Порядок сходимости

Для многих краевых задач сходимость разностной схемы является следствием аппроксимации ею краевой задачи и устойчивости. При этом порядок сходимости относительно шага совпадает с порядком аппроксимации. [c.47]

На рис. 5.5 приведены преобразованные подграфы /—13 для структурного графа (см. рис. 5.4). Сходящиеся к узлу ветви показывают, над какими переменными совершается данная операция. Для операции деления ветвь, соответствующая числителю, должна сходиться к верхней половине узла, а ветвь, соответствующая знаменателю,— к нижней. Для остальных операций порядок сходимости не имеет значения. Исходящие из узла ветви указывают направления дальнейшей переработки расчетной информации. Коэффициенты передачи и знаки ветвей на графе для простоты не указываются. С аналогичной целью все входные переменные, принятые постоянными при расчете, обозначены буквой П. Объединяя соответствующим образом преобразованные подграфы, получим полный операционный граф для рассматриваемого расчетного блока. [c.127]

Понятие устойчивости. Разностная схема называется сходящейся, если при /г- -О сеточное решение стремится к точному Uh- u. Если U—Uh=0(hp), то порядок сходимости равен р. Схемы, обладающие свойством аппроксимации, могут быть ие-сходящимися. Приведем пример такой схемы. Для уравнения [c.83]

Как видно из таблицы, порядок сходимости как для перемещений, так и для моментов равен /г , так как с удвоением сетки погрешность (разность между точным и приближенным решением) убывает в 4 раза. [c.20]

Совместный прямоугольный элемент с четырьмя степенями свободы в узле. Выше (см. п. 1—3) приведены аппроксимирующие функции (1.22) для этого совместного конечного элемента (рис. 2.4) и исследован порядок сходимости, который для напряжений равен а для перемещений h. Матрица жесткости этого элемента, полученная на основе (1.8), (1.22), (2.5), приведена в табл. 2.4, в которой принято [c.36]

Несовместный прямоугольный элемент с тремя степенями свободы в узле. Выше (см. п. 1.3) приведены аппроксимирующие функции (1.25) для этого несовместного конечного элемента (см. рис. 2.4) и исследован порядок сходимости, который для на-, пряжений и перемещений равен h . Матрица жесткости этого элемента, полученная на основе (1.8), (1.25), (2.5), приведена в табл. 2.5. В ней принято [c.38]

Матрица жесткости строится на основе (1.8), (2.5), (2.8). Поскольку представление матрицы жесткости в формульном виде затруднено (отдельные элементы матрицы содержат до 50 членов), целесообразно ее непосредственное получение программным способом по алгоритму (см. гл. 4). Исследования, проведенные в работе [34], показывают, что порядок сходимости этого элемен- та по напряжениям и перемещениям равен h. [c.43]

Этот элемент является совместным. В данном случае р=1 и т= и согласно (1-14), (1.15) порядок сходимости этого элемента по перемещениям равен h , а по напряжениям —/г. Матрица жесткости, построенная на основе (1.8), (2.22), (2.23), приведена в табл. 2.15, в которой принято [c.58]

Порядок сходимости первоначального ряда (20) был всего lin. Таким образом, посредством преобразования по соотношению (21) с одной стороны выделено элементарное решение, относящееся к прогибу балки в отсутствии пластины, а с другой стороны, значительно улучшена сходимость тригонометрического ряда для прогиба ребра жесткости. Указанный способ улучшения сходимости принадлежит А. Н. Крылову [9]. [c.150]

Однако ряды, входящие в < имеют порядок сходимости [c.201]

Таким образом, порядок сходимости равен если и лежит в 3 , или, другими словами, если / лежит в 5 . Скорость сходимости здесь та же, что и для простейшего метода конечных элементов в разд. 1.6, но доказательство гораздо проще. [c.35]

Что происходит, если в решении и есть особенность, препятствующая его принадлежности пространству На равномерной сетке порядок сходимости определенно будет понижен. Если и обладает только г производными, суммируемыми в квадрате, то ошибка в энергии будет убывать, как а g как /i2(ft-m). [c.184]

В этом случае будем говорить, что i[i —порядок сходимости, или, что то же, что имеет место сходимость 0(h ), п писать [c.110]

Как следствие получить оптимальный выбор г(К), максимизирующий порядок сходимости (таким образом, что касается по- [c.146]

Поэтому, несмотря на более высокий (ожидаемый) порядок сходимости, метод Ньютона для наших целей менее предпочтителен, чем (2.55). В самом деле, при малых Л используется только по одной итерации как того, так и другого метода. Но конструкция систем линейных алгебраических уравнений метода Ньютона намного сложнее. Это и приводит к большей эффективности итераций (2.55). [c.255]

Порядок сходимости определяется следующей формулой [c.216]

Таким образом, установив порядок обхода узлов, легко формализовать алгоритм итерационного метода поиска значений в узловых точках. Как только во всех узлах будет выполнено (4.70), на этом процесс поиска заканчивается. Имеется ряд способов ускорения сходимости итерационного метода, которые изложены в [67]. [c.112]

