Линеаризация исходных уравнений

Выше была исследована эффективность демпфирования привода введением сопротивлений в пределах линейной теории, т. е. при линеаризации исходных уравнений. При этом можно упустить одно весьма важное обстоятельство. Из-за зависимости перепада давлений на сопротивлениях от скорости движения рабочего органа коэффициент усиления по скорости привода с увеличением скорости уменьшается. Исследование выражения для k , которое здесь не приводится из-за его сложности, показывает, [c.77]

Весьма эффективным для исследования нелинейных механических систем является метод статистической линеаризации И. Е. Казакова [39, 40] и Р. Бутона [145—146]. Этот метод относится к приближенным методам исследования нелинейных динамических систем и основан на линеаризации исходных уравнений рассматриваемой системы, позволяющей использовать затем в линейном приближении корреляционную теорию. Метод статистической линеаризации дает очень хорошее совпадение с точными решениями тех задач, для которых они возможны (если нелинейность системы не очень велика). [c.36]

Замена контактного давления его средним значением Q /(2а) в слагаемых, содержащих малую величину позволяет произвести линеаризацию исходных уравнений с нелинейным законом изнашивания (1) [12,42]. [c.446]

Уравнения пространственного деформирования вязко-пластических тел были рассмотрены А. Ю. Ишлинским [6], исходившим из условия пластичности Мизеса. Трудности, возникающие при использовании теорий, основанных на квадратичном условии пластичности, приводят исследователей к необходимости линеаризации исходных уравнений. [c.123]

Описанная процедура вывода уравнений (4) называется линеаризацией исходных уравнений (3.1), так как уравнения (4) являются линейными дифференциальными уравнениями относительно искомых и, р, р, S. Необходимо иметь в виду, что при рассмотрении краевых задач дополнительные условия также подвергаются аналогичной процедуре линеаризации. [c.124]

Наиболее общий прием линеаризации исходных уравнений основан на использовании метода Ньютона — Канторовича. Рассмотрим более подробно реализацию этого итерационного процесса (3.54) применительно к рассматриваемому классу задач. Предположим, что нам известно некоторое приближенное решение yf >(x). Тогда, очевидно, близкое к нему решение [c.112]

Линеаризация исходных уравнений [c.114]

Среди методов статистической оценки параметров моделей теплотехнических систем нашли применение алгоритмы, основанные на уравнениях линейного оптимального фильтра Калмана, имеющих рекуррентный вид и позволяющих значительно снизить порядок матриц, используемых при вычислениях. В работах [7, 38, 51] уравнения фильтра Калмана применены к нелинейной задаче совместного оценивания параметров и состояния путем линеаризации исходных уравнений в окрестности предшествующей оценки. В работе [20] рассматривается задача оценки с линейными по параметрам исходными уравнениями, когда известны точные значения вектора состояний. В такой постановке задача оценивания становится линейной и допускает непосредственное решение с ло-мощью уравнений фильтра Калмана [50], превращающихся по существу в рекуррентный метод наименьших квадратов. [c.200]

Поскольку в случае использования разложения в ряд линеаризация исходного уравнения могла привести к недопустимым погрешностям в расчете, не предпринималось каких-либо попыток преобразования в плоскости годографа, а также изменения формы зависимости давления от плотности и тем самым исходного уравнения. Таким образом, в предложенных методах нахождения решения путем разложения в ряд [6.16— 6.18] непосредственно использовалось уравнение (6.1). Во всех этих методах уравнение (6.1) приводилось к виду, удобному для интегрирования, путем разложения функции ф (М) в ряд [c.171]

После линеаризации исходной системы уравнений (4.7.2) получим [c.377]

В качестве начального приближения может быть принято любое приближенное решение, полученное путем линеаризации исходной нелинейной системы уравнений движения. В последующих главах приводятся конкретные рекомендации по выбору начального приближения в зависимости от конкретного вида характеристики нелинейного звена. [c.159]

В работе [53] приведено решение для случая, когда внешнее возмущение является суммой гармонической и случайной составляющих. В этом случае можно воспользоваться методами гармонической и статистической линеаризации исходных дифференциальных нелинейных уравнений движения системы. [c.173]

