Описание систем в пространстве состояний

Описание систем в пространстве состояний 47 [c.532]

Значительная часть книги посвящена описанию управляющих алгоритмов с параметрической оптимизацией, с компенсацией нулей и полюсов и конечным временем установления переходных процессов, синтез которых осуществляется в рамках классических методов, а также алгоритмов управления по состоянию и алгоритмов с минимальной дисперсией, полученных с помощью современных методов, основанных на представлении систем в пространстве состояний и использующих параметрические стохастические модели сигналов и объектов управления. С целью демонстрации свойств различных алгоритмов в цепях прямых и обратных связей замкнутых контуров управления проводилось их математическое моделирование на универсальных ЭВМ. Кроме того, многие алгоритмы были реализованы на управляющих ЭВМ, оснащенных пакетами прикладных программ. Работоспособность этих алгоритмов оценивалась по результатам практических экспериментов, в которых к управляющим ЭВМ подключались аналоговые модели, а также тестовые и реальные технологические объекты. [c.9]

Методы описания систем с задержками в пространстве состояний рассматриваются в ряде работ, в частности [3.1] и [3.2] (см. также раздел 9.1). [c.55]

Метод обобщенных координат, применяемых для описания движения (состояния) системы со связями, допускает важную математическую интерпретацию. Пространство, образованное совокупностью обобщенных координат д , носит название пространства конфигураций. Оно имеет 5 измерений. Поскольку состояние системы п материальных точек в любой момент времени задается набором координат ( 1, 2,. .., дз), то оно тем самым задается положением точки, изображающей систему в пространстве конфигураций. Несмотря на формальный характер этого математического приема, он оказывается весьма полезным в ряде вопросов физической теории. Например, описание движения системы с помощью изображающей точки оказывается эффективным и наглядным, если число измерений конфигурационного пространства мало. [c.169]

Причем легко может быть осуществлен переход между моделями во временной области, в пространстве состояний и в частотной области. Выбор описания системы включает в себя определение детерминированных и стохастических входных и выходных сигналов, непрерывных и дискретных передаточных матриц, непрерывных и дискретных моделей в пространстве состояний, матричных дробей. Для преобразования моделей систем и процедур проектирования регуляторов обычно используют численные методы, обеспечивающие эффективное и точное решение сложных задач. [c.152]

Все эти модели могут описывать одну и ту же систему, поэтому возможен переход от одного способа описания к другому. Например, если задать передаточную функцию Н (s), то затем можно определить дискретную передаточную функцию Н (z) модели в переменных состояния, временные и частотные характеристики. Такие вычисления называют преобразованиями. Но не все преобразования являются прямыми. Временное и частотные характеристики не содержат информации о порядке. Поэтому каждое преобразование от временных или частотных характеристик к передаточной функции или модели в пространстве состояний требует оценки порядка. [c.218]

Для перехода от одного описания к другому, за исключением способов 4 и 5, предусмотрены соответствующие программы. Во многих случаях такое преобразование осуществляется с помощью модели в пространстве состояний, поскольку в этом случае алгоритмы понижения порядка модели за счет исключения неуправляемых или ненаблюдаемых частей более наглядны с вычислительной точки зрения. Это замечание применимо к библиотеке в целом, в которой широко используются модели в пространстве состояний для анализа и синтеза систем. К сожалению, проблема, связанная с ошибками округления для алгоритмов преобразования полиномиальных или рациональных функций, недостаточно изучена. Поэтому на начальном этапе в качестве основного было выбрано описание в пространстве состояний, в котором используются операции только с действительными или комплексными матрицами. [c.273]

Для описания систем использованы модели в пространстве состояния, передаточные функции или дискретные модели. Возможен переход от одного описания системы к другому. Примитивы проектирования включают в себя задачу размещения собственных значений, ЛКГ-задачу для регуляторов и фильтров, задачу синтеза системы с эталонной моделью. Примитивы анализа позволяют получить переходные характеристики при различных воздействиях (импульсном, ступенчатом, линейном с ограничением и произвольном). Примитивы частотного анализа позволяют получить логарифмические частотные характеристики, годограф Найквиста, диаграмму замыкания, собственные значения и корневой годограф. Кроме этого, в пакет включены и другие операции матричного анализа и цифровой обработки сигналов. [c.328]

