Приближенное решение задач колебания

Более подробно на приближенном решении задач колебания мы останавливаться не будем, предоставляя читателю самостоятельно рассмотреть эти задачи. [c.528]

Сравнивая приближенное решение задачи о колебаниях маятника ( 107) методом переменной амплитуды с решением этой задачи методом усреднения, приходим к заключению, что эти методы имеют сходство, но метод усреднения более совершенен, так как он не требует дополнительных предположений, сделанных при получении уравнения (11.244). В частности, оказалось, что члены с коэффициентами Аг не влияют на первое приближение, причем никаких ограничений на Аг налагать не следует. [c.294]

Векторы Zol и Zo2 удовлетворяют всем краевым условиям задачи и могут быть использованы для приближенных решений уравнений колебаний (например, вынужденных, параметрических, случайных) с использованием принципа возможных перемещений. Эти задачи рассмотрены в последующих разделах, посвященных прикладным задачам динамики стержней. Из уравнения (4.118) получаем выражения для производных векторов го1 и /оз [c.106]

Приближенное решение задачи о нелинейных колебаниях маятника получается теперь из формул (57), (60), (62), выражающих исходные величины ср, рср через новые переменные, в которых записано решение (63). [c.405]

Сущность приближенного решения задачи о колебаниях многомассовой нелинейной системы заключается в том, что колебательное движение нелинейной системы считается гармоническим [c.195]

Принимая во внимание малость амплитуд колебаний, для первого приближения решения задачи, соответствующего ее линейной постановке, можно допустить, что d (T)ldt есть величина второго порядка малости и что ею можно пренебречь. В таком случае дифференциальное уравнение колебаний тела получит вид [c.250]

Приближенное решение задач о вынужденных колебаниях упругой системы с конструкционным демпфированием [c.228]

Изложенный путь нахождения точных решений и их дальнейшего анализа (как правило, приближенного) эффективен лишь для некоторых частных законов движения границ, когда задачу удается решить методом разделения переменных. Более общий подход к поиску приближенных решений свободных колебаний мембраны при произвольном, но медленном движении границ основан на использовании инвариантных преобразований волнового уравнения (см. 5.7). [c.218]

Проблемам приближенного решения задач оптимального управления упругими колебаниями посвящено много работ. Необходимость исследования проблем аппроксимации определяется тем, что краевые задачи для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами не решаются в замкнутой форме. Ряд дополнительных сложностей вносят особенности задач оптимизации (см., например, [18, 108]). [c.15]

Винтовая цилиндрическая пружина представляет собой пространственный кривой брус. Точное решение задачи о колебаниях такого бруса является чрезвычайно сложным и до сих пор не найдено. Для применяемых в большинстве случаев пружин с малым углом подъема винтовой линии можно получить приближенное решение задачи, заменяя пружину эквивалентным прямым брусом. [c.402]

Принимая во внимание малость амплитуд колебаний, а кроме того, предполагая, что эллипсоид инерции тела не слишком вытянут, для первого приближения решения задачи, соответствующего ее линейной постановке, можно допустить, что d T)/dt есть величина второго порядка малости и что ею можно пренебречь. В таком случае дифференциальное уравнение колебаний тела получит вид [c.186]

Если рассеивание энергии мало, то соотношения, описывающие движение жидкости в фазе свободного движения, будут отличаться от рассмотренного в предыдущем разделе некоторыми малыми поправками, квадратами которых можно пренебречь. Поскольку, как это будет видно из дальнейшего, режимы разрывных кавитационных колебаний при больших рассеиваниях энергии не реализуются, все последующие расчеты будут проведены с точностью до величин первого порядка малости по членам, учитывающим рассеивание и подвод энергии . Это позволяет получить сравнительно простое приближенное решение задачи. [c.166]

Основные понятия. Нелинейность восстанавливающей силы существенно осложняет анализ колебаний, и в этом параграфе будет рассмотрено действие только гармонической вынуждающей силы даже в этом наиболее простом случае приходится довольствоваться приближенным решением задачи. Характеристику нелинейной восстанавливающей силы будем считать симметричной [c.148]

Приближенное решение задачи найдено методом, разработанным в работе [11]. На основании этого решения получаем а = (Оь т. е. в первом приближении частота автоколебаний совпадает с частотой собственных колебаний системы [c.84]

