Приближенные методы решения нелинейных уравнений

Приближенные методы решения нелинейных уравнений 70—75, 113—121 [c.297]

Метод последовательных приближений при решении нелинейных уравнений равновесия. Для пространственно-криволинейного стержня имеем систему пяти нелинейных уравнений [уравнения (1.57)-(1.61)1 [c.88]

Дельта-метод решения нелинейных уравнений движения механизма. Характеристики сил, действующих на звенья механизма, как правило, известны лишь приближенно и часто задаются в графическом виде. Поэтому наряду с численными методами интегрирования уравнений движения механизма применяются также графические и графоаналитические. [c.89]

Как следует из приведенных примеров, в прикладных исследованиях разработка приближенных методов решения нелинейных задач статистической динамики шла в основном по пути преобразования исходных уравнений с целью приведения их к линейному или квазилинейному виду. Между тем, основная проблема заключается в изучении характера распределений неизвестных функций, в определении хотя бы приближенного вида плотностей вероятности и соответствующих соотношений для старших моментных функций. Эти вопросы для определенного класса задач решаются при помощи приближенных методов, осно- [c.37]

Предлагается метод решения нелинейного уравнения для потенциала скоростей при построении плоскопараллельных нестационарных течений, возникающих при возмущении покоящегося политропного газа с помощью криволинейных поршней. Построена приближенная теория распространения слабых ударных волн по однородному неподвижному газу [c.298]

Выше бьши изложены два метода решения нелинейных уравнений первого и второго порядка метод статистической линеаризации и метод, использующий марковские процессы. Первый метод является приближенным, поэтому, как уже известно, оценить точность и достоверность получаемых этим методом результатов нельзя. Чтобы обезопасить себя от грубых результатов, сделаем оговорку, что метод статистической линеаризации дает приемлемые результаты при малых нелинейностях, например, при малом ц, входящем в уравнение (5.194). Но установить интервал изменения ц, на котором его можно считать малым и какая будет для этого интервала изменения 1 и погрешность решения, нельзя. [c.230]

Метод последовательных приближений. Для решения нелинейных уравнений установившейся ползучести используются различные варианты метода последовательных приближений. Эти методы, благодаря отмеченной выше упругой аналогии, совпадают с методами последовательных приближений, применяемыми в теории упруго-пластических деформаций (см. гл. 3). Представим уравнения установившейся ползучести (26) в форме [c.103]

Процедура перехода от однорядного к двухрядному шву (в оговоренном выше случае неприемлемости) состоит в определении требуемого расстояния h, на которое нужно сдвинуть половину заклепок внутрь листа. Для этого по имеющимся уже данным для однорядного шва вычисляется величина d/t, и из уравнения (9.95) определяется требуемое значение h/t (любым известным методом решения нелинейных уравнений). После этого по известному шагу t и величине h/t определяется размер h. Для приближенной, но быстрой оценки размеров двухрядного шва, полагая в уравнении (9.95) d/t- 0, можно получить [c.309]

В общем случае уравнение движения механизма не решается точно в виде конечной функции. Обычно применяют приближенные либо численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, а уравнениям движения механизма придают вид, наиболее удобный для исследования в данных конкретных условиях характеристик нагружения. [c.284]

Во второй главе изложены методы численного решения уравнений равновесия (нелинейных и линейных). Для решения нелинейных уравнений равновесия рассматривается приближенный метод последовательного нагружения, когда на каждом шаге нагружения решаются линейные уравнения. [c.61]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Многие задачи механики стерл<ней, с которыми приходится сталкиваться инженеру-расчетчику, не поддаются точному решению. К таким задачам, например, относятся задачи статики и динамики стержней с переменным сечением и нелинейные задачи. Для решения подобных задач приходится использовать приближенные методы, как численные, так и аналитические. Часто оказывается, что полученные точные решения из-за чрезвычайной сложности записи являются практически бесполезными для математической и физической интерпретации или численных расчетов, т. е. приходится для получения нужной информации все равно прибегать к упрощениям или к аппроксимациям полученных решений. Среди приближенных методов решения уравнений равновесия наибольшее распространение получили методы, использующие вариационные принципы механики. [c.128]

Трудности связанные с необходимостью решения нелинейных уравнений газодинамики совместно с релаксационными уравнениями и уравнениями химической кинетики, привели к тому, что, как правило, теоретические исследования проводятся приближенными или численными методами. [c.116]

Конструкции ИС определяются их технологией, а их расчет ввиду нелинейности имеет специфику, выражающуюся в необходимости применения нелинейных моделей и компонентов, применяющихся главным образом при расчете статического режима. Здесь решается система нелинейных алгебраических уравнений с применением методов итерации, т. е. последовательных приближений, что лежит в основе численного метода решения этих уравнений. При расчете переходных процессов решаются нелинейные дифференциальные уравнения. [c.132]