В статье рассмотрены вычислительные проблемы, связанные с численным решением алгебраического матричного уравнения Риккати. Описанный подход к решению алгебраических уравнений Риккати общего вида как непрерывных, так и дискретных, основан на использовании обобщенной проблемы собственных значений. Эти уравнения возникают в задачах управления и фильтрации для систем, представленных в обобщенной форме в пространстве состояний. Рассмотрена итеративная процедура для рещения уравнения Риккати, проблема численной обусловленности задачи. Для улучшения численной обусловленности предложено использовать балансировку. Приводятся описание пакета прикладных программ на языке ФОРТРАН и результаты вычислительных экспериментов. [c.338]

Описанная модель экстремального регулятора характеризуется четырьмя положительными физическими параметрами Т, а, А и 6. Согласно уравнениям (4.32), управляющий автомат обладает двумя состояниями, которым соответствуют значения выхода т) = + 1 и т] = — 1. Фазовыми переменными экстремального регулятора, который представляет собою автономную динамическую систему, в соответствии с уравнениями (4.31) и (4.32), являются переменные , ф и состояние т] 1 или т] = — 1 управляющего автомата. Фазовое пространство состоит из двух плоскостей иф. На одной плоскости величина т] = + 1, а переменные и, ф подчиняются дифференциальным уравнениям [c.95]

С другой стороны, наступление момента конкуренции процессов Z)iA 4-сборки можно интерпретировать как приближение в системе к порогу перколяции в отношении напряженности и взаимодействия локальных силовых полей от сформированных фрактальных кластеров. Достижение же критического значения концентрации фрактальных кластеров конденсированной фазы обусловливает перколяционную структуру электрических взаимодействий между ними. Для систем, погруженных в пространство с евклидовой размерностью Е=Ъ фрактальная размерность частиц, соответствующая порогу перколяции, Df 2,5 [35]. В условиях стационарного воздействия на систему отрицательного температурного градиента (охлаждения системы внешней средой) описанное состояние системы катализирует таким образом дальнейший процесс агрегации по ССЛ-механизму. Подобным образом развивается волнообразный цикличный характер дальнейшей цепочки фазовых переходов второго рода (рис. 3.13), обусловливающий наиболее эффективный путь диссипации энергии посредством структурообразования по иерархическому принципу в открытой неравновесной системе охлаждаемого расплава. [c.135]

При описании эволюции синергетических систем необходимо учитывать, что все они состоят из большого числа подсистем. Это требует введения многих переменных q , q , 3,. .., q . Их называют переменными состояния [23]. При этом важно выделение уровней описания микроскопического (отдельные атомы, молекулы), мезоскопического (ансамбли атомов и молекул) и макроскопического (непрерывные протяженные области атомов и молекул). Соответственно при описании эволюции системы на мезоскопическом уровне переменные относятся к ансамблям атомов или молекул, а на макроскопическом — к непрерывно протяженным областям атомов и молекул. Так, для описания роста кристаллов с помощью эволюционных уравнений вводятся переменные двух типов q x, t) и q iix, t), где <7i относятся к плотности молекул в жидкости, а q — в твердой фазе. Описание временных изменений системы в пространстве приводит к нелинейному стохастическому уравнению в частных производных общего типа. [c.19]

В этой теории всякая система — это некоторое теоретико-множественное отношение [18], задаваемое на множестве ее входов и выходов. Сложное теоретико-множественное отношение можно представить в виде композиции некоторых более простых отношений. На основании этого в общей теории систем вводится понятие об уровнях описания систем и декомпозиции систем, т. е. о расчленении их на подсистемы и элементы. Когда говорят об уровне описания систем, имеют в виду, что в композиции отношений, полностью определяющей систему, выделено какое-то одно отношение, представляющее систему приближенно (в определенном аспекте) без учета некоторых особенностей поведения. В соответствии с теоретико-системным подходом при исследовании АСУ полезно выделить информационно-логический и реализационный уровни описания. На информационно-логическом уровне описания АСУ исследуется только с точки зрения смысла и значения происходящих в ней информационных процессов. Описание АСУ на ИЛ-уровне представляет информационно-логическую структуру. Наиболее подробная декомпозиция ИЛС, рассматриваемой как отношение, позволяет выделить в ней некоторые простейшие ИЛ-элементы показатели и операторы. Экономическая динамика народно-хозяйственных объектов, управляемых с помощью АСУ, отображается показателями. Показатели можно рассматривать как некоторые обобщенные координаты пространства состояний систем управления данного вида. [c.6]

