Гармонические задачи

РЕШЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ [c.176]

Метод интегральных уравнений позволяет установить корректность гармонических задач в классе непрерывных краевых условий, когда граничная поверхность (или поверхности) принадлежит классу Ляпунова. Действительно, из установленной сходимости метода последовательных приближений будет следовать, что при заданной точности решения можно ограничиться определенным числом итераций и тогда задача сведется к вычислению конечного количества интегралов. Малые же изменения нулевого приближения (правой части) приведут соответственно к малым изменениям решения интегрального уравнения. [c.107]

Продолжим исследование гармонических задач. Пусть в области заданы две гармонические функции и и V. Выпишем применительно к ним формулу Грина (6.7) [c.107]

Укажем еще на один случай, когда известно явное выражение рещения гармонической задачи для полупространства при наличии линии разрыва краевых условий. Пусть на эллиптической площадке (а и 6 —полуоси эллипса) задано краевое значение функции, являющееся полиномом степени п, причем вне [c.110]

Аналогичные ограничения вводятся при рассмотрении гармонических задач (см. 6 гл. I). [c.246]

Заметим, что в некоторых весьма важных случаях удается сравнительно просто получить решения гармонических задач для полупространства. Допустим, что все компоненты касательных напряжений обращаются всюду на границе в нуль, а нормальная компонента — всюду, за исключением начала координат. Поскольку касательные компоненты тождественно равны (Р2у у, г)== р22 (р, 2) = 0), то функции щ и (Оз тождественно равны нулю. Функцию же oi выберем в виде [c.288]

Перейдем к построению указанных членов ряда. Начнем с простейшей задачи. Пусть имеется клин с углом раствора 2а. Рассмотрим вначале гармоническую задачу ). Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах [c.309]

Не составляет труда рассмотреть теперь условия смешанного вида, когда, например, при 0 = а сама функция равна нулю, а при 0 = —а равна нулю нормальная производная. Таким образом, с учетом изложенного можно утверждать, что решение гармонических задач (при достаточно гладких краевых условиях) для областей при наличии угловой точки с углом раствора 2а < я представляется всегда в виде дифференцируемой всюду функции. Если же 2а > я, то возникает нерегулярное слагаемое вида (8.15) или (8.16). [c.310]

Перейдем к рассмотрению конических точек [65]. Начнем с гармонической задачи для кругового конуса с углом раствора а. Напомним уравнение Лапласа (10.6) гл. I в сферических [c.318]

Остается еще напомнить, что, как следует из 5, решения контактной задачи о давлении гладкого штампа на полупространство и основной задачи для пространства с плоским разрезом (при отсутствии касательных напряжений) сводятся к рассмотренным выше гармоническим задачам. [c.324]

Как уже отмечалось в 3 гл. III, решение задач изгиба стержней также сводится к решению гармонических задач, и поэтому привлечение к их рассмотрению аппарата комплексного переменного не содержит каких-либо новых элементов по сравнению с изложенными выше. [c.364]

Здесь Го — приведенный радиус отверстия R — радиус оболочки <р ( ) — потенциальная функция суммарного поля около отверстия, определяемая из решения гармонической задачи [13] (о ( ) —отображающая функция контура выреза. [c.37]

В рассмотренном случае периодического распространения тенла предполагалось, что температурные волны являются простыми гармоническими. Задачу можно решить и в тех случаях, когда температурные колебания будут сложными гармоническими. Для этого приходится пользоваться методом гармонического анализа, который позволяет представить любую периодическую кривую как сумму соответствующих косинусоид. [c.248]

Математическая формулировка гармонических задач излучения и рассеивания звука включает в себя уравнение (1.12) и совокупность граничных и других условий, позволяющих конкретизировать решение, сделать его единственным. Выше указывались некоторые трудности, связанные с формулировкой граничных условий. В значительной мере характер и сущность этих трудностей можно понять, если сформулировать существо той задачи, которая решается при постановке граничных условий. [c.9]

При анализе динамического распространения трещины, когда нельзя пренебрегать силами инерции, необходимо рассматривать динамическую задачу теории упругости для тела с движущейся трещиной. Учет сил инерции приводит к перераспределению напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины. Наиболее просто эти эффекты анализируются в следующих случаях, являющихся предельными случаями общего динамического роста трещины на тело действует ударная нагрузка и фронт трещины распространяется в упругом теле с большой скоростью, сравнимой со скоростью звука, причем упругое поле стационарно в малой окрестности вершины трещины в движущейся системе координат, связанной с концом трещины гармоническое упругое поле, когда край трещины неподвижен, внешние нагрузки, помимо постоянной составляющей, имеют компоненту, которая изменяется во времени с большой частотой. Гармонические задачи о трещинах можно разделить на два класса в нервом классе задач гармонические нагрузки прикладываются к берегам трещины, во втором — сингулярное ноле напряжений образуется вследствие дифракции волны, падающей на трещину. [c.79]

