Неустойчивость параметрическая

Из полученных результатов численного счета (рис. 9.5) следует, что для реальных трубопроводов, имеющих большую изгибную жесткость, неустойчивые параметрические колебания возможны (с учетом сил вязкого сопротивления) при сравнительно больших амплитудных значениях гощ периодических составляющих потока в рассмотренном примере они возможны при размерных значениях амплитуд, больших 150 см/с, т. е. практически при значениях, близких к постоянной составляющей скорости потока Шор. Наибольшую опасность представляют вынужденные параметрические колебания, которые приводят к накоплению усталостных повреждений и тем самым снижают долговечность трубопроводов. [c.275]

Рис. 5.2. Зоны динамической неустойчивости параметрической системы

Неустойчивость параметрических колебаний мембраны в переменном электрическом поле. Приведем уравнения (12) к стандартному виду уравнений Матье [6]. С этой целью введем безразмерные время г и параметры 0 , Зп по формулам [c.50]

У оболочек из-за большой плотности спектра свободных колебаний зоны неустойчивости параметрических колебаний покрывают значительную область в плоскости сила — частота , поэтому для практических целей необходимо установление амплитуд колебаний при помош и нелинейной теории с учетом демпфирования. Эта задача была поставлена В. В. Болотиным для пластинки (1954, 1956), а позже и для сферической оболочки [c.255]

Термины устойчивость и неустойчивость сейчас имеют столь широкое хождение, что без дополнительных пояснений не всегда можно понять, о чем идет речь. Действительно, говорят об устойчивости системы вообще, об устойчивости ее вполне определенного движения (траектории или решения), об устойчивости равновесия и т.д. Да и сама устойчивость или неустойчивость может быть разной. Может быть устойчивость в большом — по отношению к произвольным возмущениям, в малом — определяемая свойствами линеаризованной задачи. Прилагательные при слове неустойчивость обычно характеризуют уже не СТОЛЬКО математические ее особенности, сколько физические механизмы возникновения колебаний (или волн) — диссипативная неустойчивость, параметрическая, излучательная и т.д. [c.129]

Здесь учтено, что ввиду спектральной близости сателлитов расстройка 5 = 2шо - ш ко -I- kl) - uj ko - ki) - d u>/dP) . Таким образом, мы вернулись к задаче о параметрической неустойчивости. Параметрический инкремент, с которым нарастает амплитуда сателлитов в заданном ноле несущей, [c.418]

Аналогичные соображения справедливы и для области неустойчивости. Параметрически возбуждаемый маятник с частотой параметрических возбуждений й=2шо ведет себя не так, как маятник типа качелей с той же относительной частотой. При фо< 1 никакой разницы нет, оба маятника могут быть выведены из положения равновесия самыми малыми возмущениями. Однако, в то время как амплитуды маятника типа качелей будут возрастать в геометрической прогрессии до тех пор, пока маятник не начнет описывать полную окружность, амплитуды параметрически возбуждаемого маятника ограниченны (на рис. 134 Фтах 80°). [c.178]

Уравнение (4.42) — неоднородное нелинейное дифференциальное уравнение с переменными во времени коэффициентами. Малость пульсации продольной компоненты скорости (О по сравнению с ее средним значением v и случайный характер пульсации позволяют считать, что динамическая неустойчивость (параметрический резонанс) в этой системе проявится слабо. Поэтому при анализе галопирования этот вопрос можно не -рассматривать. [c.90]

Если корни характеристического уравнения будут действительными, то движение маятника неустойчиво. Возникает параметрический резонанс. Поэтому условие возникновения параметрического резонанса имеет вид [c.320]

Стержень (свая) (рис. В.1) внедряется в грунт под действием периодической осевой силы P t). Если частота изменения силы и ее амплитуда взяты произвольно, то могут возникнуть поперечные колебания, которые для нормальной работы (процесса внедрения сваи в грунт) недопустимы. При расчете режимов работы требуется определить такие частоты и амплитуды сил, при которых поперечные колебания возникать не будут, Дело в том, что если рассмотреть уравнение поперечных колебаний сваи, то это будет уравнение с периодически изменяющимися коэффициентами. Такие колебания называются параметрическими, и при определенном сочетании параметров, входящих в уравнения, эти колебания могут быть неустойчивыми, т. е. при малом отклонении стержня от прямолинейной формы амплитуды колебаний непрерывно увеличиваются. Параметрические колебания прямолинейных стержней рассмотрены в 7.7. [c.4]

