Нелинейные диссипативные системы

Для исследования движений в нелинейных диссипативных системах, а также в консервативных системах, можно применять [c.44]

Ограничивая качественное рассмотрение свободных колебаний в линейных и нелинейных диссипативных системах разобранными примерами, отметим, что в более сложных случаях, особенно для нелинейных задач, целесообразно пользоваться методом изоклин, построение которых позволяет составить представление об основных чертах фазового портрета исследуемой системы и, тем самым, о характере совершаемых ею движений. При этом, как уже указывалось, в диссипативных системах мы должны получить независимо от начальных условий такие движения, которые приводят систему к устойчивой особой точке — состоянию покоя, т. е. к диссипации всей энергии, связанной с изучаемым движением. [c.55]

В рассматриваемом случае нелинейной диссипативной системы при нелинейной емкости фазовые траектории не обязательно во всех точках направлены внутрь окружности, проходящей через данную точку, с центром в начале координат. Но это не лишает справедливости утверждения, что фазовые траектории для исследуемой системы при наличии потерь всегда направлены внутрь тех замкнутых фазовых траекторий, которые имели бы место для данной системы с данным видом нелинейности при исключении из нее потерь (при ф(у)=0, т. е. для консервативного случая). [c.58]

Исследование свободных колебаний в нелинейных диссипативных системах с одной степенью свободы методом поэтапного рассмотрения [c.60]

Рассмотрение вынужденных колебаний в слабо нелинейных диссипативных системах при гармоническом силовом воздействии методом гармонического приближения [c.112]

Как указывалось ранее, не представляется возможным выбрать единый эффективный метод для анализа вынужденных колебаний в нелинейной диссипативной системе с произвольной нелинейностью и любой диссипацией при наличии внешнего силового воздействия произвольной формы. Поэтому в первую очередь необходимо сузить наше рассмотрение рамками определенных типов воздействий. [c.112]

Асимптотически устойчивое множество траекторий L в фазовом пространстве динамич. системы наз. аттрактором, если оно 1) компактно и неразложимо на отдельные структурные элементы 2) инвариантно относительно Т Т L = L 3) оператор Т рекуррентен на L, т. е. для сколь угодно больших времён (о>0 траектория y t) = T x произвольной точки xsL при r>fo пройдёт в сколь угодно малой окрестности точки х, В случае замкнутых траекторий последнее требование означает бесконечнократное прохождение системой каждой точки траектории, т. е. периодич. движение (в силу теоремы Коши см. Коши задача). Примеры аттракторов асимптотически устойчивые стационарные состояния для ур-ния (4) — это точка. с = 0] устойчивые предельные циклы странные аттракторы (отвечающие стохастическим колебаниям в нелинейных диссипативных системах). [c.254]

Автоколебания. Этот термин, введенный в 1928 г А. А. Андроновым, обозначает незатухающие колебания нелинейной диссипативной системы, в которой потери энергии компенсируются постоянным потоком энергии от внешнего источника. В отличие от собственных и вынужденных колебаний амплитуда автоколебаний определяется параметрами самой системы. В стационарном режиме фазовый портрет автоколебаний представляет собой предельный цикл. [c.188]

Нелинейные диссипативные системы [c.262]

Автоколебания — это незатухающие колебания, поддерживаемые внешними источниками энергии в нелинейной диссипативной системе, вид и свойства которых определяются самой системой и не зависят от начальных условий (по крайней мере в конечных пределах). [c.296]

Потери энергии в нелинейных диссипативных системах вызываются большей частью сухим (кулоновым) трением, иногда в сочетании с вязким, а также внутренним неупругим сопротивлением, которое возникает в материале частей системы, деформирующихся при колебаниях. Все эти сопротивления, как правило, нелинейны и не линеаризуемы. Расчет колебаний систем с такими сопротивлениями представляет существенно нелинейную задачу, которая не может быть решена методами линейной теории. [c.490]

Диссипативные системы. Нелинейность. [c.13]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Применение метода поэтапного расчета нелинейных диссипативных систем мы проиллюстрируем несколькими примерами и начнем рассмотрение со случая системы с сухим трением, кото- [c.60]

