Уравнения движения в плоскости орбиты

Уравнения движения в плоскости орбиты [c.24]

Рассмотрим уравнение колебания спутника в плоскости орбиты. Пусть орбита эллиптическая с эксцентриситетом е. На углы либрации спутника соответственно в плоскостях, перпендикулярных плоскости орбиты, величина эксцентриситета влияния не оказывает. В уравнении, характеризующем либрационное движение в плоскости орбиты, появится возмущающий момент, обусловленный переменной составляющей скорости движения центра масс спутника по орбите [7] [c.21]

Движение в плоскости орбиты. Поскольку движение происходит в плоскости, то можно ввести координатную систему х, у, 2 такую, что плоскость ху совпадает с плоскостью орбиты. Тогда 2 = О, и уравнения движения принимают вид [c.23]

Постоянная Т, входящая в уравнение (47), является четвертой постоянной интегрирования, необходимой для определения движения в плоскости орбиты. В этом виде она необходима для указания времени прохождения через перигелий. Эта характеристика вместе со значениями постоянных интегрирования а, с, ш и параметром ц определит движение по орбите для любого момента времени. Эта форма часто используется для кометных орбит. Для планетных орбит в качестве четвертой постоянной интегрирования чаще принято применять значение I в начальную эпоху. Пусть эта эпоха есть i = Iq- Тогда, если 1 = 1о при t = to, выражение для средней аномалии принимает вид [c.28]

Уравнения эллиптического движения в плоскости орбиты образуют систему четвертого порядка. Следовательно, для общего решения необходимы четыре постоянные. Разложение, полученное в этом разделе, содержит четыре постоянные я, е, со и Яо. Постоянная я входит как постоянная, дающая размеры орбиты и (посредством п) период, однако разложения и g не зависят от значения я. Следовательно, полученные разложения, позволяя менять значение а, представляют полное решение этих дифференциальных уравнений. [c.86]

Анализ уравнений системы (13.12) дает основание считать, что боковое движение является независимым от движения в плоскости орбиты. [c.337]

При исследовании МСС часто оказываются полезными упрощенные уравнения движения — уравнения движения в плоскости полярной орбиты. Их можно составить, обратившись к рис. 6.6, на котором изображены инерциальные оси координат, одна из которых Оуз параллельна вектору угловой скорости суточного вращения Земли, а другая — О з — параллельна линии узлов и направлена в сторону восходящего узла (см. рис. 2. 5). Уравнение движения КА относительно поперечной оси Оу может быть, очевидно,записано в виде [c.135]

Это привело к тому, что некоторые астрономы стали предпочитать вместо канонических уравнений или уравнений Лагранжа другую форму уравнений. Заметим, что мы имеем шесть частных производных возмущающей функции, но можно составить уравнения движения таким образом, чтобы в правых частях входили не частные производные, а три составляющие возмущающей силы, например, составляющие по трем координатным осям или составляющие по радиусу-вектору, по перпендикуляру к нему в плоскости орбиты и по перпендикуляру к плоскости орбиты. В этом случае нужно будет получить только три разложения вместо шести. Это говорит о том, что шесть частных производных не являются независимыми, а между ними и самой возмущающей функцией существуют некоторые соотношения. Некоторые соотношения существуют и между частными производными и составляющими силы, разложенной одним из двух указанных способов. [c.322]

Так как А2 1 (см. главу 1), то уравнение (2.4) имеет два действительных и две пары чисто мнимых корней 1, Я2, з-Из-за существования корней точка либрации неустойчива. Величины и Я2 определяют движение КА в плоскости орбиты Луны (плоскость Ь ху), а — движение по нормали к ней. В дальнейшем все величины считаем положительными [c.267]

Пусть ОХ — основное направление в плоскости орбиты, причем Солнце находится в точке О. Обозначим через г, 0 полярные координаты планеты, масса которой равна т, а через й — долготу перигелия, так что 0 = /- -(о, где / — истинная аномалия. Если (1з — линейный элемент орбиты, то составляющие силы сопротивления вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему будут соответственно —/и/ и —тНг . или —тН и —тРг . Поэтому уравнения движения при Н = су г будут иметь вид [c.304]