На рис. В.5 показана передача с гибкой связью, обладающей изгибной жесткостью. Если момент сопротивления, действующий на ведомый шкив, изменяется во времени, то и осевые усилия в ветвях передачи также будут изменяться во времени. Поэтому уравнения поперечных колебаний ветвей передачи будут зависеть от времени, и если коэффициенты будут периодическими функциями времени, то могут возникнуть параметрические колебания, В дампом примере в отличие от примера (см. рис. В.1) возможные неустойчивые режимы колебаний будут зависеть и от скорости ЗУ продольного движения гибкой связи. [c.5]

Если графики рис. 4.3, а, б представить в виде амплитудно-частотных характеристик параметрически возбуждаемой линейной колебательной системы, то для фиксированных и р они будут иметь вид, показанный на рис. 4.4. Как мы видим, полосы возбуждения сужаются с ростом номера области неустойчивости п, а также из-за наличия диссипации в системе (полосы, ограниченные пунктиром). Из рис. 4.4 видно также, что для выбранного значения глубины модуляции (параметра т) и при данном конкретном значении затухания 26 в системе возбудить параметрические колебания в четвертой области неустойчивости не представляется возможным. [c.134]

При ограничении же амплитуды за счет нелинейности реактивных параметров процесс установления равновесного режима можно связывать с соответствующим перемещением изображающей точки и некоторой деформацией самих областей неустойчивости, происходящими до тех пор, пока изображающая точка также не окажется на границе области параметрического возбуж,дения. В зависимости от механизма ограничения нарастания амплитуд параметрически возбуждаемых колебаний процесс установления стационарной амплитуды идет либо монотонно, либо имеет осцил-ляторный характер. [c.161]

Последнее выражение в точности соответствует условию существования отличной от нуля стационарной амплитуды А . Для области расстроек , удовлетворяющих неравенству — 4в для которых существует стационарная отличная от нуля амплитуда /4, состояние покоя системы неустойчиво. Следовательно, оно неустойчиво внутри области параметрического резонанса (от до Состояние покоя устойчиво вне области параметрического резонанса, когда Re>.<0 и для соотношения параметров системы получается неравенство вида > т /4 — Аналогичным образом анализируется устойчивость состояния с отличной от нуля стационарной амплитудой (А фО). После довольно громоздких вычислений находим, что эта амплитуда устойчива (КеЯ<0) во всей области расстроек, 1де она [c.167]

Сравнивая условие параметрической неустойчивости состояния покоя (4.6.10) с условием существования стационарного решения для Ло= =0 (4.6.9), нетрудно заметить, что эти условия совпадают. Из них легко получаются интервалы расстроек, в которых существуют неустойчивое состояние покоя и стационарные ненулевые амплитуды параметрически возбужденных колебаний имеем [c.177]

Можно показать, что амплитуда Лц всегда устойчива, а амплитуда Ли неустойчива. Внутри полосы (7.2.12) положение равновесия системы неустойчиво и происходит мягкое возбуждение колебаний. При расстройках, удовлетворяющих условию (7.2.13), имеет место жесткое возбуждение генератора. Колебательные процессы в двухконтурном параметрическом генераторе имеют много общего с процессами, происходящими в одноконтурном параметрическом генераторе и описанными в 4.5. Увеличение амплитуды накачки смещает положение центра области возбуждения и расширяет ее границы. Зависимость границы области возбуждения системы Агы от Лн приведена на рис. 7.5. [c.264]

Как в мягком, так и в жестком режимах при выполнении условия (7.2.8) частота колебаний не зависит от амплитуды накачки. При невыполнении (7.2.8) появляется зависимость частоты генерации от амплитуды накачки. Область существования параметрической генерации ограничена как со стороны малых амплитуд накачки ( порог ), так и со стороны больших амплитуд Л ( потолок ). Существование порога обусловлено необходимостью для генерации полной компенсации потерь в системе за счет параметрического вложения энергии. Наличие потолка связано с расстройкой парциальных частот при больших амплитудах накачки из-за нелинейной реактивности в системе. При жестком режиме возбуждения системы колебания возникают при наличии начального толчка, достаточного для перехода через нижнюю неустойчивую ветвь амплитудной характеристики (см. рис. 7.4). Из рис. 7.6 видно, что в жестком режиме параметрические коле- [c.264]

Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр. В приложениях матрица Н( ) системы (3) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача о параметрическом резонансе дли системы (3) состоит в определении тех значений параметров, при которых ее характеристическое уравнение (14) имеет корни (мультипликаторы) с модулями, большими единицы. Иными словами, эта задача состоит в нахождении тех значений параметров, при которых система (3) неустойчива. Ограничимся рассмотрением того частного случая, когда функция Гамильтона соответствующая системе (3), представляется в виде сходящегося ряда по степеням малого параметра е [c.550]

При = О система уравнений (3) имеет постоянные коэффициенты. Как установлено в п. 242, при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения (5) с отличной от нуля вещественной частью система (3) неустойчива. В этом случае уравнение (14) при = О имеет хотя бы один корень, модуль которого больше единицы. Ввиду непрерывности мультипликаторов относительно е характеристическое уравнение (14) при достаточно малых е также имеет корень, модуль которого превосходит единицу, и, следовательно, система (3) при достаточно малых неустойчива. Как видим, в этом случае задача о параметрическом резонансе проста и неинтересна. [c.551]

ТО говорят, что имеет место простой резонанс. Параметрический резонанс, для которого в (31) к ф называется комбинационным. Покажем, что при условии (31) для сколь угодно малых значений е может существовать область неустойчивости, и найдем ее границы с точностью до первой степени е включительно. Будем предполагать, что п = 2 и что при 6 = 0 выполняется одно из резонансных соотношений (31). [c.553]

Ясно, что в первом приближении по е и а — ао задача об устойчивости по отношению к переменным yj j = 1, 2, 3, 4) в исходной системе с функцией Гамильтона (29) эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменным R2 в системе (51). Покажем, что в первом приближении по е область параметрического резонанса (область неустойчивости) задается неравенствами [c.558]

Случай простого параметрического резонанса, например 2ai = TV, рассматривается аналогично. Область неустойчивости задается неравенствами [c.558]

Используя общие формулы для областей параметрического резонанса, полученные в предыдущем пункте, найдем в первом приближении по е области неустойчивости, отвечающие резонансу [c.559]

Анализ уравнения (17.332) позволяет найти области комбинаций значений параметров, в которых тривиальное решение <7 = 0 неустойчиво. Иными словами, этот анализ позволяет найти ситуации, в которых сколь угодно малые возмущенные состояния равновесия вызывают процесс нарастания колебаний, называемый параметрическим резонансом. [c.236]

Рис. 18.116. График зависимости амплитуды колебаний при главном параметрическом резонансе от частоты а) в случае нелинейной упругости (штриховой линии соответствует неустойчивость) 6) в случае нелинейного затухания в) в случае нелинейной инерционности (штриховой линии соответствует неустойчивость).

Другим примером динамической неустойчивости является параметрический резонанс, возникающий вследствие воздействия на систему периодически изменяющейся силы. При этом параметрический резонанс наступает при амплитудных значениях внещней силы, меньших чем статическая критическая сила для той же системы. Этот тип потери устойчивости рассмотрен в 18.6. [c.469]

Раскачка условного осциллятора является необходимым, хотя и недостаточным условием динамической неустойчивости исходной системы. С другой стороны, можно утверждать, что условие ограниченности экспоненциального множителя в выражении (4.47) является достаточным (но не необходимым) для обеспечения динамической устойчивости системы и подавления параметрических резонансов. Сформулируем это условие в следующем виде [c.152]

Во-первых, резонанс силового происхождения представляет собой вынужденные колебания устойчивой системы, которые, в частности, могут иметь место и при нулевых начальных условиях. Параметрический резонанс — это проявление неустойчивости равновесного состояния, в силу чего система при нулевых начальных условиях остается в положении равновесия и только неизбежные начальные возмущения приводят к раскачке. Так, для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, при параметрическом резонансе общее решение без учета диссипации имеет вид [c.245]

В-третьих, параметрический резонанс имеет место не только при некоторых дискретных значениях критических частот, но охватывает целую область неустойчивых состояний в окрестности этих частот. [c.246]