Как и исследование линейных систем, изучение вынужденных колебаний в идеализированных консервативных системах дает нам очень много ценных сведений о протекании самого явления в реальных диссипативных системах. Для нелинейных систем это, вероятно, еще более справедливо, так как для большого класса явлений в таких системах основным фактором, определяющим характер вынужденных процессов, служат именно нелинейные свойства элементов, а не наличие затухания, как было в линейных системах. [c.98]

Обратимся к особо важному случаю гармонического воздействия и из всего многообразия нелинейных диссипативных систем с одной степенью свободы выберем слабо нелинейные системы, в которых вынужденные колебания при таком воздействии также близки к гармоническим. Требование малости диссипации не столь уж принципиально, но поскольку нас интересуют в основном системы с отчетливо выраженными колебательными свойствами, а не апериодические, то мы в нашем рассмотрении ограничимся случаями небольшого затухания (малой диссипации). [c.112]

С учетом всех этих оговорок можно сформулировать задачу следующим образом требуется найти параметры (амплитуду и фазу) приближенно гармонического колебания, возбуждаемого в слабо нелинейной колебательной системе с малым затуханием, при заданной гармонической внешней силе. С подобной задачей мы встречаемся не только при рассмотрении механических систем, но и при анализе различных колебательных цепей в радиотехнических устройствах при наличии нелинейных диссипативных элементов (полупроводниковые приборы, радиолампы), а также при использовании ферромагнитных или сегнетоэлектрических материалов в катушках индуктивности и конденсаторах этих цепей. [c.113]

Так же. как и при линейных колебаниях, можно различать нелинейно колеблющиеся системы — консервативные (ни из системы, нн в систему энергия не поступает), диссипативные (с течением времени происходи г уменьшение суммы потенциальной и кинетической энергий системы за счет перехода энергии в другие виды или за пределы колеблющейся системы) и, наконец, системы, в которые при их колебаниях поступает энергия. Различают также свободные и вынужденные нелинейные колебания. Однако вследствие нелинейности последние представлять в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения нельзя. [c.220]

Нелинейные свободные колебания диссипативной системы. Уравнение, описывающее колебания, указанные в заголовке раздела, в случае системы с одной степенью свободы в общем случае имеет вид [c.222]

Цля диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой (рис. 1, а) суммарная силовая характеристика показана на рис. 1,6 площадь, ограниченная гистерезисной петлей, по величине равна работе силы сопротивления за один период движения. При нелинейной восстанавливающей силе осевая (скелетная) линия гистерезисной петли — криволинейная (рис. 1, в). Если при заданной амплитуде изменяется частота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояния между ветвями петли и ограниченная ими площадь, как правило, изменяются, причем законы этих изменений зависят от характеристики сопротивления исключениями служат случаи кулонова трения, а также внутреннего трепия в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний (рис. 1,е). [c.17]

Диссипативная система нелинейна, если хотя бы одна из функций F и fj нелинейно связана со своим аргументом. Примеры описания диссипативных сил приведены в табл. 3. Общие свойства колебательных явлений в соответствующих системах рассмотрены в гл. IV. Характерной практической задачей для таких систем является аналитическое построение огибающей кривой свободных затухающих колебаний. [c.22]

Таким образом, показано, что при соответствующем изменении управляющих параметров и достижении ими в точке бифуркаций критических значений нелинейная динамическая система в виде деформируемого твердого тела претерпевает так называемый неравновесный фазовый переход — переход от стационарного пластического течения к новому упорядоченному во времени динамическому состоянию — прерывистой текучести. Переход к указанному динамическому состоянию контролируется балансом энергии в системе, т.е. соотношением между латентной энергией, запасаемой в системе за счет увеличения плотности дислокаций, и диссипацией энергии в результате аннигиляции, иммобилизации дислокаций и др. Прерывистую текучесть рассматривают как динамическое состояние деформируемого материала в виде диссипативной структуры. [c.127]

Для диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой осевая скелетная) линия петли гистерезиса представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 6.5.3, а). При нелинейной восстанавливающей силе скелетная линия петли гистерезиса -криволинейна (рис. 6.5.3, 6). Если при заданной амплитуде изменяется часг ота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояние между ветвями и ограниченная ими площадь, как правило, изменяется, причем законы этах изменений зависят от характеристики трения исключениями служат случаи кулонова трения (рис. 6.5.3, в), а также внутреннего трения в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний [66]. [c.365]

