Другие формулировки граничных условий

В этой связи покажем, что алгоритм МГЭ идеально подходит для решения подобного типа задач с любой структурой упругой системы. Моделью объекта может быть произвольный набор стержней, каждый из которых может иметь бесконечное число степеней свободы, могут быть учтены сдвиг, инерция вращения, внутреннее и внешнее трение, произвольные законы изменения массы, жесткости, продольных сил и другие факторы. Неконсервативность действующих нагрузок в МГЭ учитывается соответствующей формулировкой граничных условий упругой системы (формированием топологической матрицы С). Далее анализу подвергаются изменения частот собственных колебаний. Рассмотрим особенности учета следящих сил. [c.196]

В большинстве задач гидромеханики для формулировки граничных условий наиболее удобны декартовы координаты. С другой стороны, уравнения в частных производных, описывающие движение, обычно более удобно решать в некоторой другой системе ортогональных криволинейных координат, характерной для данной геометрической конфигурации области, занимаемой жидкостью. Поэтому представляет интерес ряд общих соотношений, которые дают возможность легко переходить от одной системы координат к другой. [c.559]

Требование гладкости граничных условий, включенное в дополнительные предположения ( 15.15), также необходимо. Если в какой-либо точке края оболочки меняется смысл граничного условия или терпит скачок функция, входящая в формулировку граничного условия, и через эту точку проходит действительная характеристика безмоментных уравнений у, то На V, вообще говоря, произойдет нарушение условий тангенциальной непрерывности. Это, видно из результатов решения полной краевой задачи для консольной цилиндрической оболочки, загруженной на свободном крае усилия и перемещения в данном случае определяются формулами (15.18.5), имеющими силу только тогда, когда в правых частях условий (15.18.4) функции П 1 и Si достаточно гладки. Другие примеры читатель найдет в 15.25. [c.221]

Если край оболочки является плоской кривой и оперт на диафрагму, жесткую в своей плоскости и гибкую из плоскости, то формулировка условий (4) меняется, а условия (5) с той же точностью сохраняются. К тем же условиям (5) приводятся и другие варианты граничных условий (см. 8.4). [c.134]

Такой же вид (2) имеют и другие величины, входящие в формулировку граничных условий. [c.282]

Мы уже отмечали, что в некотором смысле теорию Кубо можно рассматривать как частный случай подхода, развитого в разделе 5.1.1, так как в теории Кубо используется специальная форма граничного условия статистического оператора [см. (5.1.52)]. Отметим, однако, что это условие далеко не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Оно означает, что сначала система находилась в тепловом равновесии с термостатом, а в дальнейшем влияние термостата не учитывается, поскольку гамильтониан Я + Н] относится лишь к самой системе. Другими словами, формулы Кубо (5.1.57) и (5.1.59) описывают отклик изолированной системы на внешние механические возмущения. Вообще говоря, этот отклик не обязан совпадать с откликом системы, находящейся в процессе эволюции в контакте с термостатом. Так как реальные системы всегда взаимодействуют с окружением, исключение влияния термостата не вполне соответствует условиям реальных экспериментов. С этой точки зрения метод, изложенный в разделе 5.1.1, кажется более последовательным, поскольку использование квазиравновесно-го распределения Qq t) для формулировки граничного условия к уравнению Лиувилля можно рассматривать как нарушение абсолютной изоляции системы. [c.351]

Математическая формулировка гармонических задач излучения и рассеивания звука включает в себя уравнение (1.12) и совокупность граничных и других условий, позволяющих конкретизировать решение, сделать его единственным. Выше указывались некоторые трудности, связанные с формулировкой граничных условий. В значительной мере характер и сущность этих трудностей можно понять, если сформулировать существо той задачи, которая решается при постановке граничных условий. [c.9]

Рассмотренные способы задания граничных условий являются самыми распространенными могут быть и другие способы их задания. Дифференциальное уравнение теплопроводности 14.1) совместно с условиями однозначности дают полную математическую формулировку конкретного процесса теплопроводности. [c.204]

Таким образом, обращение этой формулировки также дает правильный результат. Другими словами, если Т удовлетворяет уравнению (14а) и граничным условиям (136) и (146), то вариация [c.329]

С Другой стороны, в 1.6 мы вывели принцип дополнительной виртуальной работы. Выбирая далее ба , 8а , бт у, фигурирующие в (1.50), в качестве независимых варьируемых переменных, и принимая (1.48) и (1.49) в качестве ограничений, получим иную формулировку принципа дополнительной виртуальной работы использование уравнений равновесия (1.4) и граничных условий в напряжениях (1.12) в принципе дополнительной виртуальной работы (1.50) приводит к соотношениям перемещения — деформации (1.5) и граничным условиям в перемещениях. [c.40]

