Спектральная задача

Далее приведем аналитическое решение рассмотренной задачи (536)—(537), полученное авторами на основе решения спектральной задачи типа [13] [c.165]

Тогда для спектральной задачи (17) с учетом (18) и (19) получим [c.561]

Для отыскания решения спектральной задачи (2.42) разложим собственные функции и ядро /гг(ж, ) в следующие ряды [c.65]

Еще раз отметим, что можно выбрать любой базис. Полиномы Лежандра взяты только для определенности. С учетом (2.42), (2.45), (2.46) приведем спектральную задачу к виду [c.65]

Для решения спектральной задачи представим собственные функции (pi(r) в форме [c.104]

С учетом (2.18) и (2.28) спектральная задача для оператора Рц примет вид [c.106]

Тогда для спектральной задачи (3.21) с учетом (3.11), (3.22) получим [c.163]

Спектральная задача для оператора (I — р 5))А в приводится к виду [c.178]

Собственные вектор-функции г 1 х) и собственные числа 7 оператора (I — Р(б))А в Ьг([—1,1], 1 )6 получим из решения спектральной задачи, где после очевидных преобразований [c.179]

Г. И. Макаров и В. В. Новиков, Некоторые спектральные задачи, возникающие в теории распространения радиоволн, VI Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн, [c.415]

Амплитудные уравнения (5.9), (5.10) вместе с граничными условиями (9.1) и (9.13) образуют спектральную задачу, определяющую характеристические возмущения и их декременты к. [c.63]

Производимые при ортогонализации линейные преобразования, естественно, меняют вклад каждого частного решения в общее решение (3.8). Это не отражается на собственных значениях спектральной задачи, но требует некоторых восстановительных операций для построения собственных функций соответствующий алгоритм описан в [27]. [c.24]

В этом параграфе мы изложим результаты исследования структуры спектров возмущений, границ устойчивости и характеристик критических возмущений плоскопараллельного конвективного течения в вертикальном слое с границами разной температуры. Большинство результатов получаются путем численного решения спектральной задачи (1.24)-(1.26). [c.26]

Монотонная гидродинамическая мода неустойчивости. Перейдем теперь к результатам решения задачи устойчивости в полной постановке (спектральная задача (1.24)-(1.26)). Монотонная неустойчивость, имеющая место в пределе Рг О, естественно, продолжается в область конечных значений Рг, причем ее характеристики, вообще говоря, зависят от числа Прандтля. Численный расчет этой моды неустойчивости проведен в работах Р.Н. Рудакова [15, 32] с помощью метода Галеркина. Использовались [c.27]

Рассмотрим сначала поведение малых плоских возмущений основного течения. Наклон слоя приводит к усложнению спектральной задачи для амплитуд нормальных возмущений функции тока и температуры, которая теперь имеет вид [c.48]

Вводя плоские нормальные возмущения, получим для амплитуд возмущений функции тока и температуры спектральную задачу [c.66]

Из ЭТОЙ спектральной задачи при Ка = О получается задача (1.24)-(1.26) для плоских возмущений течения в вертикальном слое при отсутствии продольного градиента. В другом предельном случае GJ = О (отсутствует поперечная разность температур) при этом краевая задача дает спектр возмущений механического равновесия плоского вертикального слоя, подогреваемого снизу (Ка > 0) или сверху (Ка < 0). При нагреве сверху механическое равновесие устойчиво, а при подогреве снизу имеет место неустойчивость относительно монотонных возмущений. [c.67]

Переходя к рассмотрению устойчивости течения (9.4), отметим прежде всего, что наиболее опасными, как можно показать, являются плоские возмущения. Спектральная задача для амплитуд возмущений функции тока и температуры отличается от (1.24)-(1.26) видом первого уравнения [c.76]