Учитывая введенное обозначение, выполним следующие преобразования. Функцию смещения Аг можно считать непрерывной и дифференцируемой. Разложим функцию Ат в ряд Тейлора в малой окрестности точки со средними значениями параметров. Опуская члены второго и более высокого порядка, т. е. проводя линеаризацию исходного нелинейного уравнения для Аг, получим [c.578]

Сложность теплотехнических объектов управления предопределяет необходимость упрощений, принимаемых на стадии выбора математической модели. Например, математическое описание динамики реальной системы с распределенными параметрами может производиться в форме обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Для расчета АСР достаточно располагать линейной моделью, которая получается в результате линеаризации исходного нелинейного уравнения. Методы построения математических моделей тепловых объектов на основе обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрены в [31, 38]. [c.466]

Для дальнейшего анализа нестационарных процессов удобнее иметь аналитическое решение. Однако получить аналитическое решение возможно лишь при определенных упрощениях. Последние должны быть столь минимальны, чтобы не искажать результаты решения. Для данного случая наиболее общепринятым методом минимальных упрощений является линеаризация исходной системы уравнений. Для линеаризованной системы приходится ограничивать область применимости полученных решений, о чем будет сказано в соответствующих мес- [c.81]

Собственно метод, использующий подстановки, не является самостоятельным методом решения нелинейных задач. Целью применения этого метода является такое преобразование исследуемой математической модели, которое позволило бы к полученному в результате преобразования новому уравнению применить один из известных и хорошо разработанных методов. Обычно применение подстановок приводит либо к полной линеаризации исходной математической модели, либо к ее упрощению. [c.68]

При экспериментальных исследованиях гидроприводов необходимо достаточно точно определять характеристики элементов гидросистемы. Это представляет известные трудности. Такие нелинейные характеристики, как зависимость сил трения от скорости, зависимость от давления коэффициента податливости магистралей и модуля объемной упругости рабочей жидкости, содержащей не-растворенные газовые включения, нестабильны и могут быть определены в каждом конкретном случае по экспериментальным кривым переходных процессов расчетами, методика которых приведена в гл. III. Эти расчеты, выполненные по осциллограммам, полученным на различных стадиях работы исследуемой гидросистемы (пуск холодной системы режим разогрева начальная стадия режима установившейся температуры и т. д.), могут дать картину эволюции нелинейных характеристик гидропривода в зависимости от режима работы, выявить их стабильность и диапазон изменений параметров. Знание истинных характеристик гидросистемы необходимо и для оценки влияния различных упрощений и линеаризаций исходных дифференциальных уравнений движения на точность расчетов. [c.139]

Другой приближенный способ решения — метод статистической линеаризации — является обобщением на стохастические нелинейные задачи метода гармонической линеаризации, применяемого в детерминистической теории колебаний. Нелинейные функции в исходном уравнении заменяются линейными выражениями f и) ku, которые в некотором смысле дают наилучшее приближение. В качестве критериев обычно используют условия равенства дисперсий (f) = k (м ) или минимума среднего квадратического отклонения линейной функции [c.80]

Изложенные в п. 13 методы исследования случайных процессов в нелинейных системах являются приближенными, поэтому нуждаются в оценке точности полученных результатов. Пример 1 в п. 13 был решен приближенными методами, и результаты решения сравнивались с точным решением, полученным с использованием Марковских процессов, что дало возможность оценить точность приближенных решений. Такая возможность оценки точности приближенного решения нелинейных задач имеется очень редко, поэтому всегда при получении приближенных решений, использующих методы упрощения исходных уравнений (статистическая линеаризация, разложение в ряды и т. д.), остается сомнение в эквивалентности решения реальному процессу. О недостатках методов статистической линеаризации и мо-ментных функций говорилось в п. 12. Рассмотрим трудности, возникающие при исследовании нелинейных статистических задач на следующем примере. [c.97]

Линеаризация. Исходная система дифференциальных уравнений (35.2) может быть, следуя М. Леви, линеаризована. Прежде всего отметим, что за неизвестные функции удобно взять параметры I, Y]. Внося в (34.2) [c.143]

Эти выражения следует подставить в исходные уравнения. Тогда, если провести линеаризацию полученных уравнений и оставить только члены первого порядка относительно р, р, Т, ср и г 1, то уравнения для возмущенных величин будут (прп этом считаем, что V20 = г зо = О, vio = Мс) [c.474]