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

Практика расчетов упругих систем на колебания показывает, что в подавляющем большинстве случаев те упрощения, которые делались в рассмотренных выше задачах, являются неприемлемыми. Так, большей частью собственная масса упругих связей (балок, валов) оказывается соизмеримой с присоединенными массами. Последние же в свою очередь редко удается рассматривать как сосредоточенные. Обычно в расчетной практике приходится иметь дело с балками или валами переменной жесткости при неравномерном распределении масс. В этих условиях определение частот собственных колебаний изложенными выше методами оказывается громоздким и более предпочтительным является приближенное решение. Ниже мы рассмотрим наиболее распространенный из существующих приближенных методов — метод Релея. [c.485]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Был рассмотрен наиболее простой случай (одно уравнение), соответствующий системе с одной степенью свободы или одночленному приближению при решении уравнений малых колебаний стержня с использованием принципа возможных перемещений. Для систем с несколькими степенями свободы выкладки становятся громоздкими. Более подробно решение систем линейных дифференциальных уравнений изложено в работах [6, 10, 14]. Дополнительные сведения о методах решения задач статистической динамики приведены в разделе, посвященном прикладным задачам. [c.148]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Рассмотрим теперь скорость убывания амплитуд этих колебаний. Приближенное решение этой задачи можно получить при допущении, [c.39]

Для определения частоты и формы первого главного колебания системы применяют различные приближенные методы, так как точное решение задачи при большом числе степеней свободы системы невозможно. [c.143]

Н. А. Кильчевский [24], применив преобразование Лапласа, получил приближенные выражения для закона изменения контактной силы во времени Р (t) при ударе и оценил условия, при которых применима статическая зависимость силы от перемещения с учетом собственных колебаний соударяющихся тел. Для определения контактных деформаций он применил теорию Герца, а для решения задачи о колебании соударяющихся тел — теорию Тимошенко. Методом последовательных приближений он рассмотрел единичный удар и повторное соударение при поперечных ударах шара по балке. Справедливо обосновав положение, что на первом этапе (до достижения максимальной контактной силы) основное влияние на процесс удара оказывают местные деформации сжатия, а на втором (при упругом восстановлении) — колебания балки и шара, Н. А. Кильчевский предложил расчетные формулы для вычисления наибольшей силы взаимодействия между шаром и балкой, а также продолжительности контакта. Полученные громоздкие зависимости им упрощены и распространены на широкую группу контактных задач. В работе [24] при применении интегрального преобразования проведена аналогия между зависимостью контактной деформации и силой удара (предложенной Герцем) в пространстве изображений и оригиналом, т. е. [c.10]

Предварительные замечания. Большое число задач динамики механизмов сводится к анализу динамических моделей,,параметры которых изменяются во времени. Для решения этих задач могут быть использованы различные подходы [9, 21, 38, 41, 60, 61, 77, 78, 79], выбор которых во многом зависит от специфики исследуемой системы и поставленной цели динамического расчета. Ниже рассматривается одна из возможных аналогий между параметрическими колебаниями в исходной системе и вынужденными колебаниями в некоторой вспомогательной модели, названной условным осциллятором [21, 25, 28]. Основанный на этой аналогии метод оказывается хорошо приспособленным к кругу инженерных задач динамики механизмов. В частности, в рамках единого подхода удается исследовать параметрические явления, связанные с потерей динамической устойчивости системы, а также строить приближенные решения при медленных и резких изменениях параметров механизма. Метод условного осциллятора может быть отнесен к группе методов анализа линейных нестационарных систем, содержаш,их большой параметр [61, 77, 79]. [c.139]

Покажем, что в случае опор, имеющих нелинейные упругие характеристики, отмеченные задачи являются принципиально разными и имеют существенно различные решения. Это объясняется тем, что в данном случае точное дифференциальное уравнение равновесия для вращающегося вала совпадает лишь с приближенным дифференциальным уравнением колебаний балки [см. формулы (I. 1), (1.6)]. [c.116]

Таким образом, на частных примерах было показано, что при нелинейных граничных условиях на опорах, задача о поперечных колебаниях балки и задача о критических числах оборотов вала являются принципиально разными. Однако между ними все же имеется связь точные решения, получаемые достаточно просто для второй задачи, являются грубыми первыми приближениями для первой задачи. Однако лучшее первое приближение для задачи о поперечных колебаниях балки дано в гл. I. [c.129]

Нужно оговориться, что приведенные формулы для амплитуд линейных горизонтальных и угловых колебаний — приближенные, так как при рассмотрении линейных колебаний не было учтено, что угловые колебания фундамента вокруг центра тяжести одновременно вызывают появление горизонтальных упругих реакций в подошве фундамента за счет несовпадения подошвы фундамента с горизонтальной плоскостью, проходящей через центр тяжести всей системы. Эти реакции вызывают дополнительное горизонтальное движение центра тяжести всей системы машина—фундамент. Точно так же при рассмотрении угловых колебаний не был учтен момент горизонтальных упругих реакций фундамента относительно центра тяжести фундамента, имеющий место опять из-за несовпадения плоскости подошвы фундамента с плоскостью, проходящей через его центр тяжести. Другими словами, в нашем исследовании мы пренебрегали расстоянием центра тяжести фундамента до плоскости его подошвы. Более точное решение задачи можно найти в специальной литературе [11]. [c.151]