Выше речь шла о возникновении неустойчивости относительно осесимметричных возмущений. Рассмотрение возмущений более общего вида проведено в работе [54], где спектральная задача (10.3) решена численно для случая антисимметричных возмущений (ш = 1). Расчеты проведены ддя Рг = 0 0,71 и 3,5 (вода при 50 °С). На рис. 49 приведены результаты для Рг = 0,71, когда неустойчивость имеет гидродинамическую природу. Как видно, в той области, где кривизна существенна (5 < 0,44), антисимметричные возмущения более опасны, чем осесимметричные. Ситуация более сложна при Рг = 3,5, когда дополнительно появляется волновая осесимметричная мода. Как показывают расчеты, при малых 5 (5 < 0,03), а также в интервале 0,16 < 5 0,4 наиболее опасны антисимметричные возмущения гидродинамического типа в области 0,3 < 5 < 0,16 — осесимметричные волновые наконец, при [c.83]

Для выяснения влияния тепловых свойств границ рассмотрим предельный случай, противоположный тому, который обычно имеется в виду, а именно будем считать, что теплопроводность жидкости гораздо больше теплопроводности границ. В этом предельном случае для возмущений температуры следует поставить условие теплоизоляции. Это условие фактически означает, чго тепловой поток через границы поддерживается постоянным и не меняется при возникновении возмущений. Спектральная задача для амплитуд возмущений отличается от (1.24)-(1.26) граничным условием для в, которое теперь имеет вид 0 ( 1) = 0. Задача в такой постановке решалась в работах [58—60]. [c.85]

Для решения вопроса об устойчивости комбинированного течения следует обратиться к спектральной задаче (1.24) — (1.26) для амплитуд плоских возмущений, которые в рассматриваемом случае наиболее опасны. [c.91]

Рассуждения, аналогичные проведенным в 7, приводят к выводу, что наиболее опасными являются плоские возмущения. Запишем спектральную задачу для амплитуд возмущений функции тока и температуры [c.105]

Другой предельный случай — спиральные возмущения к = О, ку к. Из (16.10), (16.11) тогда выделяется спектральная задача для амплитуд горизонтальных компонент векторов у и IV, а также р и 0. Эта задача не содержит скорости основного течения и совпадает с задачей устойчивости механического квазиравновесия в невесомости при наличии поперечной разности температур и вибрации в плоскости слоя. Как уже говорилось выше, это равновесие теряет устойчивость при критическом числе Рэлея Кау = 133,1. Таким образом, спиральная мода пространственной задачи [c.114]

Уравнения (17.6) и (17.8) вместе с соответствующими граничными условиями для и в, которые остаются прежними, образуют спектральную задачу для амплитуд возмущений в поперечном поле. В использованном приближении амплитуда возмущения магнитного потенциала оказывается исключенной из системы без повышения порядка при этом, разумеется, из рассмотрения исключаются ветви спектра, связанные с магнитными возмущениями. Влияние поперечного магнитного поля на устойчивость обусловлено его подавляющим воздействием на основное течение и возмущения скорости. [c.121]

Спектральная задача (18.5), (18.6), получившаяся в результате указанных упрощений, полностью эквивалентна обсуждавшейся в 16 задаче о неустойчивости вертикального конвективного течения при наличии продольной высокочастотной вибрации. Для отождествления требуется замена/- — Г и Ка ->Яа -. Таким образом, рассматриваемый ЭГД-механизм с точки зрения воздействия на устойчивость аналогичен вибрационному статическому механизму. Задача (18.5), (18.6) описывает (при произвольных Сг иКа -) взаимодействие ЭГД- и конвективных механизмов неустойчивости. Численные результаты решения этой задачи, полученные в работе [8] методом степенных рядов (рис. 79), согласуются с результатами решения соответствующей вибрационной задачи (рис. 73). [c.126]

Исследование устойчивости. Спектральная задача для амплитуд функции тока (л ), температуры в (л ) и концентрации (л ) малых плоских нормальных возмущений имеет вид [c.129]

Поведение малых плоских нормальных возмушений определяется спектральной задачей [c.138]

Как и в случае смеси с продольным градиентом концентрации, при А = О спектральная задача имеет решение, соответствующее нейтральному уровню концентрационного типа (см. (19.11)). При малых к решение можно представить в виде разложений (19.12). Системы уравнений первого и второго порядков имеют вид [c.139]

Отличие от соответствующей спектральной задачи, описывающей возмущения в конвективном течении с нормальной температурной зависимостью плотности, состоит в иной форме профиля скорости и более сложной структуре подъемной силы. [c.150]