Уже в простейшем примере такого типа — в системе с кубической нелинейностью под действием экспоненциально-коррелированной случайной нагрузки — была обнаружена качественная особенность, которая заключается в появлении бимодальных распределений при увеличении коэффициента нелинейности. В системах с существенно нелинейными восстанавливающими, диссипативными и инерционными силами возможны и другие качественные особенности. [c.71]

Однако эта модель имеет то неоспоримое преимущество, что в ней деформируемый материал, содержащий дефекты, рассматривается как диссипативная система, а появление и исчезновение дислокационных стенок — как образование и эволюция диссипативной структуры. По существу, работа [41] является первой попыткой использования теоретических положений нелинейной физики при рассмотрении деформационных структурных превращений. [c.80]

НЫМИ. в особенности сказанное относится к полуклассической трактовке, позволяющей охватить широкую область явлений ей посвящен 2.3. Определение зависимости математического ожидания поляризации от (классической) напряженности поля позволяет выразить введенные в классической теории (ч. I) феноменологическим путем восприимчивости через параметры атомной системы таким образом, зависимость восприимчивостей от времени или от частоты приобретает микроскопическую интерпретацию. Выводятся общие соотношения, которые принимают конкретную форму в зависимости от природы исследуемого нелинейного эффекта или от свойств атомной системы (изолированные атомы или молекулы, взаимодействующие частицы, атомная система под влиянием диссипативной системы). На основе полуклассического способа рассмотрения получаются также определяющие уравнения для математических ожиданий других важных величин,, какими являются инверсия населенностей и поляризация. Кроме того, могут быть вычислены важные параметры различных процессов, например поперечные сечения взаимодействий. [c.175]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Совери енно ясно, что в линейной и нелинейной диссипативных системах невозможен автоколебательный процесс. Для осуществления автоколебательного процесса необходимо, чтобы функция днсснпацин F (t) была знакопеременной. При этом в течение одной части периода происходит пополнение колебательной энергии (что можно описать с помощью известного нам понятия отрицательного сопротивления R ), в течение другой его части — уменьшение колебательной энергии. Тогда можно обеспечить энергетический т [c.187]

Пример 3. Другим примером, в котором способ Льенара дает возможность строить фазовые траектории в целом, является система с кулоновым трением, которую мы и рассмотрим в качестве первого примера существенно нелинейной диссипативной системы. [c.493]

Познакомимся с возможностью приближенного графического построения фазовых траекторий диссипативной системы с одной степенью свободы при помощи приема, развитого Льенаром. Этот метод предложен для случая, когда нелинейные свойства системы определяются исключительно законом зависимости силы трения (или сопротивления) от скорости (или силы тока), причем сама сила не зависит от величины независимой переменной (координата или заряд). В таком случае уравнение движения имеет вид [c.55]

А. (с несколькими несоизмеримыми частотами), но и А., ничем неотличимые от случайных —- т. н. стохастические А. Примером такой автоколебат. системы — генератора шума, в к-ром хаотич. колебания (колебания со сплошным спектром) совершаются в диссипативной системе за счёт энергии регулярных источников, может служить генератор на рис. 2, i5, если в контур последовательно с индуктивностью добавлен нелинейный элемент с невзаимно однозначной вольт-ампер-ной характеристикой (рис, 6). Таким элементом является, напр., туннельный диод. Матем. модель или соответствующая такому генератору динамическая система может быть представлена в виде системы 3-го порядка [c.14]

Явления, родственные резонансу, В нелинейных колебат. системах внеш. периодич. воздействие вызывает ые только возбуждение вынужденных колебаний, но и модуляцию энергоёмких и диссипативных параметров. Явление возбуждения колебаний при пе-ряодич. модуляции энергоёмких параметров наз. па-рАметрнч, резонансом. [c.311]

Определение термина диссипативная система см. в гл. I. О вынужденных колебаниях диссипативных систем см. в гл. V. Ниже приведены сведения, относящиеся к свободным затухающим колебаниям дисснпативпых систем с одной степенью свободы, когда нелинейность обусловлена только силами сопротивления, Предполагаем, что силы сопротивления обладают отрицательной мощностью, т. е. F- q > О, где q) — уравнение характеристики силы сопротивления (/ [ равно взятой с противоположным знаком обобщенной силе сопротивления). В пп. 1—4 рассмотрены случаи, когда силы сопротивления определяются только скоростями системы, а в п,. 5 — случаи, когда силы сопротивления зависят также от координат системы (позиционное трение, внутреь нее трение). [c.150]