Наиболее трудной задачей является получение точных решений для имеющих более одной степени свободы систем с демпфированием, обусловленным трением в некоторой точке, однако приближенные решения могут быть получены без особого труда с помощью метода гармонического баланса. Рассмотрим систему, показанную на рис. 2.19, а. Динамические податливости в интересующих нас точках 1 и 2 находятся либо из эксперимента, либо расчетом по методу конечных элементов. Рассматриваемая дискретная модель с двумя степенями свободы позволяет учесть две первые формы колебаний. При этом соответствующие динамические податливости будут иметь достаточно точные значения, если, как уже говорилось в гл. 1, правильно подобраны параметры mi, шг, k и кг- Если эти параметры известны, то можно воспользоваться моделью, показанной на рис. 2.19, б, для которой уравнения движения при = оо имеют вид [c.98]

Для звукоизоляции и ослабления вибраций машин решение задачи Малюжинца имеет пока в основном теоретическое значение, так как позволяет оценить предельные возможности той или иной системы компенсации. Практически же установить на пластине четыре вида распределенных источнш ов, например показанных на рис. 7.19, не представляется возможным. Поэтому разрабатываемые в настоящее время активные методы и системы основаны на использовании легко реализуемых источников одного типа (чаще всего, силовых) и, таким образом, направлены на приближенное решение задачи активного гашения акустических полей. Отметим работы [10, 95—98, 187, 188, 382, 383], в которых рассматривается компенсация изгибных колебаний стержней и пластин с помощью сосредоточенных сил, развиваемых вибраторами. В этих случаях нельзя получить полной компенсации, однако в ряде случаев удается достичь значительного эффекта ослабления первоначального поля вибраций. [c.237]

Метод Бубнова-Галеркина, как и метод Ритца, позволяет получить приближенное решение задачи о собственных колебаниях оболочек. Согласно этому методу строится система координатных функций удовлетворяющая как кинематическим, так и динамическим 1раничным условиям, в виде [c.218]

Приближенного решения задач (см., например, [23—26]). Доннел 127] предложил теорию толких цилиндрических оболочек, которая широко применялась для решения различных задач. Двумя центральными проблемами теории оболочек являлись проблемы устойчивости и закритического поведения оболочек [28, 29]. Теория прощелкиваиия при потере устойчивости цилиндрических и сферических оболочек была предложена Карманом и Цянем [30—32 ]. Из других важных инженерных задач отметим температурные задачи теории оболочек, задачи устойчивости оболочек при температурных напряжениях [33, 34] и задачи о колебаниях оболочек [16, 35—37]. [c.282]

Есть целый ряд оснований, по которым, с физической точки зрения, мы можем удовлетвориться приближенным решением задачи. Оставляя в стороне такие вопросы, как сопротивление воздуха и податливость подставок на концах струны, следует помнить, что, исходя в рассуждениях из воображаемой математической материальной линии, в которой может возникать только натяжение, мы слишком сильно идеализировали реальные условия. Во всяком случае для нормальных колебаний высших номеров неабсолютная гибкость струны и неопределенность истинного характера условий на концах лишают это представление полной адекватности реальному случаю, и решение не может претендовать на точное определение нормальных колебаний таких номеров. Далее, принятая начальная форма струны, при которой два прямых отрезка ее встречаются под углом, может быть осуществлена лишь приближенно при попытке подойти ближе к осухцествлению такого начального условия на реальной проволоке получпм остаточный сгиб или излом. [c.130]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

В действительности, невозможно на практике изменить только величину а. Иначе говоря, если мы изменим (например с помощью передвижения контрольного стержня) величину з, мы тем самым будем также изменять Т , и тг)/. Однако изменения То и 7)/, как это видно из (17.49а) (17.495), обычно не являются существенными и, если это необходимо, мо1 ут быть учтены тем ке самым способом, что и изменение г (г). Для того чтобы упростить формулы, будем и дальнейшем предполагать, что То и 7)/ не изменяются со временем. Для произвольной зависимости г от времени не существует общего решения уравнений (7.49а) и (7.496). Однако приближенное решение задачи может быть найдено в том случае, когда плотиость нейтронов не изменяется слишком сильно, т. е. когда кмеют место малые колебания. [c.96]