Таким образом, установлены следующие фундаментальные особенности интеграла Лапласа (изображения по Лапласу). Интеграл сходится в полуплоскости Re /7 > Sq, где Sq — показатель роста оригинала, и равномерно сходится в полуплоскости s Si > > So, где Sj — произвольное сколь угодно близкое к о число (но не равное ему). Равномерная сходимость интеграла Лапласа и непрерывность по параметру р подынтегрального выражения / (/) обеспечивают непрерывность интеграла (изображения) в полуплоскости Re /7 > о и делают возможным при интегрировании изображения F (р) изменять порядок интегрирования в получаемом двукратном интеграле. Наконец, интеграл Лапласа (изображение F (р)) есть функция аналитическая при Re р > Sq, допустимо дифференцирование под знаком интеграла при Re р > о и при Re /7 -> + оо интеграл Лапласа исчезает (см. (6.37) ). [c.202]

В интеграле (6.63), рассматриваемом как двойной интеграл, интегрирование осуществляется по области, показанной на рис. 6.5, т. е. по внутренней части угла л/4. Меняя порядок интегрирования (что допустимо в силу абсолютной сходимости двойного интеграла (6.63) ), получаем [c.208]

Если, кроме того, [ы] — с /i, с > О, /г > О, то имеет место сходимость порядка Л тогда говорят, что разностная схема имеет А-й порядок точности. [c.230]

Можно повысить порядок точности разностной задачи. Для этого необходимо воспользоваться представлением производной по формуле (7.4), со вторым порядком аппроксимации. Если при этом дополнительные условия (в данном случае начальные) также будут аппроксимированы со вторым порядком, то при условии сходимости разностная задача будет иметь второй порядок точности. [c.231]

Теорема Евзерова дает возможность не только устанавливать порядок сходимости метода при использовании известных несовместных элементов, но и конструировать новые элементы. Схема конструирования новых элементов такова [c.13]

Прямоугольный конечный элемент плоского напряженного состояния. Для этого элемента приведены (см. п. 1.3) аппроксимирующие функции (1.20) и иссяедован порядок сходимости, который совпадает с треугольным элементом. Вместе с тем численные эксперименты показывают, что решение, полученное на основе прямоугольного элемента, гораздо ближе к точному, чем на основе треугольного. Это объясняется наличием в аппрокси-, мирующем полиноме для прямоугольного элемента члена ху, что обусловливает переменные значения деформаций и напряжений по области Qr, в то время как у треугольного элемента они постоянны. [c.34]

Суммируя матрицы, приведенные в табл. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 или в табл. 2.9, 2.10, 2.13, 2.14, получим суммарную матрицу жесткости для стержня на упругом основании. Порядок сходимости полученного элемента по перемещениям равен h, а по напряжениям— h . Полученные здесь матрицы жесткости можно использовать для расчёта конструкций на винклеровом основании., В этом случае С является коэффициентом Винклера, а Сг = 0. [c.56]

Условие регулярности содержит предположения о свойствах преобразования, переводящего произвольный элемент в стандартный элемент. При объединении этих предположений с леммой Брамбла — Гильберта можно получить оценки типа (5.4), т. е. определить порядок сходимости конечноэлементной аппроксимации. Поэтому основное значение леммы Брамбла — Гильберта состоит в получении оценок для ошибок интерполяции. Лемма одинаково хорошо может использоваться при оценке ошибок для любой формы аппроксимации, представимой как проекция на пространство кусочных полиномов. Чтобы применить лемму, сначала необходимо сделать некоторые предположения относительно типов функций, лежащих в основе конечноэлементной аппроксима-дии. [c.122]

Сьярле и Равьяр (1972Ь) показали, что оценки вида (5.18) справедливы также для некоторых изопараметрических элементов с одной криволинейной стороной в частности, они установили порядок сходимости для двух специальных случаев [c.131]

Пусть Ф —функция из 5 ( Же, удовлетворяющая уравнению Ритца — Галёркина а Ф, о ) — (/, ю ) для всех Тогда порядок сходимости по энергии что эквивалентно порядку сходимости т-х производных) равен наилучшему возможному порядку аппроксимации, который можно достичь в 5 [c.144]

Независимо от того, выбирается и как интерполянт функции о или как ее аппроксимация по методу наименьших квадратов, начальная Ошибка е(0) = Рыд —имеет порядок С/г ыо1й. Из неравенства (19) немедленно следует основная теорема, дающая правильный порядок сходимости, хотя формулируемые оценки не обязательно будут самыми точными. [c.290]

В разд. 2.4 определяются с.ходимость н порядок сходимости для се.мейстиа дискретных задач. При этом решающее значение имеет лемма ea Ошибка и — т. е. расстояние (измеряемое в норме пространства V) между решением и исходной задачи и решением дискретной задачи (с точностью до постоянной, не зависящей от пространства Vf,) ограничена сверху расстоянием inf fu—Vf ] между функцией и и подпросгранством У ,. Факти- [c.47]

