Уравнение Тимошенко

При малом значении /С/Л формулы (3.1.88 ) принимают вид (3.1.87) при больших значениях /С/Л скорости с и стремятся к йо, поэтому уравнение (3.1.88) больше соответствует физической сущности рассматриваемой задачи. Если учесть поправку на сдвиг элемента, которая сравнима с поправкой на инерцию вращения, то приходим к уравнению Тимошенко [57] [c.247]

Достоинства уравнения Тимошенко были в полной мере раскрыты и оценены в 40 — 50 годах XX века в связи с практическими потребностями в расчетах на колебания высоких балок. На это время приходится наибольшее количество опубликованных работ по этому вопросу. Было выяснено, что уравнение Тимошенко остается справедливым вплоть до частот, где длина сдвиговой волны сравнима с высотой стержня. В это время подробно были исследованы свободные и вынужденные колебания, учтено затухание материала, решен ряд других задач, некоторые работы специально посвящались выбору коэффициента сдвига. [c.143]

Исключая из уравнений (5.18), (5.19) и (5.32) все величины, кроме смещения, получим уравнение Тимошенко [c.149]

Простота вычислений может быть достигнута при помощи энергетического метода, вполне аналогичного известному методу С. П. Тимошенко. В самом деле, соотношения (66.19) можно рассматривать как соотношения задачи об устойчивости плоской формы изгиба упругой полосы переменного сечения, тогда энергетическое уравнение Тимошенко полностью сохраняет свой вид. Мы получим это уравнение, приравнивая при выпучивании энергию бокового изгиба и кручения работе внешних сил. [c.284]

Расчет температурных напряжений. Тангенциальные, осевые и радиальные температурные напряжения в любой точке ротора с радиусом г находят из следуюш их уравнений (Тимошенко, 1934 г.) [c.96]

Цейтлин А. И. О решении уравнения Тимошенко для балки на упругом основании.— Труды Каз. фил. Акад. стр-ва и архит. СССР , 1961. сб. 3 (5). [c.341]

Первые результаты были получены, когда в уравнения ввели поправки, которые позволили более полно учесть основные факторы, определяющие распространение упругой волны (Релей [97], Тимошенко [99]). На этом пути существенный вклад сделал С. П. Тимошенко, предложивший (вне связи с исследованиями по распространению волн) уточненное уравнение динамического изгиба (и сдвига) стержня. Как потом было установлено Я. С. Уфляндом [104] и другими, уравнение Тимошенко в отличие от уравнения Бернулли— Эйлера определяет конечные скорости распространения волн и дает результаты, во многих отношениях удивительно близкие к точным результатам, вытекающим из теории упругости. Уравнения Тимошенко и их решения исследовались в ряде работ, в частности, в [73 78 104 120—122 129 142 143]. [c.11]

Исследование уравнений Тимошенко. [c.23]

Это означает, что уравнение Тимошенко (3.3)—вполне гиперболическое и описывает распространение двух слабых разрывов (сдвигового и изгибного) со скоростями (3.9). [c.24]

Покажем теперь, что уравнение Тимошенко (3.3), так же как уравнения (3.1) и (3.2), описывает распространение волн с дисперсией, т. е. с изменением формы любого распространяющегося сигнала. Для этого представим перемещение-ш х, t) в виде [c.24]

Подставляя выражение (3.20) в уравнение Тимошенко (3.3) для бесконечной балки, приходят к уравнению [c.26]

С. П. Тимошенко. Правда, долгое время уравнение Тимошенко не было исследовано и только впоследствии было обнаружено, что аппроксимация Тимошенко является гиперболической. Эта аппроксимация является плодом глубокой интуиции С. П. Тимошенко и понимания им механических процессов, происходящих в упругих телах. [c.28]

Решение уравнения Тимошенко (3.3) не является простым к нему в общем виде не применим классический метод разделения переменных. В частном случае гармонических во времени колебаний, когда разыскиваются решения вида [c.28]

В работе А. С. Архипова [1.2] (1966) для свободно опертой балки Тимошенко исследуется влияние внутреннего трения и длины площадки, на которой приложен равномерно распределенный импульс. Уравнение Тимошенко записывается в виде [c.62]