Параметрическая генерация звука в резонаторах. Из приведенных только что оценок вццно, что в звуковом и ультразвуковом диапазонах частот получить большое усиление для бегущей волны трудно - величина нелинейности (по крайней мере, если не использовать аномальные среды) относительно мала. Однако коэффициент усиления обычно гораздо больше, чем декремент затухания, и это позволяет использовать многократное взаимодействие волн, возникающее в ограниченных системах типа резонаторов с отражающими концами, причем, как уже говорилось в гл. 2, отражение обеих волн должно происходить синхронно. В подобных системах возможно не только усиление, но (благодаря обратной связи) и неустойчивость — параметрическая генерация звука. [c.159]

Параметрический резоиаыс — это возрастающие колебания около неустойчивого положения равновесия. Он возникает не при одном, а при бесчисленном мно кестве значений частоты возбун дения в результате появления неизбежных начальных возмущений (при нулевых пачаль- [c.251]

Рассмотрим область неустойчивости, связанную с параметром а, равным единице. Если в уравнении (7.221) положить О2=0, то получим уравнение свободных колебаний (без сил сопротивления) с частотой р1 =а. После перехода к времени п [соотношение (7.223)] получаем а=4р1 /(о2. Параметр а равен единице при ы=2р1, т. е. при частоте изменения параметра ш, равной удвоенной частоте свободных колебаний системы. Область неустойчивости на диаграмме Айнса — Стретта, соответствующая а=1, называется областью главного параметрического резонанса. Области, связанные с точкой а=4, соответствуют условию а)=р1. Из рассмотрения полученных областей неустойчивости (диаграмма Айнса — Стретта) следует одна из основных особенностей параметрических колебаний, из-за которой эти колебания представляют большую опасность в технике. Неустойчивые колебания (параметрические резонансы) возможны не для одной фиксированной частоты (О, как, например, при обычных резонансах, а для интервала значений со. [c.223]

Результаты их расчетов в виде графиков показаны на рис. 4.3. Из них видно, что при наличии потерь в системе вершины областей параметрической неустойчивости поднимаются они лежат на прямой, которая составляет угол 9 = ar tg2o с осью абсцисс. Заштрихованные области соответствуют нарастающему процессу с частотой (u = пр 2 щ ( =1, 2, 3,. ..). Вне этих областей в случае консервативной системы получается сложный незату- [c.133]

Если считать, что нам задана частота воздействия р = 2(о, и принять, что в изучаемом случае регулируемой величиной является о)д —собственная частота системы (для малых амплитуд), то полученные нами соотношения будут изображаться графически в координатах (Оо и Л так, как показано на рис. 4.7. Изображенные на нем области параметрического возбуждения для у>0 (кривые параметрического резонанса) для исследованного частотного соотношения, соответствующего первой области неустойчивости линейного уравнения Матьё, переходят при у->0 в соответствующую область, изображенную на рис. 4.4. Здесь, как и в случае резонанса при си.ловом воздействии, получается деформация резонансной кривой для линейной консервативной системы и ее наклон в сторону больших или меньших частот в зависимости от знака нелинейной поправки, т. е. в зависимости от типа неизохронной системы. [c.139]

Когда ограничение амплитуды осуществляется за счет нелинейного сопротивления при постоянных средних значениях реактивных параметров, форма кривых параметрического резонанса имеет вид, показанный на рис. 4.2]. Здесь характерна симметрия кривой параметрического резонанса и отсутствие неустойчивых ветвей и скачкообразных изменений амплитуды при монотонном изменении расстройки. По-прежнему в качестве оспопного признака параметрического резонанса остается существование конечного инзервала [c.162]

Итак, получено условие параметрического возбуждения системы. Нетрудно заметить, что состояние покоя неустойчиво именно в пределах области существования отличной от нуля а, плитуды параметрических колебаний. Вне данной облас1п, т. е. при с У> -4А-, существует устойчивое стацпопарно- сосгоянпе покоя = - так как при этом условии Не/.- л). [c.171]

При движении в обратном нанравле.чнп - из облисти положительных расстроек (со > ш,,) — параметрические кллесбания можно возбудить при значениях, больших В, возбуждение может быть только жестким. Если системе, находящейся правее точки В[, сообщить толчок, больший амплитуды колебаний в нижнем (неустойчивом) стационаргюм состоянии, то колебания в систе е раскачаются до значения со- [c.171]

Анализ устойчивости показывает, что верхние кривые параметрического резонанса, как и прежде, устшйчивы, нижние —неустойчивы. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...