Кристаллы представляют собой систему частиц (атомов, молекул, ионов), правильно расположенных в пространстве, между которыми действуют силы притяжения и отталкивания электрического происхождения. Задача атомной теории твердого состояния заключается в описании физических свойств кристалла, исходя из свойств частиц и учета взаимодействия между ними. Первой атомной теорией кристаллов является теория ионных кристаллов Борна [1—6], позволившая удовлетворительно вычислить ряд констант кристалла, исходя из свойств ионов, образуюш,их решетку. Теория Борна также дала возможность впервые вычислить прочность на разрыв (определение см. ниже) для ионных кристаллов при рассмотрении идеальной (т. е. бездефектной и без учета влияния температуры) решетки. Впоследствии подобные вычисления были проделаны и для других категорий кристаллов. [c.15]

Процессы, самопроизвольно, т.е. без вмешательства извне, происходящие в системе по пространству состояний только в одном направлении и при которых система проходит последовательность неравновесных состояний, называются необратимыми. Характерно, что только конечное состояние процесса является состоянием истинного равновесия. Для описания необратимого процесса и системы в целом недостаточно знания форм энергии, входящих в основное уравнение Гиббса. По мере протекания процесса система часто разбивается на отдельные системы, между которыми может происходить обмен дополнительными формами энергии. Например, внутри системы появляются вихри, потоки, поля и т.п., которые исчезают по мере протекания процесса. Интенсивные термодинамические параметры таких систем обычно не определены, путь процесса как последовательность состояний нельзя указать. При таких условиях интегрирование дифференциального уравнения Гиббса невозможно, так как в рамках классической термодинамики описать происходящие в системе процессы нельзя. [c.29]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Основой общего подхода служит понятие локального равновесия. Для очень широкого класса систем, не находящихся в термодинамическом равновесии, такие термодинамические величины, как температура, концентрация, давление и внутренняя энергия, локально остаются вполне определенными, т. е. для таких систем может быть построено разумное термодинамическое описание, в котором такие интенсивные переменные, как температура и давление, вполне определены в любом элементарном объеме а такие экстенсивные переменные, как энтропия и внутренняя энергия, заменены их плотностями. Таким образом, термодинамические переменные можно рассматривать как функции положения в пространстве и времени. Это и есть гипотеза локального равновесия. Существуют системы, для которых гипотеза локального равновесия не является хорошим приближением, но это исключения из общего правила. Для большинства гидродинамических и химических систем локальное равновесие служит превосходным приближением. Численное моделирование на современных компьютерах молекулярной динамики показало, что если первоначально система находится в таком состоянии, когда температура не вполне определена, то она за короткое время релаксирует в состояние, в котором температура является вполне определенной величиной [20]. [c.97]

SYNPA . Пакет SYNPA ориентирован на описание систем в пространстве состояний. В него включены средства для расчета параметров обратных связей по состоя- [c.25]

Книга состоит из тридцати глав, объединенных в семь разделов, и приложения. В первом разделе приводятся основные понятия и определения теории цифровых систем, а также способы их описания с помощью г- и -преобразований, получивших широкое практическое применение. Здесь автор исследует методы преобразования непрерывных сигналов в цифровую форму и их воспроизведение с помощью экстраполяторов различных типов. Анализируются ошибки, связанные с квантованием сигналов по времени и по уровню. На основе этих представлений строятся модели цифровых систем в пространстве состояний. В конце раздела излагаются основные положения теории устойчивости. Приводимые алгебраические и частотные критерии устойчивости удобны для выполнения расчетов на ЭВМ. [c.5]