В этом пункте рассмотрены основные явления и закономерности, наблюдаемые при действии вибрации на нелинейные дисснпативные системы. К числу таких явлений относится вибрационное перемещение, под которым понимается возникновение направленного в среднем изменения (в частности, движения) за счет ненаправленных в среднем (колебательных) воздействий [8]. В системах с сухим трением без позиционных сил, имеющих континуум положений равновесия, вибрационное перемещение обычно проявляется в возникновении движения с постоянной или медленно изменяющейся средней скоростью V ( ). В системах с позиционными силами независимо от характера диссипативных сил вибрационное перемещение часто сводится к так называемому уводу —смещению положений равновесия. При этом для систем с сухим трением характерно исчезновение континуума и появление одного или нескольких дискретных положений квазиравновесия последнее связано с другим важным явлением — с кажущимся превращением сухого трения в вяз/сое. [c.253]

В деформируемом твердом теле в процессе эволюции системы формируются открытые подсистемы и самоорганизуются диссипативные структуры, определяющие нелинейное поведение системы. Как уже отмечалось, открытую систему в пределе, когда потоки энергии или вещества стремятся к нулю, можно представить как замкнутую. Деформируемое тело в целом является замкнутой системой [10], для которой справедливы соответствующие начала термодинамики. Однако даже на стадии упругой деформации, вследствие существенного различия характерных времен релаксации энергии и импульса Хр атомов и структурных элементов деформируемого тела, избыточная энергия внешнего воздействия кумулируется в локализованных сильно неравновесных областях [10]. Последние образуют открытую, способную к самоорганизации подсистему. [c.119]

Динамическая природа турбулентности. Сделаем несколько общих замечаний о динамической природе турбулентности в нелинейной диссипативной газожидкой системе, которая может обмениваться с окружающими телами как энергией, так и веществом (в силу чего возможно образование различных пространственно-временных структур, последовательности которых и составляют процесс самоорганизации). При наличии турбулентности каждая индивидуальная частица такой среды движется случайно, так что ее координаты и направление движения изменяются со временем по закону марковского случайного процесса. Полное статистическое описание турбулентного течения сводится к определению вероятностной меры на его фазовом пространстве (г,/ ), состоящем из всевозможных индивидуальных реализаций характеризующих его случайных термогидродинамических полей. Поэтому турбулентность можно рассматривать на основе статистической механики многих частиц (см., напр., (Обухов, 1962)), или для ее описания использовать кинетическое уравнение, являющееся аналогом уравнения Больцмана в фазовом пространстве для некоторой условной функции плотности распределения вероятностей /турб Р О служащей основной статистической характеристикой пульсирующего движения (Клгшонтович, [c.20]

На основании описанных в первой части методов и результатов во втором томе будет дано квантовомеханическое представление нелинейной оптики. Взаимодействие света с атомными системами будет рассмотрено полуклассически (квантованные атомные системы и классические поля излучения) и чисто квантовомеханически (квантованные атомные системы и квантованные поля излучения). Для учета механизмов потерь будет также включено взаимодействие между динамическими и диссипативными системами. Содержащиеся во второй части основы позволят дать квантовомеханическое обоснование важнейших классических соотношений нелинейной оптики и детально описать их микроскопический механизм. Это даст возможность вычислить атомные и молекулярные постоянные, введенные в первом томе чисто феноменологически. Аналогично тому, как это было сделано в первой части, представление основ будет дано на примерах наиболее типичных эффектов. Для лучшего понимания будет приведен обзор принципиальных схем и характерных величин для приборов, применяемых в нелинейной оптике. [c.30]

Для линейной и нелинейной оптики представляют 1нтерес результаты воздействия электромагнитного излучения на реальную атомную систему. Но достаточно точное описание свойств атомной системы требует, вообще говоря, учета влияния диссипативной системы. В разд. В2.27 были выведены уравнения движения для типичных операторов реальной атомной системы, на которую воздействует диссипативная система. При этом имело важное значение то, что диссипативная система характеризуется корреляционным временем Тс. Оно считалось малым по сравнению с тем временем, в течение которого типичные операторы атомной системы претерпевают существенные изменения. Действующее на атомную систему электромагнитное излучение мы будем считать состоящим из монохроматических или квазимоно- [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...