Определить движение гири М (см. задачу 32.84), подвешенной на пружине АВ, верхний конец которой А совершает гармонические колебания по вертикали амплитуды а и круговой частоты k, статическое растяжение пружины под действием веса гири равно 6. В начальный момент точка А занимает свое среднее положение, а гиря М находится в покое начальное положение гири принять за начало координат, а ось Ох направить по вертикали вниз. [c.253]

Виброграф (см. предыдущую задачу) закреплен на фундаменте, совершающем горизонтальные гармонические колебаний по закону X = а sin (ut. Определить амплитуду а колебаний фундамента, если амплитуда вынужденных колебаний маятника вибрографа оказалась равной сро. [c.287]

Выявить условия, при которых в системе, рассмотренной в задаче 56.19, могут возникнуть автоколебания, близкие к гармоническим колебаниям частоты k = где с — коэффи- [c.438]

На основе линейной задачи (5.8.8), (5.8.9) рассмотрим гармонические колебания одиночного пузырька в безграничной жидкости, когда радиус пузырька и другие параметры изменяются во времени как действительные части выражений [c.299]

Задача о гармонических колебаниях системы с одной степенью свободы рассматривается в курсе теоретической механики. В качестве упругой системы обычно рассматривают груз, подвешенный к вертикально расположенной пружине (рис. 518). [c.531]

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда Q-t определяется равенством (83). Такая возмущающая сила называется гармонической. Конкретный пример ее дан ниже в задаче 117. [c.241]

При постоянном значении ш формулы (3.5), (3.6) позволяют получать реше 1ия, з вая гармоническую функцию ф(г, р). Рассмотрим граничную задачу определения Ф с условиями прилипания и = и = 0 на аналитической кривой у = х). [c.194]

Корни характеристических уравнений для (4.19) являются комплексными сопряженными числами. Следовательно, стандартные решения (4.19) представляются линейной комбинацией гармонических функций с частотами, пропорциональными kx и ky. Таким образом, для определения достаточно найти амплитуды и постоянную к с помощью граничных условий задачи. [c.91]

В этих задачах, кроме моментов М = с(р и /W, = —ц р, к вращающемуся телу приложен момент М , выражающийся периодической функцией времени, т. е. изменяющейся со временем, например, по гармоническому закону (по закону синуса или косинуса). [c.346]

Таким образом, движение в окрестности положения устойчивого равновесия может быть найдено в случае, когда внешнее воздействие либо гармоническое, либо периодическое, но не гармоническое, либо, наконец, не периодическое, но представимое интегралом Фурье, Центральным для решения этой задачи являются понятия ком- [c.256]

При решении задач на кинематику гармонического колебательного движения рекомендуется такая последовательность действий [c.356]

Задача 5.28. Точка совершает гармонические колебания вдоль горизонтальной оси х. Размах колебаний равен 20 см. Продолжительность десяти размахов равна 5 сек. Полагая, что точка в начальный момент = 0 находилась в крайнем правом положении, составить уравнение движения точки. [c.356]

Найдем значения постоянных а, к, р, исходя из условий задачи. Амплитуда гармонических колебаний равна половине размаха колебаний. Следовательно, [c.356]

Таким образом, задача сводится к сложению двух гармонических колебаний одинаковой частоты и, следовательно, одинакового периода, отличающихся амплитудами и начальными фазами. Раскрывая в правей части (I) косинусы суммы двух углов, находим [c.358]

Задача 5.3 . Точка Л1 совершает прямолинейное гармоническое колебательное движение около центра согласно уравнению [c.360]

Для приобретения навыков в решении задач на гармонические колебания рекомендуется решить следующие задачи из Сборника задач по теоретической механике И. В. Мещерского, издания 1950 г. и более поздних лет 310, 315, 325, 326, 329, 350. [c.361]

Уравнение (4.3) называют уравнением Лапласа. Как видно, нестационарные процессы распространения тепла описываются уравнением теплопроводности, стационарные — уравнением Лапласа или Пуассона. Огметим, что уравнения (4.1). .. (4.3) описывают и многие другие физические процессы, а не только связанные с переносом тепла (например, диффузию). Любые функции класса т. е. непрерывные вместе с производными до второго порядка включительно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями. Задачи, связанные с отысканием решений уравнения Лапласа, называют гармоническими задачами. При постановке и решении гармонических задач важное значение имеет следующее свойство гармонических функций интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной гармонической функции равен нулю. Пусть функция и (М) (D). Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса применительно к вектору grad и [c.120]