В большинстве теорий Луны, созданных со времен Ньютона, в основном использовались уравнения движения в полярных координатах — сферических или цилиндрических — или уравнения в элементах орбиты, зависящих от этих координат. Важным исключением является теория Эйлера (1772 г.). в основу которой положено использование прямоугольной системы координат, оси д и у которой вращаются в плоскости эклиптики со средней угловой скоростью Луны. Теория Эйлера не привлекала большого внимания до тех пор, пока (столетием позже) Хилл не продемонстрировал могущество своего метода, основанного на использовании прямоугольных координат, однако с тем отличием от Эйлера, что его оси вращаются со средней угловой скоростью и. Солнца, а ось х проходит через среднее положение Солнца. Хилл выполнил три классических исследования ), составивших затем основу для исчерпывающих исследований Брауна ), который закончил построение теории Луны н составил соответствующие таблицы З). используемые с 1923 г. в ежегодниках. [c.378]

Для написания уравнений связи параметров, измеряемых бортовым координатором н задаваемых в ЛСК фазовыми координатами, определяемыми в ОСК, рассмотрим рнс. 13.3. Нз него следует, что начало ОСК в данном случае совпадает с центром масс активного КА. Кроме того, будем полагать, что ось ОХ , лежащая в плоскости орбиты, направлена вперед по направлению движения. [c.339]

Эллиптическое движение спутника нами исследуется в полярных координатах в плоскости орбиты. Метод изучения эллиптического движения в полярных координатах Клеро распространил на исследование плоского возмущенного движения Клеро впервые предложил употреблять полярный угол в качестве независимого переменного в уравнениях возмущенного движения. В данной работе показывается, что метод Клеро приложим также и к изуче- [c.8]

Определение положения и скорости снаряда в плоскости орбиты в данный момент времен и. Дадим сводку полученных результатов. В абсолютном движении траектория центра масс снаряда есть эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли. Уравнение траектории в полярных координатах г и и имеет вид [c.48]

Приведенные уравнения определяют движение снаряда в плоскости его орбиты. Чтобы определить для данного момента I положение точки Р в плоскости орбиты, нужно из уравнения Кеплера найти Е и затем из (3.25) — (3.27) г Ук и. Уравнение Кеплера есть трансцендентное уравнение и относительно Е может быть решено только приближенно. Разработкой методов решения уравнения Кеплера занимались многие астрономы предложено большое число способов решения этого уравнения. [c.49]

Движение спутника рассматривается как сложное движение спутник перемещается в подвижной плоскости по развертке траектории абсолютного движения. Первая группа уравнений, (4.36), описывает движение спутника в подвижной плоскости. Эти уравнения представляют собой обобщение уравнений, описывающих невозмущенное эллиптическое движение в плоскости его орбиты. [c.93]

Плоские движения. Дифференциальные уравнения движения твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном ноле допускают решения, которые отвечают плоским движениям тела. Для таких движений одна из главных центральных осей инерции тела все время перпендикулярна плоскости орбиты центра масс. [c.212]

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

Время в кеплеровском движении. Уравнение Кеплера. В предыдущих пунктах определен геометрический характер орбиты точки Р. Орбита является коническим сечением и находится в плоскости, перпендикулярной векторной константе площадей с. Положение самой орбиты в этой плоскости однозначно определяется вектором Лапласа /, который проходит через точку О, являющуюся фокусом конического сечения, и направлен на перицентр тг. [c.241]

Если А > Б, то уравнение (26) будет уравнением движения физического маятника. Его движение подробно исследовано в п. 93-96. Если же А < В то мы снова можем получить уравнение маятника, если вместо замены переменной 2ip = а сделаем замену 2ip = а - - т . Если А = Б, то = О, т. е. тело равномерно вращается вокруг нормали к плоскости орбиты с произвольной угловой скоростью. [c.253]

Геометрически этот второй интеграл изображает плоскость, в которой располагается траектория, или, как иначе говорят, орбита движущейся частицы. Итак, траекторией частицы, совершающей движение под действием центральной силы, является плоская кривая, расположенная в плоскости, проходящей через центр силы и перпендикулярной к кинетическому моменту. G последнее следует из уравнения (18.25), так как =G. Сама плоскость служит геометрическим местом осей, относительно которых секторная скорость частицы равна нулю. [c.161]

Чтобы доказать это утверждение, необходимо вернуться к выражению (4 ) для IV, еще не приведенному к специальному виду. Оно является полным реше-иием уравнения в частных производных (2), а к этому последнему сводится задача движения планеты при присоединении уравнения плоскости орбиты планеты, если решение ищется в переменных г, з, причем а, Ъ, с рассматриваются не как произвольные, а как данные постоянные. Отсюда следует, что если из (4) вывести повое., д fV , [c.172]