Пакет LADP [31. Кембриджский пакет анализа и проектирования линейных ( систем позволяет проектировать одномерные и многомерные системы с помощью классических частотных методов. К ним относятся методы, основанные на логарифмических частотных характеристиках, годографах Найквиста и Николса, корневых годографах, а также методы моделирования полученных линейных систем. Для многомерных систем используются метод характеристических годографов и метод годографов Найквиста. Робастность многомерных систем можно исследовать с помощью графиков вырожденных значений. В пакете предусмотрен ряд специальных команд, позволяющих пользователю переходить от описания, системы в пространстве состояний к преобразованию Лапласа и наоборот. Имеется возможность исследовать не только непрерывные, но и дискретные системы, строить графики на w-плоскости и переходить от описания дискретной системы в пространстве состояний к г-преобразованию. [c.196]

Параграф 5 посвящен исследованию иерархических дефектных структур, возникающих в процессе развитой пластической деформации. Сначала рассмотрена ситуация, отвечающая процессу ползучести твердого тела (п. 5.1). Эволюция системы дефектов представлена как немарковская цепь термофлуктуационных скачков по минимумам фрактального рельефа, отвечающего термодинамическому потенциалу дефектной кристаллической структуры. Установившаяся ползучесть связывается с атермическим преодолением барьеров. Выяснена природа критического замедления при логарифмической ползучести. Найдены возможные виды временнбй зависимости деформации. Построена диаграмма ползучести в осях напряжение — температура. В п. 5.2 проводится обобщение на произвольный режим деформирования. Исходя из картины потенциального рельефа многоуровневой системы, делается вывод о фрактальной природе иерархически соподчиненной дефектной структуры. Для ее описания вводится ультраметрическое пространство состояний, точки которого отвечают отдельным ансамблям дефектов, образующих неэргодическую систему. Структурная релаксация представлена как диффузия в ультраметрическом пространстве. [c.223]

Важнейшую роль в современной теории систем управления, в особенности при проектировании многомерных систем, играет метод пространства состояний. Переход к описанию в пространстве состояний может осуществляться различными способами. Ниже демонстрируются два из них. Первый заключается в прямой подстановке новых переменных в разностное уравнение, основу второго составляет аналитическое решение дифференциального уравнения, описывающего линейную систему с экстраполятором нулевого порядка. [c.47]

Желательно иметь средства для задания систем с помощью различных описаний. Например, линейную систему, заданную в пространстве состояний, можно опеделить следующим образом [c.22]

Реализация. Наши пакеты были разработаны с самого начала. В будущих разработках можно будет использовать многие проверенные модули. Для описания систем управления потребуются сложные структуры данных. Большинство задач могут быть сформулированы только в терминах массивов. В этих терминах описание линейной системы в пространстве состояний или описание сигналов занимает слишком много времени. Многие задачи могут быть решены с привлечением матричных языков MATLAB и MATRIX [57, 751. Однако ясно, что полезно использовать более сложные структуры данных (см. разд. 4), включающие в себя понятия полиномов, рациональных функций и другие (например, описание иерархической системы подсистемами). [c.33]

Могут быть получены временные и частотньхе характеристики для произвольной пары вход-выход. Графические возможности аналогичны рассмотренным в пакете для анализа линейных систем. Кроме того, пакет позволяет получить представление системы в виде передаточных матриц из ее описания в пространстве состояний. [c.93]

Пример 1. Первый пример показывает ввод параметров системы, описанной передаточной функцией, преобразование ее описания в пространство состояний, вычисление временных и частотных характеристик и проектирование простого регулятора. Рассмотрим систему, представленную на рис. 4. Для описания этой системы в терминах комплекса TRL- коэффициенты числителя и знаменателя представим в следующем виде [c.108]

Вспомогательные программы. Проектировщик систем управления затрачивает много времени на решение на ЭВМ следующих задач определение корней полиномов, обращение матриц, получение описания систем, построение модели в пространстве состояний по передаточной функции и наоборот и т. п. В комплексе программ LADP предусмотрены средства для решения всех этих и подобных задач. Наиболее мощными из них являются программы для матричных преобразований. Эти возможности лучше продемонстрировать на примере. [c.123]