При решении двумерных гармонических задач конформные отображения играют решающую роль, поскольку уравнение Лапласа инвариантно при конформном отображении. Под этим понимается следующее. Конформное отображение по существу есть запись в комплексной форме некоторой криволинейной системы координат в плоскости х, у (г = х- 1у), при которой в этой системе область О перейдет в область О. При такой замене переменных, продиктованной конформным отображением, само уравнение должно, вообще говоря, преобразоваться, однако при конформном отображении оно останется неизменным и в координатах и, V (w = u-j- v). Действительно, пусть н(г) гармонична в области О. Строим функцию /(г), действительной частью которой является функция и(г). Тогда сложная функция [[ ( )] аналитична в плоскости и поэтому Ке/[,д( )]== = КеК(5)= и( )= гармонична в О. Этим обстоятель- [c.31]

В рассмотренных случаях периодического распространения тепла предполагалось, что температурные колебания являются простыми гармоническими. Задачу можно решить и для тех случаев, когда температурные колебания будут слож ым1И гармоническими. Для этого приходится пользоваться методом гар-мо Ничеокого анализа, который позволяет представить любую периодическую кривую ка к сум му различных косинусоид. [c.119]

Несмешанные задачи с подвижными возмущениями будем классифицировать следующим образом. Случаи, когда источник только перемещается вдоль тела с постоянной скоростью ю, будем называть задачами Б. Если источник, помимо движения со скоростью и), еще и осциллирует с частотой и, то такие задачи будем называть задачами В. В частном случае, при = О задачи В вырождаются в отдельный класс с только осциллирующими источниками. Эти обычные гармонические задачи здесь назовем задачами А. [c.331]

Аналитические решения такого рода уравнений получены для задач в идеализированной постановке (плоскость с полу-бесконечной или конечной трещиной, пространство с дисковидной трещиной и т. д.) при воздействии гармонических и ударных нагрузок (достаточно полный их обзор дан в работах [148, 177, 178, 199, 220, 271]. Однако эти решения дают представления о реальном поведении конструкции конечных размеров только в начальный период времени (до прихода в вершину трещины волн напряжений, отраженных от границ тела). Кроме того, они не учитывают разнородности материала конструкции по механическим свойствам, изменения граничных условий по-берегам трещины в процессе ее продвижения траектория трещины считается прямолинейной, а удельная эффективная энергия, затрачиваемая на образование новых поверхностей yf, принимается постоянной и не зависящей от скорости деформирования. Очевидно, что с помощью методов, имеющих указанные ограничения, навряд ли можно дать надежные оценки работоспособности элементов конструкций сложной формы и характера нагружения. Поэтому широкое распространение получили численные методы расчета динамических параметров механики разрушения [177, 178]. [c.241]

Задача XII—28. На конце трубы совершает гармонические колебания поршень, так что вытесняемый нм расход изменяется по закону q = sin ш/, где со — круговая частота колебаний, Показать, что при со = = йл/(2/), где t —длина трубы и а —скорость ударной Бсолны, имеет место резонанс, т. е. давление перед поршнем при отсутствии трения неограниченно возрастает. Смещения поршня считать малыми по сравнению с длиной трубы. [c.372]

Задачи типа, рассмотренного в данном разделе, обсуждались впервые Мрузом [25] применительно к оптимальному проектированию пластических конструкций. В более общем виде они обсуждались Прагером [26, 27]. Позднее аналогичным образом рассматривалось оптимальное проектирование упругих конструкций с данной динамической податливостью при действии гармонически изменяющихся нагрузок [28] и оптимальное пластическое проектирование дисков [29]. В этих работах читатель найдет частные примеры. [c.36]

Гармонические колебания по закону 5=Лсоз Г(или s=A sinkt) точка может совершать, двигаясь вдоль любой кривой (см., например, в 46 задачу 51). Все сказанное о характере движения при этом сохранится с той лишь разницей, что последняя из формул (29) будет определять касательное ускорение точки кроме него точка будет еще иметь нормальное ускорение a = Vp. [c.112]

Задача 6.7. Точка Ж совершает гармоническое колебательнсе движение согласно уравнениям [c.310]

Задача 337 (рис. 246). Стержень AB длиной I поворачивается около точки В так, что угол ф изменяется по закону ф =- со , а ползун В совершает гармонические колебания согласно уравнению s = a + 6sin o Определить траекторию точки А. [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...