовании приливов в море малой глубины и в устьях рек. [c.230]

При практической реализации метода Фурье-спектроскопии необходимо принять во внимание, что (26.50), строго говоря, не дает точной формы спектра, потому что имеются многочисленные искажен1й1 зарегистрированной интенсивности (26.48). Они обусловлены конечностью амплитуды, несовершенством зеркал, шумовыми эффектами и рядом других факторов. [c.161]

Изучив основные закономерности распространения плоских волн, можно приступить к рассмотрению волн с более сложной пространственной структурой. Прежде всего мы рассмотрим обширный класс волн, направление распространения которых меняется произвольным образом, но эти изменения происходят достаточно плавно - на масштабах, много больших характерной длины волны. В линейной теории это приближеше соответствует геометрической акустике, когда геометрия волны описьшается системой лучей, причем распространение происходит независимо вдоль каждой лучевой трубки. Волны конечной амплитуды могут обладать аналогичными геометрическими свойствами, и тогда говорят о нелинейной геометрической акустике (НГА). Здесь приходится анализировать подчас весьма сложную игру нелинейных эффектов, с одной стороны, и эффектов расходимости волн, фокусировки, рефракции и т.д. — с другой. Отметим еще следующее обстоятельство. Методы линейной геометрической акустики и линейной геометрической оптики (изучающей распространение коротких электромагнитных волн) в общем аналогичны — ош основаны чаще всего на рассмотрении гармонических или квазигармонических во времени процессов или, реже, коротких импульсов волновых пакетов. Нелинейная же геометрическая оптика и акустика развивались различными путями если первая по-прежнему оперирует в основном с квазигармоническими волнами, то вторая имеет дело с непрерывными искажениями профиля волны, которые и в одномерном случае, как видно из предыдущей главы, не всегда просто описать. [c.75]

В этой связи следует отметить, что встречающийся в литературе термин волна конечной амплитуды в экспериментальном аспекте не совсем удачен, ибо любая реальная волна имеет конечную амплитуду. Нелинейные же эффекты проявляются не во всякой реальной волне, а лишь при достаточно больилой ее амплитуде какой иментю— это зависит от чувствительности аппаратуры и метода регистрации данного конкретного нелинейного эффекта. В теоретическом плане этот термин имеет вполне определенный смысл он указывает на учет нелинейных членов в уравнениях гидродиналтки и вытекающих из этого следствий. В таком именно смысле этот термин будет сохранен и в данном изложении. Реальную же ультразвуковую волну, в которой фактически проявляются нелинейные эффекты, мы будем называть просто волной большой амплитуды , условившись при этом исключать из рассмотрения сильные ударные волны (возникающие, например, при взрывах и разрядах), которым соответствуют числа Маха, близкие к единице, и которые подчиняются другим законам распространения (см., например, работы [17, 18]). [c.68]

Наиболее интересный результат нелинейных исследований заключается в том, что при малых числах Прандтля (где, согласно линейной теории, имеет место колебательная неустойчивость) возможно жесткое возбуждение стационарного движе-ния конечной амплитуды (см. рис. 55,6). Вывод о жесткой неустойчивости и наличии стационарных подкритических движений был сделан уже в первой работе Верониса на основе метода малого параметра далее этот вывод был подтвер- [c.216]

Одна из особенностей динамической системы, описываемой уравнением (33.19), состоит в большом затухании параметр затухания е имеет минимум при п=1, причем emin=l- Для параметрического возбуждения при этом требуются, вообще i o-воря, конечные амплитуды модуляции. По этой причине методы малого параметра, основанные на разложениях по амплитуде, оказываются мало пригодными для решения задачи. [c.243]

Если конвективная система подвергается параметрическому воздействию, то в области неустойчивости в результате развития возмущений устанавливается периодическое во времени конвективное движение конечной амплитуды. Исследование надкритических колебаний возможно лишь на основе полных нелинейных уравнений конвекции. Как и в статическом случае ( 23), здесь весьма эффективным оказывается численный метод сеток. В работах Г. И. Бурдэ стационарные надкритические колебания изучались этим методом на примере области квадратной формы. Решалась плоская нестационарная задача конвекции в квадратной области с теплоизолированными вертикальными границами. Рассмотрены оба вида параметрического воздействия, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах,— модуляции поля тяжести и периодические колебания температуры на горизонтальных границах. [c.261]

Учет тепловых факторов в рамках параллельного приближения был проведен в работе Нахтсгейма [37]. Численно (методом конечных разностей) рещалась спектральная задача для амплитуд возмущений функции тока и температуры при числах Прандтля Рг = 0,733 (воздух) и 6,7 (вода). Амплитудные уравнения получаются из (32.9) отбрасьюанием в обоих уравнениях членов в фигурных скобках. Расчет показал, что уже при Рг = = 0,733 учет тепловых факторов оказьшается существенным в области длинноволновых возмущений и приводит к понижению устойчивости (рис. 141, а ср. 25). [c.221]

Уравнения (7.12) и (7.15) подобны уравнениям распространения плоской волны конечной амплитуды в сжимаемой жидкости ) (задача была рассмотрена Ирншоу и Риманом). Следуя методу решения Ирншоу, предположим, что У является функцией только деформации, так что [c.155]

V < vo. При V > vo положение равновесия х — О становится неустойчивым, х 1) экспоненндально растет. Однако влияние нелинейных членов в (20.17) приводит к появлению предельного цикла конечной амплитуды. В первом приближении метода усреднения х = асо ф. Из (20.14) находим а = О, [c.189]

В. В. Болотина (1964), где, кроме корреляционного метода, обсуждены также возможности и полученные результаты в области применения ква-зистатического метода и метода кинетических уравнений для исследования статистических свойств колебаний пластинок и оболочек при случайных нагрузках. Болотин отмечает, что применению математической статистики в различных областях физики и техники посвяш ено огромное количество работ, причем многие результаты из статистической динамики могут быть интерпретированы в терминах теории пластинок и оболочек. В свойственных теории оболочек задачах приложения этих результатов заключаются в установлении обш их свойств спектра колебаний. В линейных задачах это в настоящее время выполнимо что касается колебания оболочек с конечными амплитудами, то здесь в ближайшем будущем придется, по-видимому, ограничиться рассмотрением конкретных задач, представляющих непосредственный интерес для практики. С точки зрения теории оболочек упор надо делать на учет континуального характера работы оболочки (В. В. Болотин, 1966). [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...