Здесь и и V — параметры, зависящие от коэффициента внутреннего трения да — комплексная величина прогиба / = = —1. Решение ищется, в виде ряда по собственным функциям, определяемым из уравнения Тимошенко без учета внутреннего трения. Доказано, что характеристическое уравнение в этом случае имеет два мнимых и два вещественных корня или все мнимые попарно сопряженные корни, и что спектр частот состоит из двух групп, причем частоты второй группы значительно выше частот первой группы. Поэтому при наличии внутреннего трения колебания с частотами второй группы будут быстро затухать. Показано также, что влияние затухания на величину частот очень мало и может не учи- [c.62]

Приведены в виде графиков решения уравнений Тимошенко и Бернулли—Эйлера, полученные методом разложения по собственным функциям с применением ЭЦВМ. Во временном интервале, соответствующем прохождению сдвиговой волной пути, равного пяти длинам балки, вычислены поперечная сила на конце и изгибающий момент в середине при двух значениях упругого опирания s (мягком и жестком) н отношении длины балки к радиусу инерции 40. Видно, что при принятых параметрах для изгибающего момента обе теории дают близкие результаты, а для поперечной силы классическая теория совершенно непригодна даже при мягком сдвиговом опирании. [c.67]

Г. Я. Леонтьев [1.38] (1960), решая уравнения Тимошенко, исследовал свободные и вынужденные гармонические колебания стержней переменного сечения. Уравнения записаны в виде [c.72]

Б последние годы число публикаций но этим вопросам снова стало возрастать. Они посвящены главным образом применению теории Тимошенко для расчета практических конструкций и частично ее обоснованию и улучшению. Среди последних отметим работы, в которых приближенные модели строятся на основе асимптотически точных решений трехмерных уравнений теории упругости [47, 144, 370]. Примечателен также повышенный интерес к построению более сложных моделей (трех- и четырехволновых), позволяющих существенно повысить точность расчетов и расширить частотный диапазон их применимости [144, 225, 308, 317, 343, 391]. Однако практическое их применение связано с громоздкими выкладками. Поэтому двухволновые уравнения, в частности уравнение Тимошенко, являются сейчас общепринятыми в инженерных расчетах конструкций на колебания и в исследовании распространения низкочастотных изгпбиых волн. [c.143]

Это обстоятельство играет большую роль при оценке пределов применимости приближенных теорий. Игнорирование изгибных ветвей дисперсии ведет к большим ошибкам в расчетах, поэтому в качестве верхней границы применимости двухволновых приближенных теорий естественно считать первую критическую частоту, соответствующую первому максимуму мнимой ветви дисперсии. Она расположена несколько ниже изгибной частоты среза Шь Но поскольку в Н-стержне она меньше частоты продольно-сдвигового резонанса, то пределы применимости уравнений Тимошенко и Аггарвала — Крэнча оказываются примерно одинаковыми. Отсюда следует, что в практических расчетах предпочтительнее использовать более простое уравнение Тимошенко. Уравнение Аггарвала — Крэнча целесообразно ирименять при расчете двутавров с повышенной изгибной жесткостью составляющих его полос, например, сделанных из композитных материалов, пли Н-стержней с поперечными ребрами жесткости. [c.166]

Поскольку игнорирование пропущенных изгибных ветвей дисперсии недопустимо из-за больших ошибок в расчетах, пределом применимости приближенных двухволновых теорий следует считать первую критическую частоту, которая соответствует максимуму первой мнимой ветви. Обычно она расположена немного ниже первого изгибного резонанса стенки и полок. На рис. 5 она соответствует частоте jxj = 0,12 Jt. Приближенные уравнения крутильных колебаний Тимошенко (8) и Аггарвала — Крэнча (9) имеют здесь один и тот же предел применимости и дают одинаковые приближения к точным дисперсионным кривым. Можно показать, что это верно и для стержней, у которых п 0,25, т. е. практически для большинства тонкостенных конструкций двутаврового сечения. Но так как уравнение Тимошенко проще, то его использование для расчетов в этих случаях предпочтительнее. Уравнение Аггарвала — Крэнча целесообразно применять при [c.36]

Для стержней небольшой длины уравнения технической теории (см. гл. VIII) становятся неприменимыми. В этом случае необходимо использовать уравнения Тимошенко (см. формулу (93) гл. VIII), учитывающие влияние поперечных сдвигов и инерции вращения поперечных сечений. [c.200]