Как в этом, так и в предыдуш их двух параграфах мы наметили основные пути того, как строится теория термических автоколебаний. Мы обраш али внимание на то, что эта теория основана на линеаризации уравнений гидродинамики и условий сохранения массы, энергии и импульса на теплоподводе как сами исходные уравнения для возмущений, так и граничные условия на теплоподводе при го- [c.492]

После линеаризации исходное нелинейное дифференциальное уравнение принимает вид [c.110]

Согласно данным 27 для камер с ламинарными дросселями, характеристики которых линейны, изменение давления в камере на переходных режимах описывается линейными дифференциальными уравнениями. При этом, естественно, не возникает вопроса о линеаризации исходных характеристик. Расходные же характеристики турбулентных дросселей, используемые при исследовании динамики камер с этими дросселями, нелинейны. Соответственно изменение давления в таких камерах на неустановившихся режимах работы описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. При малых отклонениях от исходного статического режима можно, как это было сделано в 28 и 30, рассматривать вместо нелинейных характеристик дросселей участки касательных, проведенных к ним в точках, отвечающих исходному статическому режиму при этом для проточных камер получаются линейные дифференциальные уравнения. Необходимость в использовании линеаризованных дифференциальных уравнений возникает в случаях, когда исследуется в линейном приближении динамика системы управления [c.305]

Как уже было отмечено в 26, в первую очередь следует выяснить граничные условия, при которых изменяется режим истечения (докритический переходит в надкритический или наоборот), или же меняется направление течения в одном из дросселей. Затем проанализируем погрешности, связанные с линеаризацией исходных характеристик, при отклонениях от исходного статического режима, не выходящих за пределы указанных выше граничных их значений. В этой части можно обойтись, как показывается далее, без решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих истинный процесс изменения давления в камерах. Достаточно разрешить исходные дифференциальные уравнения относительно производных и сравнить определяемые значениями производных наклоны касательных к характеристикам истинного процесса и переходного процесса в линейной модели системы при заданных, одинаковых в обоих случаях отклонениях. [c.306]

Алгебраизованная форма — результат представления дифференциальных уравнений в полученных после дискретизации точках в алгебраизованном виде с помощью форМул численного интегрирования. Ряд численных методов решения основан на линеаризации исходных уравнений. [c.168]

Наиболее очевидный путь заключается в линеаризации исходных уравнений, которая в настоящее время идет по двум направлениям. Первое является физической линеаризацией, лежащей в основе обобщенного закона Гука, что приводит к физически линейным и геометрически нелинейным задачам, подробно рассмотренным в монографии В. В. Новожилова 103]. Второе направление заключается в геометрической линеаризации, обоснование которой дано в книге Г. Каудерера [43] (см. также [198]). [c.11]

Исследуем влияние инерционности и степени демпфиро-ванности клапана на отклонения давления в переходных процессах от установленного на клапане давления. Для этого проведем линеаризацию исходных уравнений движения следящего гидромеханизма. [c.115]

Линеаризация исходных уравнений пластичности. Уравнения (XIII.18) однородные нелинейные уравнения относительно искомых функций Т]. [c.283]

Тонкостенные конструкции типа пластин и оболочек широко применяют в современной технике — авиаци и, судостроении, строительстве. Задачи статистической динамики таких конструкций связаны с проблемой устойчивости равновесных форм и закритического деформирования. Исследование случайных колебаний оболочек в закритической стадии ь<ожет быть выполнено, например, путем линеаризации исходных уравнений движения в окрестности прощелкнутого состояния. При этом динамическое поведение конструкций существенно зависит от статистических характеристик закритических деформаций. [c.197]

При анализе выяснилось, что вблизи нейтрдльной оси напряжение мецяет знак. Это является следствием того, что уравнение (4.3) при малых а непригодно (правая часть должна быть вида где д > 1 + а, как это показал С. А. Шестериков). Для устранения отмеченной особенности в уравнение задачи было внесено некоторое исправление. Прием линеаризации исходного уравнения позволил построить решение в рядах и исследовать их сходимость. [c.139]

Рассмотрим влияние дополнительных диссипативных членов на поведение малых возмущений. Произведем линеаризацию исходных уравнений, записанных в переменных щ в виде (1.45) или в переменных qk в виде (1.46), на однородном фоне = onst или = onst соответственно. Покажем, что возмущения затухают, если их наличие приводит к отличному от нуля производству энтропии. При этом удобнее пользоваться переменными qk. Для малых возмущений [c.81]