Статическую характеристику асинхронного двигателя в форме (3.7) не рекомендуется использовать при динамических расчетах машинных агрегатов (особенно малоинерционных), поскольку при этом не учитывается существенное влияние электромагнитных переходных процессов. Если даже пренебречь последним, то применение характеристики в форме (3.7) не может быть оправдано из-за возникающих математических сложностей отыскания решения нелинейных уравнений движения. В практических расчетах часто используют приближенные методы, основанные на линеаризации статической характеристики, однако достоверность получаемых результатов требует серьезного обоснования. [c.22]

Приведенная выше система одномерных стационарных уравнений движения жидкости или газа является нелинейной и ее решение в общем случае получить не удается. Однако существуют приближенные методы решения некоторые из этих методов и будут рассмотрены в дальнейшем. [c.41]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

Применение точных методов, связанных с интегрированием уравнения Эйлера, ограничивается следующими соображениями. 1) Интегрирование в замкнутом виде нелинейного дифференциального уравнения, которым в общем случае является дифференциальное уравнение Эйлера, часто представляет большие сложности. Кроме того, определение постоянных интегрирования из граничных условий также представляет трудности, так как постоянные интегрирования часто входят в решение нелинейным образом. 2) В тех случаях, когда по условиям работы механизм должен удовлетворять граничным условиям, превышающим число постоянных интегрирования уравнения Эйлера, применение точных методов невозможно. В этих случаях приходится применять приближенные методы решения поставленной задачи оптимизации. [c.20]

Метод итераций, или метод последовательных приближений, состоит в выполнении рекуррентной последовательности приближений, каждое из которых вычисляется по результатам предыдущего. Идея метода предельно проста. Если, например, необходимо найти решение нелинейного уравнения стационарной теплопроводности [c.69]

Далее излагаются некоторые методы решения нелинейных задач в применении к задачам стационарной теплопроводности, которые распространяются затем на другие нелинейные задачи. Общим для этих методов является сочетание метода подстановок, позволяющего линеаризовать нелинейное уравнение теплопроводности, с другими аналитическими и численными методами, такими, как метод итераций (метод последовательных приближений), метод конечных разностей (метод сеток), метод прямых, реализация которых может быть осуществлена как на цифровых, так и на аналоговых (а значит, и гибридных) вычислительных системах. [c.74]

В настоящее время известно более десятка различных приемов приближенного решения нелинейного уравнения теплопроводности, причем некоторые из них оказались пригодными для обоснования теплофизических измерений в монотонном режиме. В данной книге закономерности монотонного режима исследованы одним из вариантов метода последовательных приближений, позволившего решить широкий круг задач и придать поправкам на нелинейность наглядную, удобную для количественных оценок структуру. [c.4]

При приближенном решении нелинейных уравнений методом гармонической линеаризации используется лишь первая гармоника разложения функции в ряды Фурье [39,70]. [c.468]

Точных методов решения уравнения (1.73) не существует. Одним из наиболее распространенных приближенных методов решения систем нелинейных уравнений является метод Ньютона [10,36]. Согласно этому методу корни уравнения (1.73) находятся с помощью итерационного процесса [c.35]

В этом пункте описан асимптотический метод нелинейной механики в том виде, в котором он разработан в основном в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [11, 12, 32]. Этот метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр е. Эффективнее всего применение асимптотического метода для построения приближенных решений нелинейных уравнений, которые при 8=0 вырождаются в линейные, описывающие гармонический колебательный процесс. [c.65]

Аналогично получают частные решения неоднородных уравнений первого и последующих приближений. Изложенный алгоритм численного решения линейных уравнений с последующим уточнением может быть использован и при решении нелинейных уравнений равновесия (метод последовательного нагружения). [c.53]

Воспользуемся изложенным методом для приближенного решения нелинейного уравнения с полигармонической вынуждающей силой [c.93]

Строятся решения двумерных нестационарных автомодельных задач о неограниченном безударном сжатии и разлете в вакуум идеального газа, покоящегося в начальный момент времени внутри призм и конусообразных тел при постоянных плотности и давлении. Поля течений строятся частично при помощи классов точных решений нелинейного уравнения для потенциала скоростей, а частично путем численных расчетов, в частности, методом характеристик. Исследуются особенности постановок краевых задач для конических нестационарных течений. Строятся аналитически приближенные законы управления движением сжимающих поршней. Найдены степени кумуляции энергии, плотности и показано, что описанные неодномерные процессы сжатия энергетически выгоднее, чем процесс сферического сжатия для получения локальных сверхвысоких плотностей вещества. Для задач об истечении в вакуум из конуса строятся фронты истечения с точками излома. [c.437]