По своей сути граничное интегральное уравнение является формулировкой поставленной задачи, которая приводит к точному решению. Погрешность окончательного решения определяется погрешностью решения интегрального уравнения на границе, что в общем эквивалентно внесению погрешностей в граничные условия. Сравнивая МГЭ с другими методами, можно сказать, что потенциально он более точен, чем, например, МКЭ. Это объясняется тем, что в МГЭ используется аналитическое решение, которое справедливо всюду в области, а в МКЭ аппроксимации производятся в каждой отдельной подобласти. Однако неясно, как связаны погрешности внутри области с погрешностями на границе при реализации МГЭ. [c.50]

Существует, однако, гораздо более существенный недостаток, в равной степени ограничивающий возможности обоих методов они эффективны только для закрытых систем. В разд. 3.3.2 отмечалось, что наиболее серьезные проблемы в методе конечных разностей возникают при попытке вычислить распределение поля в открытой системе. К сожалению, это справедливо и для метода конечных элементов. Если фокусирующий или отклоняющий элемент не окружен экраном, в вычислениях появляются большие ошибки. Действительно, оба метода требуют введения граничных условий всюду вокруг интересующей области. Для открытой системы приходится вводить некоторую функцию потенциала вдоль открытых границ. Если, например, положить потенциал нулевым на открытой границе, то условие, справедливое на бесконечности, перемещается ближе к самой системе. Это может внести очень серьезные ошибки. Мы уже обсуждали в разд. 3.1.2.2 ограничения, свойственные другим способам введения граничного потенциала. Всегда можно, конечно, предположить наличие эквипотенциального экрана вокруг системы, но такое дополнение неизбежно исказит поле открытой системы. Поэтому предположения такого рода ведут к существенным отличиям формулировки задачи от первоначальной. [c.162]

Математическая формулировка задачи в данном случае состоит из граничных условий и дифференциальных уравнений сплошности двухфазного потока, движения газообразной фазы и движения твердой фазы. Путем ряда преобразований и упрощений этих дифференциальных уравнений суммирующий коэффициент трения к получается в прямых трубопроводах при пневмотранспорте в виде функции следующих критериев подобия и других безразмерных величин [c.359]

Преобразования, деформирующие первоначальную координатную сетку лишь в окрестности поверхности контакта сред, имеют то преимущество, что не затрудняют формулировку других граничных условий для жидкости. Вместе с тем применение неравномерно деформируемой системы координат дополнительно усложняет запись уравнений гидродинамики. [c.68]

Уравнение (4.78) основано на предположении, что диффузия тепла определяется законом Фурье. В выписанной системе зависимостей переменными являются составляющие скорости давление и температура. Они должны удовлетворять основным уравнениям (4.73), (4.75) и (4.77) и граничным условиям. Такая формулировка является полной в том смысле, что имеется достаточное количество уравнений. Однако, так как уравнения нелинейны, за исключением относительно простых задач, приходится прибегать к численному решению. Заметим, что в рассматриваемом случае поток является баротропным, т. е. механическое и тепловое поведение не связаны друг с другом, и мы имеем десять уравнений (три уравнения количества движения, уравнение неразрывности, шесть уравнений, связывающих напряжения со скоростями деформаций) и десять неизвестных (шесть компонентов напряжений, три проекции скорости и давление). Для сжимаемого потока давление и плотность связаны уравнением состояния. [c.148]

Таким образом, задачи анализа электродинамических систем с потерями требуют решения уравнений Максвелла с комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями сред и граничными условиями (0.16) на металлических поверхностях. Однако, уравнения Максвелла и указанные граничные условия не всегда дают полную постановку задачи. Если рассматриваемое поле имеет так называемый контакт с бесконечностью (т. е. ставится задача для неограниченного объема), то необходимо сформулировать условия на бесконечности, позволяющие выделить единственное решение, соответствующее физическому смыслу исследуемой задачи. Простейший пример таких условий — широко известные условия излучения Зоммерфельда. Они относятся к среде без потерь, и часто их аналитическая форма неудобна для использования прямых численных методов. Поэтому мы используем другие (но в принципе эквивалентные) формулировки условий на бесконечности, в частности, парциальные условия излучения [35]. [c.26]

Что касается применяемого подхода, то снова предупреждаем читателя, что это не математическая книга. Даже в математических книгах признается необходимость физической интуиции, эвристических обоснований и численного экспериментирования, хотя интуитивный, эвристический и экспериментальный подходы в них используются не слишком часто. Конечно, некоторые чисто математические исследования имеют большую ценность, однако наши интересы — это в первую очередь интересы инженеров, физиков, химиков, т. е. мы интересуемся в первую очередь самим физическим явлением, математика же при этом играет лишь роль инструмента исследования. Это различие в подходах не просто имеет субъективное значение, а часто приводит к совершенно другим формулировкам задач, в особенности в отношении граничных условий. Вообще говоря, подход, основанный на моделировании физических процессов, дает лучшие результаты. [c.10]