Эволюция возмущений определяется, вообще говоря, комплексным декрементом X = + /Х/. Из вида спектральной задачи (24.4) можно заключить, что все определяемые ею нормальные возмущения затухают [68]. Для доказательства этого утверждения исключим из системы [c.159]

Существуют два способа определения П. п. Первый основан на применений методов квантовой химии. Не-эмпирич. методы квантовой химии, учитывающие электронную корреляцию, способны качественно правильно определять форму П. п. (ноложение абс. и относит, минимумов, седловых точек и максимумов) л давать оценки барьеров на пути внутримолекулярных перегруппировок. Методы квантовой химии совершенствуются, и её возможности возрастают, но в наст, время (1990-е гг.) более точным методом определения параметров П. и. является решение обратной спектральной задачи. Он основан на применении экснерим. данных, найденных по колебат.-вращат. спектрам в квантовомеханич. расчётах. При этом выражение для потенц. энергии (потенциала V) разлагают в многомерный ряд Тейлора по степеням координат ядер вблизи равновесной конфигурации молекулы и ограничиваются неск. первыми членами ряда в зависимости от задачи и наличия необходимого кол-ва эксперим. данных. В безразмерных нормальных координатах к-рые связаны с обычными нормальными координатами Q — (h (iiJJh ) / gj , этот ряд имеет вид [c.91]

Возможно, что наиболее ранний пример использования комплексных собственных частот в электродинамике относится к 1884 г., когда Томсон рассмотрел свободные колебания поля во внешности идеально проводящей сферы [152]. Типы колебаний, удовлетворяющие условию неприходящего излучения, экспоненциально нарастали в пространстве, что дало повод для критики со стороны Ламба, считавшего задачу физически неправильно поставленной. Явление экспоненциальной катастрофы до сих пор многих отпугивает от решения несамосопряженных спектральных краевых задач, хотя вопрос полностью исчерпывается при переходе на нестационарную точку зрения — с каждым нарастающим колебанием связан экспоненциальный множитель, зависящий от времени, который перекрывает зависимость от координат в любой точке пространства. Иными словами, каждая функция, описывающая свободные колебания, финитна в пространстве и ее носитель растет со временем. Постановка спектральных задач для линий передачи и открытых резонаторов вполне естественна даже без связи с проблемами теории рассеяния. В случае с дифракционными решетками необходимость в построении спектральной теории не столь [c.10]

Аналогичные результаты для линейных уравнений на основе предварительного изучения спектральной задачи (уравнение (IV. 8.4) с венхественным к) получил А. А. Арсеньев [13] при помонхи преобразования Фурье. [c.439]

Пусть для примера спектр, состоящий из полос полушириной Д v =10 см и более, записывается приемпо-регистрнруюш ей системой, обладающей постоянной времени т =1 сек. Пусть по услов11Ям данной спектральной задачи необходимо, чтобы в процессе регистрации снижение пиковой интенсивности полос не превышало 2 о, расширение полос было не более 10% и смещение максимумов не превышало 1 сж . Тогда для коэффициентов е, н и т] получаются условия е5 0,98, хг 1,1 и г) = 0,235. [c.437]

Следует отметить, что во всех вариантах постановки плоской задачи для системы штампов вид разрешающего ортопроектора аналогичен (15), а спектральная задача приводится к системе алгебраических уравнений типа (20), где матрица системы симметрична и в качестве элементов содержит коэффициенты разложения (естественно, что для каждого варианта постановки получим свою матрицу системы уравнений спектральной задачи). [c.562]

Здесь ai — постоянные, которые должны быть найдены из спектральной задачи (3.17). Заметим также, что одно из счетных множеств постоянных б. или IZid) при i > 1 может быть в дальнейшем произвольно зафиксированно. [c.459]

В параграфе исследуются решения контактных задач для неоднородных стареюпщх вязкоупругих оснований и цилиндрических тел в случае, когда система штампов представляет из себя группу. Рассматриваются четыре типа постановок. Приводятся соответствующие ортопроекторы, ортогональные подпространства и спектральные задачи. Даются выражения для контактных напряжений, осадок и углов поворотов штампов, усилий и моментов, действующих на них. Изучается влияние неоднородного старения и фактора неодновременности приложения штампов на характеристики контактного взаимодействия [148]. [c.159]