В [134] решение задачи об изнашивании тонкой полосы связанной с упругой полуплоскостью при растущей области контакта строилось с помощью метода последовательных приближений. Данный метод использовался как для решения линейного уравнения с целью определения контактного давления, так и для решения нелинейного уравнения относительно скорости роста области контакта. [c.402]

Еще сравнительно недавно считалось, что при детерминированных нагрузках решение нелинейных уравнений является детерминированным, а при случайных нагрузках — случайным. Исследования в области нелинейной динамики, которые проводились в последние годы с использованием вычислительной техники, позволили установить новые физические явления, казавшиеся ранее просто невозможными в рамках традиционной механики. Было установлено, что в детерминированной нелинейной системе возможны хаотические (непредсказуемые) движения, т.е. нелинейные системы без внешних случайных воздействий могут сами являться генераторами случайных процессов. Причем приближенные численные методы решения, [c.217]

Метод марковских процессов позволяет (теоретически) получать точные законы распределения компонент вектора состояния нелинейной динамической системы любой размерности и точные значения вероятностных характеристик компонент вектора состояния в любой момент времени. На практике, к сожалению, это далеко не так. Получить точное решение уравнения Колмогорова, особенно когда надо учитывать реальные случайные возмущения (а не белый шум), для реальной нелинейной механической системы с несколькими степенями свободы практически невозможно. Поэтому опять остаются только приближенные методы решения уравнения Колмогорова, требующие введения в алгоритм решения упрощений и предположений, что приводит, как и в методе статистической линеаризации, к несоответствию приближенного и точного решения. Оценить это несоответствие нельзя, так как нет точного решения. Свободным от этих недостатков является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Метод основан на численном решении исходных нелинейных уравнений без их упрощения. [c.231]

Решение нелинейного уравнения (7.17) будет найдено численно методом последовательных приближений с использованием модифицированного метода Ньютона [104]. Алгоритм этого метода позволяет одновременно находить контактные напряжения и область контакта, когда известно перемещение штампа 5. Дискретизация уравнения осуществлялась с учетом симметрии области контакта, а узлы дискретизации в области S выбирались равномерно по осям координат. [c.251]

Здесь в уравнениях (3.153) пренебрегается повреждением до выдержки, а добавочное напряжение определяется на основе формулы (3.149). Решение нелинейных уравнений (3.153) может быть осуществлено любым итерационным методом. В качестве начального приближения можно принять [c.113]

Продолжая этот процесс, можно последовательно выделять уравнения все более и более высокого порядка. Как видно из выписанных уравнений, уравнения п-го приближения линейны относительно и р("> и содержат в правой части только величины меньшего порядка малости, определяемые из уравнений предыдущих приближений. Таким образом, метод малого параметра позволяет свести решения нелинейных уравнений, вообгце говоря, к бесконечной системе линейных уравнений. Отметим, что все эти уравнения — волновые уравнения с правой частью. Например, (2.14) после преобразования можно представить в виде [c.59]

Решения, полученные с помощью этих точных численных методов, очень важны по двум причинам. Во-первых, при сравнении с экспериментальными данными они могут показать точность модельных кинетических уравнений для соответствующих эксперименту ситуаций и, во-вторых, их можно использовать для выяснения точности приближенных методов решения. До сих пор использовались только БГК-модель и эллипсоидальная статистическая модель. В нелинейном случае были решены следующие задачи [c.223]

Весьма эффективным для исследования нелинейных механических систем является метод статистической линеаризации И. Е. Казакова [39, 40] и Р. Бутона [145—146]. Этот метод относится к приближенным методам исследования нелинейных динамических систем и основан на линеаризации исходных уравнений рассматриваемой системы, позволяющей использовать затем в линейном приближении корреляционную теорию. Метод статистической линеаризации дает очень хорошее совпадение с точными решениями тех задач, для которых они возможны (если нелинейность системы не очень велика). [c.36]

Рассмотренные модификации могут существовать и как самостоятельные методы, и как вспомогательное средство получения приближения для метода Ньютона — Канторовича. Так, в работе (38J предложен итерационный метод, который представляет собой метод последовательных нагружений с учетом нагрузочной невязки с автоматическим выбором значения шага, а затем переходит в сходящийся процесс Ньютона — Канторовича. Такая вычислительная схема очень привлекательна, хотя йолучени регулирующего параметра трудно в реализации Приближения по итерациям, которые приводились выше при описании методов решения нелинейных уравнений, не могут служить объективными характеристиками, так как количество вычислений на одной итерации для различных методов различно. Так, если в методе упругих решений на каждой итерации необходимо только вычислить дополнительные нагрузки (/—Аии+in), а для получения А использовать уже обращенную матрицу, соответствующую оператору До, то в методе переменных параметров, наоборот, на каждой итерации необходимо составлять и решать систему линейных уравнений, оставляя правую часть без изменений. В методе Ньютона на каждой итерации надо делать и то и другое, т. е. составлять и решать систему линейных уравнений, а также изменять правые части. [c.85]