Существование в целом обобщенного решения краевой задачи двумерной задачи для нелинейной системы уравнений (1.3) доказывается с помощью введения соленоидального векторного поля w (при соответствующих граничных условиях для скорости) обычным функционально-аналитическим методом [15]. Точные формулировки и доказательства соответствующих результатов предполагается опубликовать в другом месте. [c.70]

Пусть нас интересует температура вблизи одного из концов стержня, например х=0. В течение некоторого времени влияние температурного режима при х=1 не сказывается на температуре у другой границы. Математическая идеализация этого факта состоит в том, что граничное условие при х=1 исключается из формулировки задачи, и процесс рассматривается при всех л >0 (стержень считается как бы бесконечно длинным). В результате приходим к первой краевой задаче в полупространстве [c.10]

Особого внимания при формулировке граничных условий заслуживают случаи, когда внешние нагрузки передаются на стержень с помощью промежуточных деталей, изменяющих при изгибе стержня воспринимаемое им силовое воздействие. Так, например, на правый торец стержня длиной I, изображенного на рис. 7.3, а, передается изгибающий момент, пропорциональный длине а жесткого рычага и углу поворота a = w (/) касательной к оси стержня над правой опорой. Отсюда при X = I следует граничное условие EJw" — Paw 0. Остальные три граничных условия очевидны w (0) 0 w" (0) = 0 W (О = 0. А при изгибе консольного стержня, нагружаемого через-жесткий шатун (рис. 7.3, б), на правый торец кроме продольной силы F передается поперечная сила, пропорциональная углу наклона жесткого рычага ср wla. При х I это приводит к граничному условию (EJw") + Fw + Fwla = 0. Три других граничных условия таковы w (0) = 0 w (0) = 0 w" I) = 0. [c.186]

Сказанное позволяет видоизменить формулировку граничных условий путем преобразования подынтегрального выражения (14.21). Критерием возможности использовать один вариант граничных величин вместо другого является обеспечение равенства Lao = О при задании четырех граничных условий. На основе таких рассуждений в п. 8.2 получены три варианта граничных величин (8.16)—(8.18), из которых наибольший интерес представляют деформационные граничные величины (8.18). Однако в гл. 8 было сделано предположение о том, что контур 3Q является гладким, а действующая на него нагрузка—самоуравновешенной. Коротко повторим преобразования п. 8.2, отказавшись от предположения о самоуравновешенности краевой нагрузки. В соответствии с рис. 14.1 главный вектор и главный момент краевых усилий и моментов относительно текущей точки можно выразить формулами (сравни с (6.147), (6.150)) [c.462]

Интересно, что зависимость от угловой скорости гравитационной силы, действующей на пробную частицу внутри слоя, точно такая же, как и во вращающейся системе, но движущейся в противоположно.м направлении относительно системы инерциальной. Векторные потенциалы приводящие к силам типа кориолисовых, даже зависят от координат обычным образом. С другой стороны, скалярный потенциал имеет такую форму, что приводит, помимо обычных центробежных сил, к неисчезающей компоненте силы вдоль оси вращения. Чисто радиальный характер центробежной силы означает, что приближенные уравнения (11.30), для единственности решения которых требуется точная формулировка граничных условий на бесконечности, не в состоянии адекватно описать динамику мира в целом. Это и не удивительно, поскольку некоторые из наиболее характерных особенностей точных уравнений (11-12) теряются в их приближенном варианте например, существенно нелинейный характер уравнений исчезает в случае слабого поля. Кроме того, уравнения (11.12) содержат Л-член, важный в космологических задачах. Указанные обстоятельства существенно меняют проблему постановки граничных условий (см. 12.6). В любом случае, однако, силы, действующие на пробную частицу внутри слоя, слишком малы, чтобы быть измеренными. Это н объясняет отрицательный результат эксперимента, выполненного Фридлендером в 1896. [c.310]

Прежде чем производить какие-либо расчеты системы, необходимо четко определить систему, а также сформулировать условия на границе между системой и окружаго-щей ее средой. В то время как формулировка граничных условий проста для тела, совершающего колебания в пустоте, она может оказаться в действите.пьности трудной для тел, совершающих колебания в других средах, даже в воздухе. Уже по одной этой причине инженеры должны думать не только о вынугкденных колебаниях всех систем, но также и о вынужденных колебаниях элементов этих систем. [c.72]

В предыдущих главах рассматривались только граничные условия Дирихле и Неймана. Однако существуют и другие типы граничных условий применительно к формулировке метода конечных элементов некоторые из них весьма сложны. В этой главе даны определения большинства обычно встречающихся гранич-НЫ.Х условий и показано, как можно модифицировать функционалы для того, чтобы удовлетворялись различные виды граничных условий. В заключительном разделе кратко рассматриваются другие подходы к учету граничных условий. [c.95]