Анализ данных и идентификация систем (табл. 4). Пакет MATRIXx позволяет очень легко и эффективно проводить анализ данных и идентификацию. Графи еские возможности пакета допускают применение пакетных и рекуррентных методов идентификации. Для простой передачи данных предназначен универсальный интерфейс. Можно отбраковывать и анализировать данные, а также исключить временной дрейф. Пакетные процедуры включают в себя стандартные регрессионные методы с анализом дисперсии и методы пошаговой регрессии. Кроме того, процедуры пакетного метода максимального правдоподобия могут быть применены к нелинейным системам и системам, описанным в пространстве состояний. Из рекуррентных алгоритмов реализованы метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и модифицированный обобщенный фильтр Калмана. Для определения ковариационных функций и спектральных плотностей предусмотрены непараметрические пакетные и полу пакетные методы на основе быстрого преобразования Фурье. Для синтеза алгоритмов адаптивного управления многомерными системами используются простые команды. [c.173]

Возможности программного обеспечения проектирование в режиме оп-Ипе , анализ и моделирование одномерных и многосвязных систем. Гибкие средства ввода-вывода данных, сервисные программы. Для анализа и проектирования одномерных систем используются методы Найквиста, корневого годографа, логарифмические характерист ики и диаграмма замыкания. Для анализа и проектирования многосвязных систем используется инверсный метод Найквиста (для непрерывных и дискретных систем). Для анализа систем применяются модели в пространстве состояния, описания в форме передаточных функций и эксп и-ментальные частотные характеристики. Численные методы основаны на QR-и QZ-алгоритмах, алгоритмах нахождения собственных значений комплексной матрицы, инверсном и обобщенном алгоритмах Фадеева, алгоритме минимальной реализации. Максимальная размерность систем 50 состояний или 50-й порядок характеристического уравнения. [c.313]

Возможности программного обеспёчения пакет LADP содержит набор алгоритмов для анализа и проектирования многомерных систем управления. Для анализа в пакете применяются обобщенные частотные методы, в том числе обобщенный метод Найквиста, метод главных годографов (для нередаточных матриц разомкнутой и замкнутой системы и матрицы чувствительности), метод инверсного годографа Найквиста, метод многомерных корневых годографов. Применение пакета позволяет осуществлять имитационное моделирование для широкого диапазона входных воздействий, вычисление полюсов и нулей, матричные преобразования предусмотрена возможность создания макрокоманд. Методы проектирования в пространстве состояний включают в себя решение ЛКГ-задачи, построение фильтра Калмана и решение задачи о размещении полюсов. Пакет предназначен для проектирования непрерывных и дискретных систем со многими параметрами, системы управления рассчитываются в нескольких рабочих точках. Предусмотрена возможность учитывать некоторые иррациональные передаточные функции, в том числе для чистого запаздывания и некоторых распределенных систем. Возможно взаимное преобразование между описанием системы с помощью непрерывных и дискретных передаточных функций и описанием в пространстве состояний. , [c.316]

Возможности программного обеспечения это интерактивная программа предназначена для анализа и проектирования линейных одномерных систем. Для описания линейных систем можно использовать семь различных способов. Для непрерывных систем это — передаточная функция Н (s), модель в пространстве состояния и частотные характеристики. Для дискретной системы это — дискретная передаточная функция Я (г), а также модель в пространстве состояния и частотные характеристики. Переходные характеристики можно использовать для описания как непрерывной, так и дискретной системы. Программа TRIP обеспечивает переход от одного описания системы к другому. Например, взяв за основу передаточную функцию Н (s), можно вычислить функцию Н (z), модель в переменных состояния, временные и частотные характеристики. Такие вычисления называются преобразованиями. Программа TRIP обеспечивает 35 таких преобразований. Кроне того, предусмотрены следующие операции вычисление оптимальной обратной связи по состоянию, вычисление корневого годографа, быстрое Фурье-преобразование, метод наименьших квадратов, фильтрация, подбор кривой по точкам, решение уравнений Риккати и Ляпунова, Вычисление годографа Найквиста, логарифмических частотных характеристик и некоторые другие. [c.317]