Изгибные волны (уточненная теория). За исходное в данном случае принимают уравнение Тимошенко (93) гл. VIII. Нахождение решения в виде (24) приводит к частотному уравнению [c.260]

Аналитическими методами был предусмотрен анализ толстостенного и тонкостенного цилиндров, а также комбинированных цилиндрических, конических и тороидальных сегментов, основанный на уравнениях Тимошенко (1940 г.) и Рейснера для тонких оболочек враш,ения, применяемых Нагди и Дасилва (1955 г.) и Кларком (1950 г.). С помош,ью счетно-решаюш их машин быстро исследовали различные сочетания параметров. [c.325]

Известен целый ряд работ, относящихся к теоретическим и экспериментальным исследованиям прямолинейных стержней при ударном нагружении [1—6]. Гораздо меньше работ лосвящено анализу криволинейн хх стержней. В 1961 г. Морли [7] вывел уравнения для криволинейных стержней типа уравнений Тимошенко [8] и получил дисперсионные кривые для непрерывного волнового движения. В работе [9], относяш,ейся к 1965 г., обсуждалась передача энергии волнами напряжений в прямых и криволинейных стержнях с возможным приложением. к высокоскоростным полиграфическим печатным процессам. Теории распространения упругих волн в спиральных пружинах малой кривизны посвящена опубликованная в, 1966 г. работа [10]. Исакович и Комарова [11] в 1968 г. исследовали при помощи теории нулевого момента распространение про-дольно-изгибных волн в пологом кривом брусе. В том же году были представлены теоретические и экспериментальные данные [12], относящиеся к дисперсии упругих волн в спиральном волноводе, а в 1971 г. были опубликованы результаты для иных форм пружин [13]. Позднее в работах [5] была рассмотрена задача о распространении волн напряжений в крутозагнутых стержнях. Наконец, в работе [14] были представлены уравнения Морли [7] в виде, пригодном для исследования распространения волн в криволинейных стержнях, и выполнены некоторые числовые расчеты для типичных примеров. В данной статье обобщена теория работы [14] и дано сравнение результатов теоретических исследований с экспериментальными данными для стержневой конструкции, состоящей из прямых и криволинейных участков. [c.199]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

В заключении второй части книги рассматриваются малые прогибы тонких упругих оболочек, излагается линеаризированная теория устойчивости оболочек. Приведенные здесь общие уравнения устойчивости цилиндрических оболочек в перемещениях, вызванных потерей устойчивости, известны как уравнения Тимошенко. Дается решение этих уравнений для случая внешнего поперечного давления и равномерного продольного сжатия. Последний случай особенно интересен. Автором впервые изучена теоретически неосесимметрвганая форма потери устойчивости и показано, что в этом случае при выпучивании по коротким продольным волнам выражение для продольной критической нагрузки совпадает с формулой для критической нагрузки при симметричном волнообразовании. Здесь описан также метод расчета на устойчивость оболочек за пределом упругости. Наконец, излагается общее решение уравнений малых осесимметричных деформаций сферической оболочки и их щ)имвнение к различным случаям нагружения. [c.7]

Уравнение Бернулл и—Э й л е р а. В этом уравнении в отличие от уравнения Тимошенко пренебрегается продольной [c.247]

Дифференциальное уравнение (5.115) поперечных колебаний прямого стержня с учетом поперечного сдвига и инерции вращения известно как (уточненное) уравнение Тимошенко или уравнение балки Тимошенко (двухмодовая аппроксимация). Вывод его можно найти в кн. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. 2-е изд, Киев Наукова думка, 1972, с. 338. См. также Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М. ВИНИТИ, [c.466]

С. П. Тимошенко общепризнанно считается автором этой уточненной теории, хотя учет инерции вращения был сделан ранее Дж. Релеем > [1.294] (1877) и впоследствии было обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения и сдвига был известен еще ранее Жану Брессу [1.120] (1859). Уравнение поперечных колебаний стержней с учетом инерции вращения и деформации сдвига обычно называют уравнением Тимошенко или уравнением балки Тимошенко, а уравнение учитывающее только инерцию вращения, — уравнением Релея. [c.14]