Следовательно, мы пришли к важному заключению Для того чтобы сохранить тот же самый порядок сходимости, что и в случае многоугольных областей (когда используются только прямолинейные конечные элементы), должна быть использована одна и та же квадратурная схема как для прямолинейных, так и для изопараметрических конечных элементов. Таким образом, если, например, п — 2, то мы можем нспользовать квадратурную схему (4.1.17), которая точна для многочленов степени 2. [c.265]

Замечание 4.4.4. (i) Справедливо, конечно, ожидать, что при отсутствии численного интегрирования порядок сходимости тот же самый, т. е. и — U/ i i,u = О (Л ), где в данном случае и — p ujenne дискретной задачи (4.4.6), Доказательство этого факта составляет содержание упражнения 4.4.3. [c.265]

Порядок сходимости 110, 142 Постановка в перемещениях, или модель 395, 4 10 Производная по Фреше 21 Производные по направлениям 72 Прямоугольник Богнера — Фокса — Шмнта 82, 90, 1 1 2, 328, 346, 367 [c.506]

Несколько подробнее остановимся на сгущении триангуляции. В ряде случаев решение дифференциальной задачи имеет особенности, выражающиеся в неограниченном росте производных. Такие случаи уже обсуждались в п. 1.1.3 в связи с угловыми точками и линиями границы. Другой класс особенностей возникает в зоне погранспоя для уравнений с малым параметром при старших производных. При решении таких задач на равномерной триангуляции порядок сходимости существенно понижается [74]. Вместе с тем, можно задать подходящее сгущение триангуляции так, что порядок сходимости будет восстановлен без существенного увеличения числа узлов триангуляции (в пределах нескольких процентов) [92]. [c.82]

В 3.2 приведены результаты по сходимости метода Бубнова - Галеркина в разных нормах для уравнений второго и четвертого порядка. Затем в 3.3 прослежено влияние на порядок сходимости используемых квадратур для вычисления элементов матрицы и правой части системы метода Бубнова - Галёркина. В 3.4 прослеживается влияние другой погрешности - аппроксимации криволинейной границы и значений функций, заданных на ней. [c.85]

В случае использования других лагранжевых элементов (степени 2,3 на треугольниках и сирендиповых степени 1,2,3 иа четырехугольниках) утверждения этого параграфа остаются в силе, в том числе теоремд 1.4 и заключение 1.5. Более того, если гладкость решения и гарантирует больший порядок сходимости, чем линейные элементы, то соответствующие показатели у hp ъ (1.34) и в теореме 1.4 соответственно увеличиваются. Правда, рассчитывать на существенное увеличение показателя не приходится, если не принять специальных мер, даже при очень гладких коэффициентах и правой части, поскольку углы области дают точечные особенности в производных. Речь об этом пойдет в 5.4. [c.206]

В литературе предложены три выхода из этой ситуации, позволяющие получить обычный порядок точности. Во-первых, в работах [102, 66] предлагается добавлять к обычным базисным функциям еще одну или несколько функций, описьюающих характер особенности решения в угловых точках. Эти функции имеют большую площадь носителя, что существенно усложняет алгоритмы формирования и решения линейных алгебраических систем метода Бубнова - Галёркина. Во-вторых, в работе [92] предлагается использовать нормы с весом, вырождающимся в нуль в особых точках. В такой норме порядок сходимости остается обычным, но за счет вырождения веса точность приближенного решения вблизи особой точки хуже, чем вдали от нее. В-третьих, в работах [92, 66, с. 273] предлагается специальным образом сгущать триангуляцию при подходе к особой точке. Это сгущение можно подобрать так, чтобы общее число узлов разностной сетки осталось по порядку таким же, как обычно. Некоторое увеличение числа узлов (и соответственно неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений) все же имеется в сравнении с обычным путем, но зтапы автоматизации не меняются. Мы рассмотрим именно этот прием и покажем, что приведенные в гл. 4 алгоритмы могут бьпь распространены и на этот случай без потери экономичности. [c.219]

ЧН0СТИ ради отметим, что порядок сходимости сохранится, если заменить 1/1о на 11/11 1- Эта оценка оптимальна по порядку малости длям е IV (I2) nv = Auew (n). [c.261]

Воспользуемся результатами 3.5 для построения ТС, имеющих заданное асимптотическое поведение модуля коэффициента отражения. Предположим, что потери в НЛП отсутствуют и постоянная распространения 7—]р. Покажем, что путем выбора соответствующей функции местных отражений М(г) можно получить любой наперед заданный порядок сходимости модуля коэффициента отражения Г(Р) к нулю при р->оо. Под порядком сходимости при этом понимается значение константы к в выражении (Г(Р) I ( oпstl+ oпst2exp (—2]Р) определяющем. асимптотическое поведение модуля коэффициента отражения. Полагая длину НЛП равной /, запишем (3.67) [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...