Пример 23.8. Рассмотрим стационарное температурное поле в длинной трубе, поперечное сечение которой показано на рис. 23.10, а. На двух гранях внешней поверхности трубы задано граничное условие первого рода в виде линейиого распределения температуры от О до 200 °С. Поверхности двух других внешних граней и внутреннего цилиндрического отверстия теплоизолированы. Вариационная формулировка задачи может быть получена из (23.25). При отсутствии [c.248]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Так, Лихтенштейн [20] и Одквист [23] доказали суш,ествова-ние решения для общего случая вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой области, содержащей конечное число частиц конечных размеров. В случае уравнений Стокса решение также единственно, но при больших числах Рейнольдса это не так. Например, Тейлор [29], рассматривая течение между двумя вращающимися концентрическими цилиндрами, показал, что если число Рейнольдса при вращении внутреннего цилиндра по отношению к внешнему превышает определенную величину, возникает неустойчивость течения, приводящая к установлению другого течения, которое само по себе устойчиво. С увеличением числа Рейнольдса течение становится неустановившимся с вполне определенной периодичностью. Для краевых задач, в которых на границах заданы производные компонент вектора или комбинации скоростей и производных, сформулировать требуемые условия не удается. Обычно сама физическая природа интуитивно используется при формулировке подходящих граничных условий, приводящих к единственному существующему решению. [c.79]

Равенства (16) и (17) показывают, что при использовании каждого из общих решений Максвелла или Морера условиями стационарности функционала Кастильяно являются различные системы из трех уравнений неразрывности и соответствующих деформационных граничных условий. Из функционала 5к1(ф) (табл. 3.2), в котором используется общее решение (1.7) с шестью функциями напряжений (оно имеет вид Максвелл + Морера ), следует шесть уравнений неразрывности с соо1ветствующими граничными условиями [5.3]. Использование других общих решений приводит к несоответствию между вариационной и дифференциальной формулировками задачи [5.3] этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании. [c.62]

В параграфе 6.1 хотя и кратко, но систематически изложены основы тензорного анализа. В параграфах 6.2—6.5 полученные в предыдущих главах основные зависимости переписываются в криволинейных координатах. Особенностью изложения является использование двойных тензоров, один из индексов компонент которых отнесен к недеформированным материальным координатным осям, а другой — к деформированным. Использование двойного тензора напряжений дает возможность провести дифференцирование и удовлетворить силовым граничным условиям в неде-формированной конфигурации тела, положение которой заранее известно. При этом полученные зависимости (без дополнительного перепроектирования) отнесены к более удобным во многих случаях деформированным материальным осям. Симметричность компонент двойного тензора облегчает формулировку статикогеометрических гипотез. [c.80]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Кроме процедуры, описанной а разд. 4,2, существуют и другие способы удовлетворения граничным условиям в методе конечных элементов. Например, а гл. 7 показано, что путем использования множителей Лагранжа а аарнационвую формулировку могут быть включены уравнения связи. Так как граничные условия можно рассматривать как уравяения связей, значение такого подхода очевидно. В методе множителей Лагра-нжа граничные условия вводятся непосредственно в матричное уравнение системы. Хотя достоинством этого метода является простота, его существенный недостаток состоит а том, что расширенное матричное уравнение системы должно решаться и для дополнительных неизвестных, т. е. множителей Лагранжа. С деталями этого метода, выходящими за рамки нашей книги, читатель может ознакомиться по работам 5—7]. [c.101]

Центральное место в монографии занимает третья глава, в которой на основе единой кинематической гипотезы, позволяющей учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить условиям межслоевого контакта и условиям на граничных поверхностях, из принципа возможных перемещений получены нелинейные тензорные уравнения статики упругих анизотропных слоистых оболочек и сформулированы соответствующие им краевые условия. Указаны предельные переходы к уравнениям классической теории оболочек и ортотропной оболочки, предоставляющим возможность учета эффектов сдвига в одном направлении ортотропии (армирования) и неучета — в другом. Приведены упрощенные уравнения, пригодные для расчета пологих оболочек. Линеаризованные уравнения статической устойчивости слоистых оболочек, основанные на концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия, сформулированы в параграфе 3.4, а в параграфе 3.5 из принципа виртуальных работ эластокинетики выведены нелинейные уравнения динамики. Здесь же приведены линеаризованные уравнения динамической устойчивости слоистых оболочек и пластин, обсуждены предельные переходы и упрощения, подобные тем, какие были сделаны в задаче статики. Параграф 3.5 посвящен формулировке неклассических уравнений многослойных оболочек в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности приведения. В этой же системе координат составлены уравнения, описывающие осесимметричную деформацию слоистой ортотропной оболочки вращения. В параграфе 3.7 описаны [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...