Фазовая скорость с 1) характеризует дисперсию волн. Чем больше кривая с 1) отличается от прямой вида с(/) = = соп51, тем больше дисперсия волн. В частности, наличие дисперсии волн для уравнения Тимошенко можно вывести из дисперсионного уравнения (3 23) фазовая скорость с зависит от / нетривиальным образом, т. е. с(/) =соп51. В большинстве случаев, к сожалению, не удается получить в явном виде зависимость с(1). [c.26]

Так как уравнения Тимошенко применимы при более высоких частотах, т. е. для исследования более быстропроте-кающих динамических процессов, чем уравнения классической теории, то естественно было рассмотреть в уточненной постановке поведение стержней в первую очередь при ударном возбуждении. Исследование соударения тел со стержнями имеет большое прикладное значение, но представляет большие математические трудности. Поэтому применение уточненной, но значительно более простой, чем уравнения теории упругости, модели, было бы весьма привлекательным. [c.57]

R. А. Anderson [1.100] (1954) исследовал распространение изгибающих моментов и поперечных сил в бесконечно длинной балке Тимошенко, возникающих вследствие действия мгновенного импульса в виде сосредоточенной силы или сосредоточенного изгибающего момента. L. L. Fontenot [1.165] (1963) обобщил эти результаты на случай действия осевой растягивающей силы N. Решения для изгибающего момента и поперечной силы получены для конечной балки со свободным опиранием, затем выполнен переход к бесконечной балке. Он интегрировал уравнения Тимошенко (2.5) и (2 6), второе из которых дополнено б левой части членом +Nd wldx , учитывающим осевую силу +N. Решения разыскиваются в виде двойных бесконечных сумм, составленных из ортогональных собственных функций. Интегралы для бесконечной балки вычисляются в коротковолновом приближении. Показано, что фронтовые возмущения распространяются двумя разрывами со скоростями [c.58]

Решение дл я прогиба иолучено методом собственных функций. Построены графики изменения прогиба в зависимости от времени в точке приложения силы. Ставилась цель сравнить решения классического уравнения и уравнения Тимошенко с корректными граничными условиями и граничными условиями, соответствующими классической теории. Показано, что все эти решения для первого максимума прогиба существенно отличаются, а учет инерции вращения влияет на прогиб незначительно. Поперечный удар упругого тела по балке в уточненной постановке (метод степенных рядов) рассматривался также в работах [1.55, 1.56] (1961). [c.61]

Колебания однородной балки Тимошенко на упругом вин-клеровом основании при действии внезапно приложенной сосредоточенной силы рассматривались А. И. Цейтлиным [1.83] (1961). Четвертая производная по времени в дифференциальном уравнении Тимошенко (2.7) не учитывается, и это дает возможность, применяя преобразование Фурье по пространственной координате, получить решение в квадратурах. Рассмотрен пример действия импульса конечной продолжительности, и показано, что отличие от классической теории существенно лишь в начальные моменты времени. [c.69]

В работе [1.320] (1962), посвященной исследованию колебаний стержня под действием аксиальной внешней силы, влияние инерции вращения учтено не полностью. В уравнении динамического равновесия моментов (в статье формула (1.3)) пропущен член, оценивающий инерцию вращения, и поэтому уравнение движения стержня отличается от волнового уравнения Тимошенко (2.7). В связи с тем, что отсутствут ет четвертая производная по времени, уравнение можно решить методом разделения переменных. [c.77]

J. Porat и М. Ni r [1.282] (19i71) анализируют уравнения Тимошенко для вращающегося вала с учетом гироскопических аффектов, внешних периодических воздействий и возмущающих сил порождаемых внутренними несовершенствами вала. Уравнение для проги- [c.88]

В ряде работ содержится частичный анализ сдвиговой модели Тимощенко, соответствующий следующим моделям а) учитывается только инерция вращения б) учитывается только деформация поперечного сдвига в) рассматриваются чисто сдвиговые колебания (без изгиба) г) в уравнении Тимошенко (2.7) отбрасывается четвертая производная от прогиба по времени. Рассмотрение таких моделей в основном связано с трудностями решения уравнений балки Тимошенко ). Первые три случая имеют механическое обоснование. Второй случай наиболее интересен, т. к. эффект инерции вращения в большинстве случаев действительно мал по сравнению с эффектом деформации поперечного сдвига. Третий случай может представлять практический интерес, например, в сейсмологии. [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...