В более простой задаче минимизации энергии колебательного объекта Г.Б. Шенфельд [116] свел задачу к решению интегрального уравнения относительно оптимального управления. Применение условий оптимальности в форме принципа максимума для приближенного решения задач оптимального управления упругими колебаниями использовано А.И. Егоровым и Г.Б. Шенфельдом [41. [c.14]

К л ю ч н н к о в а В. Г. Корректирование приближенного решения задачи о собственных колебаниях плиты в неклассической постановке. Прикл. механика, 1966, 2, № 12, 27—32 — РЖМех, 1967, 5В236. [c.250]

Проблема расчета звукоизоляции всего корпуса в целом представляет значительные трудности, так как требует решения комплексной сопряженной задачи излучения прямоугольной конструкции с учетом резонансных колебаний стенок (подробнее об этой задаче сказано в гл. 2). Приближенное решение задачи исследовалось в ряде работ, напрнмер, в [5.11] выполнен расчет звукоизоляции по шуму прямоугольного корпуса с одной гибкой стенкой, остальные жесткие. Результаты позволяют выделить три частотных области звукоизоляции, качественно сходные с областями звукоизоляции для одной стенки в первой — звукоизоляция по шуму определяется отношением упругости объема внутри корпуса к упругости стенок во втором — основное влияние оказывает многорезо-иансное возбуждение стенок и объема воздуха в третьей — влияет частота волнового совпадения . В процессе макетирования АС обычно проводится экспериментальная отработка звуко- и вибро-изоляционных характеристик различных вариантов конструкции корпусов. [c.152]

Метод энергетического баланса. Этот метод, которым мы пользовались при псследовании свободных колебаний систем с нелинейным трением (п. 2 2) позволяет получить приближенное решение задачи о стационарных автоколебаниях квазилинейных систем, движение которых описывается дифференциальным уравнением [c.216]

Рассмотрим теперь более общий способ приближенного решен задачи о нелинейных колебаниях, осниванный на применении мето Ритца к решению соответствующих нелинейных дифференциальна уравнений движения" ). В общем случае это дифференциальное ура нение имеет форму [c.162]

Полученная система дифс[5еренциальных уравнений (14-22) и (14-24) и должна дать аналитическое решение задачи о колебаниях масс воды в системе туннель — уравнительный резервуар. Однако после исключения из них скорости V мы придем к дифференциальному уравнению второго порядка относительно у, которое в общем случае не решается в квадратурах. Поэтому относящиеся сюда задачи решаются приближенно графическим или численным (в конечных разностях) методом. [c.146]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Другие динамические теории слоистых пластин, основанные на соотношениях теории упругости и развитые применительно к задачам динамики пластин с изотропными слоями, а также к задачам о распространении волн в трехслойных и двухслойных пластинах, представлены в работах Коббла [51], Арменакаса и Кекка [9], Скотта [129]. В заключение отметим работы Джонса [81, 82], в которых на основе уравнений теории упругости получены точные решения задач о свободных колебаниях ортогонально-армированных и несоосно-армированных слоистых пластин. Эти решения интересны, а также могут быть использованы для оценки точности приближенных теорий типа теории Миндлина. [c.197]

В настоящей главе была сделана попытка дать сводку результатов, полученных в различных экспериментальных и теоретических работах по волнам и колебаниям, возникающим в направленно армированных композитах, для случая малых деформаций и линейных определяющих уравнений. Эта попытка представляется своевременной, так как за последние годы достигнуты значительные успехи в понимании особенностей линейного динамического поведения композиционных материалов. Линейная теория с ее точными результатами для слоистой среды и различными хорошо обоснованными приближенными подходами к описанию как слоистых, так и волокнистых композитов в настоящее время близка к полному завершению. Этот объем теоретических сведений дополняется экспериментальной проверкой результатов, относящихся к распространению сину-соида льных волн и импульсных возмущений. Следует отметить, однако, что необходимость проведения дальнейших экспериментальных исследований все еще остается важной. Многое еще предстоит сделать и в решении задач с нестационарными волнами, в особенности в определении локальных значений полевых переменных, таких, как напряжения на поверхности раздела фаз и динамическая концентрация напряжений. [c.388]

В некоторых задачах можно, основываясь на соображениях симметрии, получить общее представление о характере главных колебаний принцип Релея тогда позволяет найти периоды и получить полное решение задачи (пример 9.5А). В других случаях удается угадать форму какого-либо одного колебания, обычно основного. Свойство стационарности главных колебаний показывает, что достаточно хорошая оценка формы главного колебания позволяет, вообще говоря, получить хорошее приближение для соответствующего периода. (Если отношения ajai,. . ., a /ai имеют порядок О (г), то [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...