Одним из приближенных методов решения нелинейно-оптических задач является безаберрационное приближение и его модификации [28] Для симметричного случая безаберрационное приближение определяет класс решений нелинейного уравнения квазиоптики, называемых автомодельными решениями. Применение вариационного метода [32], в котором параметры пучка выбираются так, чтобы минимизировать ошибку аппроксимации пучка гауссовой формой, позволяет более корректно, чем в безаберраци-онном приближении, описывать изменение усредненной интенсивности в пучке, дает правильное значение критической мощности нелинейных эффектов. [c.12]

А. С, Вольмира и И. Г. Кильдибекова (1964, 1965) эволюция упругих систем с конечным числом степеней свободы трактовалась как марковский процесс в фазовом пространстве. Основное содержание этих работ составляет приближенная оценка вероятности хлопка (первого выхода за пределы сепаратрисы или первого пересечения энергетического барьера для простейшей модели оболочки — нелинейной системы с одной степенью свободы). Эта задача изучалась также Б, П. Макаровым (1965) методом электронного моделирования. Переход к системам с несколькими степенями свободы связан, однако, с большими трудностями. В, В, Болотин и Б, П, Макаров (1965) предложили оценивать устойчивость равновесия по среднему времени пребывания системы в некоторой окрестности равновесия и разработали приближенный метод решения дифференциального уравнения Л, С, Понтрягина, Дальнейшие результаты даны в работе Б, П Макарова (1965), [c.359]

Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например lgл или е , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В итерационных методах задается процедура зешения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Лолученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному. Итерационные методы наиболее удобны для реализации на ЭВМ и поэтому подробно рассматриваются в этой главе. В каждом из излагаемых методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней (нулей) уравнения / (л ) = 0. Хотя подобные уравнения также могут иметь комплексные корни, способы их отыскания обычно рассматриваются только для алгебраических уравнений. [c.18]

Метод Галеркина. Приближенное решение нелинейного уравнения, получаемое по методу гармонического баланса, будет близко к точному только при условии, что форма предполагае-мого решения выбрана удачно, т. е. движение близко к гар-моническрму. Большие возможности для выбора формы пред-полагаемого решения уравнений (10.4) предоставляв метод Галеркина, согласно которому искомое приближенное решение можно выбирать из семейства фу гки ИЙ, зависящих от I независимых параметров [c.192]

Для многих механизмов в рабочем режиме движения начальных звеньев могут быть близкими к стационарным, т. е. не зависящими от времени. Эти движения могут, в частности, рассматриваться как гармонические с медленно меняющимися параметрами (амплитудами, фазами и т. п.). Тогда для огыскач ния приближенных решений нелинейных уравнений движения И исследования их устойчивости применим метод медленно меняющихся параметров или метод Ван-дер-Поля, основанный па усреднении медленно меняющихся параметров за каждый цикл движения. [c.199]

Решение уравнения (10-4-1) при соответствующих краевых условиях связано с еще большими трудностями, чем решение задач, в которых коэффициенты зависят от координат, поэтому здесь широко используются различные приближенные методы. Весьма полный обзор состояния проблемы решения нелинейных уравнений переноса дали Н. Фридман [Л. 11] и Дж. Кранк [Л. 12], к работам которых мы отсылаем интересующихся читателей. [c.478]

Отметим также, что А. С. Рабиновичем ) был разработан итерационный метод решения интегрального уравнения (5.1). И. Г. Горячевой > уравнение (5.1) было сведено к нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, для численного решения которого был использован метод последовательных приближений. В. М. Александров и И. И. Ку-диш ) провели асимптотический анализ уравнения (5.1) и получили расчетные формулы для различных значений безразмерных параметр ров а и [c.191]

Отметим также раннее использование идеи продолжения решения по параметру нагрузки в статьях [200,201] для решения нелинейных алгебраических уравнений, порохщенных применением вариационных методов к нелинейным уравнениям теории оболочек. В [200] последовательнью нагружения сочетаются с экстраполяцией по параметру нагрузки, что является одной из возможных явных схем интегрщ)ования задачи Коши, по параметру. В работе [201] предлагается на каждом шаге получать решение методом последовательных приближений, что соответствует одной из возможных неявных схем интегрирования начальной задачи. Эти подходы обобщены в монографии [199]. [c.184]

Различные методы решения нелинейных з ч теории пологих оболочек. обсуждаются в работе [172] применительно к нелинейным алгебраическим уравнениям метода Ритца. Наряду с методом продолжения решения в форме Давиденко и с использованием явных схем для интегрирования задачи Коши по параметру (непрерывное продолжение), рассматривается также модифицированный процесс Лазя (дискретное продолжение), причем для получения начального приближения предлагается квадратичная экстраполяция [199]. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...