В статике рассматривались механические силовые взаимодействия материальных тел в равновесных их состояниях. В кинематике были установлены методы изучения происходящих в пространстве и во времени механических движений материальных тел и их систем, но вне связи с механическими взаимодействиями, обусловливающими эти движения. Динамика ставит целью изучение движения материальных тел в связи с механическими взаимодействиями между ними. При этом динамика заимствует у статики законы сложения сил и ириведеиия сложных их совокупностей к простейшему виду и пользуется принятыми в кинематике приемами описания движений. Задачей динамики является установление законов связи действующих сил с кинематическими характеристиками движений и применение этих законов к изучению частных видов движений. Лучше всего это сформулировано самим Ньютоном (1642—1726), создателем классической системы механики. Динамика должна, говорит он, по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам изъяснить остальные явления ). Эта формулировка точно передает сущность динамики и будет подробно разъяснена в дальнейшем. [c.9]

Ф ЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в статистической физике, многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщённые координаты и импульсы р-, ( =1, 2,. .., М) механич. системы с N степенями свободы. Т. о., Ф. п. имеет размерность 2N. Состояние системы изображается в Ф.п. точкой с координатами 51, р , i(fi, рц, а изменение состояния системы во времени—движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определ. значению энергии системы, образуют в Ф. п. (2JV- 1)-мерную поверхность, делящую пространство на две части — более высоких и более низких значений энергии. Поверхности разл. значений энергии не пересекаются. Траектории замкнуюй системы (с пост, значением лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики, такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистич. описания состояния системы из мн. частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма Ф. п.) и функции распределении системы — вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма. Понятие Ф.п.— основное для классич. статистич. физики (механики), изучающей ф-ции распределения системы из мн. частиц. Д. Н. Зубарев. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в теории динамических систем—абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т. д.). [c.267]

Причина столь резких высказываний связана с тем, что квантовая механика в течение длительного времени развивалась без привлечения подходов физики. Можно сказать, что И. Пригожин открыл дверь из тюрьмы. Квантовая теория И. Пригожина базируется на междисциплинарном подходе к анализу сложных систем микромира, включающем рассмотрение эволюции систем на основе объединения достижений неравновесной термодинамики (неравновесные физико-химические процессы), физики (механизм необратимости процесса), математики (условия интегрируемости и не интегрируемости функций), механики (нелинейный резонанс) и др. Это позволило дать единую формулировку квантовой теории, с учетом того, что как в классической, так и в квантовой механике, существуют описания на уровнях траекторий, волновых функций или статических распределений (распределение вероятности). Когда речь идет о том, что система находится в определенном состоянии, с точки зрения классической механики, это состояние отвечает точке в фазовом пространстве, а в квантовой теории - это волновая функция. В перовом случае мы имеем дело с макромиром, а во втором -с микромиром (наномиром), для которого каждому значению энергии частицы соответствует определенная частота колебаний (о [c.66]

В рамках принятой картины эволюция дефектов, определяющая процесс ползучести, представляется следующим образом. При нагрузке в области неэргодичности Т < Т сг) за микроскопическое время Tq устанавливается термодинамическое равновесие в каждой из подсистем дефектов, отвечающих областям Г . Затем происходит перекрытие этих областей, отвечающее движению в ультраметрическом пространстве структурных уровней. Геометрическим образом такого пространства является дерево Кейли, приведенное на рис. 38 б. Здесь структурные уровни изображаются горизонтальными линиями, узлы дерева отвечают дефектам данного типа, связь между ними указывают ветви дерева. Рис. 38 показывает соответствие между иерархическим деревом и фрактальной зависимостью термодинамического потенциала в конфигурационном пространстве состояний. Впервые концепция ультраметрического пространства и соответствующая ей фрактальная термодинамика использовались для описания критически замедленной эволюции спиновых стекол, обладающих однородным ультраметрическим пространством [85]. В отличие от них дефекты кристаллического строения представляют, как будет видно далее, сильно неоднородную иерархическую систему. [c.283]