Этим случаем исчерпьгааются постановки контактных задач при задании различных условий на двух группах штампов системы. Полученные выше формула представляют собой алгоритмизованную реализацию проекционно-спектрального метода, что позволяет непосредственно использовать их при численных расчетах. Следует отметить, что собственные функции (вектор-функции) возникающих операторов, можно строить любым из известных методов [120, 127, 185], не опираясь на разложение ядра К(ж, ) оператора А в двойной ряд (3.11). Однако, информации о коэффициентах разложения достаточно для построения по методу Бубнова-Галеркина собственных функций всех необходимых операторов, и в этом плане она универсальна. К этому добавим, что матрицы бесконечных алгебраических систем спектральных задач в силу всегда симметричны. [c.185]

Книга содержит изложение нового метода решения широкого класса задач дифракции и рассеяния (акустика, электродинамика, уравнение Шредингера). Изложен формальный аппарат различных вариантов метода, основанного на разложении дифрагированного поля в ряд по собственным функциям однородных задач, в которых собственным значением выбирается не частота. Строгой математической трактовке этого подхода посвящено дополнение, где средствами функционального анализа исследованы свойства важнейших из рассмотренных в книге спектральных задач. Метод особенно эффективен для аналнза резонансных систем, в частности — открытых резонаторов и волноводов. Он позволяет представить решение в бесконечной области в виде ряда (спектр дискретен), частично суммировать нерезонансный фон, широко применять вариационный аппарат и т. д. Решен ряд новых задач. [c.2]

Спектральные задачи, поставленные в главах I и II, как правило, не являются внутренними задачами это либо внешние задачи, либо задачи сопряжения. Спектральный параметр, однако, не входит в уравнение в неограниченной области он входит либо в граничное условие, либо в уравнение в ограниченной области, по одну сторону от рассматриваемой поверхности. В п. 2 36 и 38 мы свели скалярные задачи такого вида к задачам в ограниченной области с псевдодифференциальными граничными условиями это позволило вывести из [c.411]

Для определения формы характеристических возмущений необходимо найти собственные функщ и спектральной задачи (1.24)-(1.26). Расчеты с помощью методов Галеркина и пошаговой ортогонализации проведены в работах [35, 27]. Суммарное течение, образующееся в результате суперпозиции основного плоскопараллельного течения и возмущения, представлено на рис. 50. Как видно, монотонная неустойчивость развивается в виде неподвижных вихрей на границе раздела встречных потоков. [c.30]

Введем плоские нормальные возмущения с амплитудами функций тока, температуры и электрического потенциала, соответственно < ,0 и Г - При определении безразмерных переменных будем пользоваться обычными единицами расстояния, времени, скорости и температуры в качестве единицы поля примем а Ео- Запишем спектральную задачу для безразмерных амплитуд, упростив ее в предположении слабой температурной неоднороднос- [c.125]

Сформулированная спектральная задача интегрировалась численно методом Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией. Ниже приводятся некоторые результаты. [c.146]

Спектральная задача решалась в работе [63] методом Галеркина. Основные результаты представлены на рис. 99, 100. Рис. 99 относится к значению числа Прандтля, близкому к порогу появления волновой моды в ньютоновском случае. По мере возрастания параметра упругости Г имеет место ахабая стабилизация стационарной моды и заметная дестабилизация волновой. При достаточном Г волновая мода становится более опасной. Эффект упругости приводат к уменьшению порогового числа Рг, при котором появляется волновая неустойчивость. Эффект дестабилизации волновой моды прослеживается по результатам рис. 100. Критическое волновое число для волновой моды практически не зависит от Г. [c.157]

Как и в случае конвективного течения вязкой жидкости в вертикальном слое (см. 7), можно показать, что пр0стра1хтвенные возмущения менее опасны, чем плоские. Для амплитуд нормальных возмущений функции тока V (х) и температуры в (л ) стандартным путем получается следующая спектральная задача [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...