Подставив в исходные уравнения (6) для преобразующих матриц правые части уравнений (13) и (14), проведя линеаризацию по отношению к первичным и вторичным ошибкам, заменив 192 [c.192]

Весьма эффективными для исследования нелинейных механических систем являются методы статистической линеаризации И. Е. Казакова и асимптотический метод. Метод И. Е. Казакова основан на линеаризации исходных дифференциа[льных уравнений движения рассматриваемой системы, позволяющей использовать затем в линейном приближении корреляционную теорию. [c.165]

При рассмотрении аналогичных задач ряд авторов делают линеаризацию исходных дифференциальных уравнений. Сущность линеа-. ризации состоит в том, что в уравнении (1) после замены переменного Ф или же в нелинейных членах его делают не совсем обоснованную подстановку ф = (ut, где (о — средняя угловая скорость. Таким путем из уравнения (1) получается линейное дифференциальное уравнение с периодическими или постоянными коэффициентами. [c.68]

О. Виденбург предлагает для линеаризации исходного нелинейного уравнения переноса (10-4-6) положить в слагаемое уравнения, которое содержит а, такое значение П Отенциала, которое соответствовало бы выражению этого потенциала при а=0, т. е. решению (10-4-7). Путем такой замены вместо нелинейного уравнения (10-4-6) получаем линей- [c.480]

Во всех случаях следует иметь в виду, что графо-аналитические расчеты требуют затраты времени 2,5—3,5 ч на один переходный процесс по уравнениям второго или третьего порядка. Поэтому при значительном объеме расчетов, когда требуется проанализировать качество динамических процессов в широком диапазоне изменения параметров, следует использовать электронные вычислительные установки. Но и в этом случае графо-аналитическне расчеты полезны для определения интервалов изменения переменных величин, подготовки программы для вычислительной установки, оценки погрешностей, вносимых линеаризацией исходных нелинейных дис х зеренциальных уравнений движения. Графо-аналити-ческими расчетами могут контролироваться правильность настройки электронных моделирующих установок. [c.140]

Аналитические методы определения характеристик объектов регулирования основаны на составлении их дифференциальных уравнений. Составление дифференциальных уравнений базируется на использовании основных физических законов сохранении массы, энергии и количества движения. Как правило, таким путем удается получить нелинейное уравнение объекта, аналитическое решение которого в общем случае не может быть получено. Следующим шагом является линеаризация полученного уравнения, т. е. переход к линейной математической модели объекта. Линеаризация обычно проводится путем разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности исходного станционарного режима с сохранением только линейной части разложения и последующим вычитанием уравнений статики. Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива лишь при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнений при ступенчатом или импульсном изменении входных величин позволяет получить соответственно переходные функции (кривые разгона) или импульсные временные характеристики объектов. Решение часто проводят в области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получают соответственно передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики. [c.817]

Итак, для построения приближенного решения нелинейной задачи по методу статистической линеаризации было введено два упрощающих предположения — существование линейного эквивалента исходного уравнения и гипотеза квазигауссовости. Нетрудно показать, что первое из этих допущений является лишним, т. е. для получения гауссовского или квазигауссовского решения нет необходимости приводить исходное уравнение к линейному виду. [c.35]

Устойчивость этого равновесного состояния исследовал Лай-кинс [9] в более общем случае, когда og Ф 0. Его исследование основано на линеаризации нелинейных уравнений движения по отношению к указанному равновесному состоянию после этого исследование устойчивости выполнялось путем применения критерия Рауса—Гурвица к полученным линеаризованным уравнениям. Ясно, что этот прием имеет очень ограниченное значение, так как из него не вытекает, будет ли требуемое равновесное состояние устойчивым в большом. Для подтверждения устойчивости в большом нужно затем показать на основании исходной системы нелинейных уравнений, что у аппарата нет положений захвата. [c.31]

Рассмотрим этот метод. Следуя методу изображающих амплитудных кривых, первоначально производится гармоническая линеаризация исходных нелинейных дифференциальных уравнений в обычном порядке с целью получения эквивалентной линеаризованной системы. Сохраняя, обозначения, принятые К. Магнусом в его работе, в результате гармонической линеаризации уравнения x. = F(x -и считая х = /4 51пш/, после разложения в ряд Фурье получим [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...