Чтобы получить интересующее нас описание макроскопического состояния вещества, мы должны из микроскопических уравнений вывести уравнения, которые содержат физические величины, меняющиеся в пространстве и времени намного медленнее, чем микроскопические поля е и Ь. Таким образом, мы должны сгладить решения уравнений для точечных зарядов при помощи некоторой процедуры осреднения. Макроскопические величины следует определить как статистические средние по большому ансамблю систем частиц, содержащихся в микроэлементе объема АУ. Полученные таким образом макроскопические величины могут рассматриваться как достаточно гладкие функции пространственных координат и времени, за исключением, быть может, некоторых сингулярных поверхностей и линий, как это имеет место и в других разделах физики сплошных сред. Принятую процедуру осреднения можно обрисовать следующим образом [Mazur, Nijboer, 1953]. Статистическое осреднение символически записывается в виде [c.166]

Заметим еще, что в термодинамике и статистической теории, рассматривая системы, соразмерные, с наблюдателем (мы будем условно называть их системами лабораторных размеров), мы будем фиксировать их состояние не только во вре- мени (т. е. писать + где, как уже отмечалось, в случае квазистатической теории М > Тполн), но и в пространстве (или выделять Отдельные части системы), т, е. писать х и х + йх. И тут следует снова напомнить различие в понимании математической символики в математике и физике. В математике и <й — бесконечно. малые величины в традиционном идеальном их понимании. В физических теориях (даже в меднике) они малы в масштабах, принятых для описания данной системы и происходящих в ней явлений, но при этом всегда остаются значительно больше каких-то характерных микроскопических масштабов 6х и 61 (в связи с этим величины dx и дЛ, называют иногда физическими или макроскопическими бесконечно малыми величинами). Соответственно переосмысливаются понятия непрерывности функции, ее производной й т. д. Для статистических систем эти масштабы 6х и Н достаточно четко определены, и мы будем об этом своевременно еще говорить. [c.12]

Чтобы перейти от общего случая к классическому описанию систем N частиц, мы могли бы воспользоваться процедурой квази-классического перехода (именно в результате этого перехода появляются траектории отдельных частиц и другие атрибуты классического рассмотрения) и получить все, что надо, так сказать, без идейных затрат. Но нас сейчас интересуют не квантовые поправки и не критерии классичности системы, а лишь способ фиксации состояния. Поэтому вспомним просто механику, в которой микроскопическое состояние материальных точек можно полностью определить, задав в какой-либо определенный момент времени t их координаты g = (Г[,..., гдг) и импульсы р — (Pi,..., Рлг)- Иными словами, микроскопическое состояние классической системы можно задать как точку (9>Р) = (гь i rAr, Pi,. , Рлг) в бЛГ-мерном пространстве импульсов и координат частиц, которое называется фазовым пространством. Эволюция этого состояния описывается уравнениями классической механики, например системой канонических уравнений Гамильтона (W. Hamilton, 1834) [c.24]

Вместе с тем с точки зрения квантового подхода — это одно и то же состояние. Чтобы избежать этих повторений при переходе от общего квантовомеханического описания системы к классическому, мы должны либо ограничить область фазового пространства многомерным клином, так чтобы любая перестановка индексов частиц выводила бы фазовую точку р, д) за пределы области рассмотрения и не учитывалась бы (на рис. 15 — это заштрихованная область), или, используя все фазовое пространство, учесть, что каждое тождественное с точки зрения квантовой теории состояние в предельном классическом случае будет повторено N1 раз (число перестановок друг с другом N индексов частиц 1, 2, 3,..., М). Поэтому в появляющихся в результате квазиклассического перехода интегралах по фазовому пространству р,д), под знаком которых стоят функции от динамических величин для системы N одинаковых частиц (функция Гамильтона Н р,д) и т.д.), которые в силу тождественности частиц не изменяются при перестановках их индексов, необходимо либо ограничить указанным выше способом область интефирования в пространстве (р, д), либо интегрировать по всему фазовому пространству, повторяя при этом каждое доклассическое состояние систе мы N1 раз, и затем, чтобы не получить величину, в ЛГ раз большую допредельной, разделить весь интефал на ЛГ . [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...