Недавно был разработан метод осреднения , предназначенный для решения -линеаризованных уравнений движения спутника с двойным вращением, свободного от воздействия внешних тел [1 ]. В настояш,ей заметке содержится обобщение задачи с учетом влияния поля тяготения Земли. Предполагается, что спутник обращается по круговой орбите и ось его собственного вращения направлена с определенной точностью перпендикулярно плоскости орбиты. [c.93]

В главе 6 рассматривается влияние гравитационных возмущений. С помощью интеграла Якоби исследуются для круговой орбиты области возможных движений оси динамически симметричного спутника. Показано, в частности, что ось динамически вытянутого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности радиуса-вектора орбиты, а ось динамически сжатого спутника — в окрестности нормали к плоскости орбиты. Если же составляющая абсолютной угловой скорости по оси симметрии все время остается равной нулю, то ось динамически сжатого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности касательной к орбите. Если кинетическая энергия относительного вращения спутника достаточно велика, то областью возможных движений становится вся единичная сфера и движение можно рассматривать как ротационное. Для такого движения исследуются вековые гравитационные возмущения и общие особенности движения на круговой и эллиптических орбитах для круговой орбиты, согласно общей теории главы 5, построено решение во втором приближении в эллиптических функциях аналогичное приближенное решение получено для эллиптической орбиты. Сравнение с численным интегрированием точных уравнений показывает, что решение второго приближения обладает очень высокой точностью. [c.13]

Уравнения движения и их анализ. Сжатие Земли вызывает медленный поворот плоскости орбиты [61]. В сочетании со стабилизирующим (относительно орбиты) эффектом гравитационных моментов поворот плоскости орбиты вызывает вынужденные колебания спутника относительно этой плоскости. Но эти колебания очень малы. [c.134]

Рассмотрим еще один вариант ограниченной задачи трех тел, в котором две точки одинаковой массы описывают эллиптические орбиты в плоскости х,у, симметричные относительно оси г, а третья точка нулевой массы все время остается на оси. 2 (пылинка в поле двойной звезды, рис. 5). Движение последней описывается дифференциальным уравнением [c.49]

Мы уже отметили, что в случае, когда силовое поле обладает плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси симметрии, уравнения движения допускают решения, в которых г = = 2 = 0. Рассмотрим частный случай таких плоских решений, в котором орбита точки Р есть окружность с центром в начале координат. [c.313]

Дифференциальные уравнения движения в плоскости орбиты Плоскость орбиты совпадает с плоскостью бросания, и ее положение в основной системе Oxyz определяется углами SIq и (рис. 10). Эти углы находим из начальных условий при помощи формул (2,8). Точки, в которых орбита пересекает линию узлов, называются узлами. Восходящим узлом называется [c.42]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

Третье уравнение (движение в канале тангажа) показывает, что тан-гажное движение системы в плоскости орбиты в первом приближении не связано с движением по кр 1у и рысканию, которые, как видно из первых двух уравнений, между собой связаны. Из первых двух уравнений следует, что гироскопический момент от вращающегося маховика увеличивает восстанавливающий гравитационный момент по крену на величину а по курсу создает восстанавливающий момент, равный по величине [c.149]

При выводе уравнений движения системы спутник — стабилизатор с трехстепенным подвесом выяснилось, что малые колебания системы по углу тангажа (в плоскости Орбиты) не зависят от углов крена и рысканья, в то время как колебания по углам крена и рысканья взаимосвязаны и не зависят от угла тангажа. Этот факт позволил перейти в конструкции системы спутник — стабилизатор к подвесу с двумя степенями свободы, а затем, избавившись от симметричности схемы, приводящей к независимости колебаний в плоскости орбиты от углов крена и рысканья, и к подвесу с одной степенью свободы (В. А. Сарычев, 1964). Асимптотическая устойчивость положения равновесия системы по всем угловым переменным при этом может быть обеспечена, несмотря на частичную диссипацию. Уменьшение числа степеней свободы подвеса позволяет значительно упростить конструкцию системы спутник — стабилизатор. [c.298]

Теоретическое исследование закона Кассини. Движение твердого тела вокруг удаленного притягивающего центра исследовалось в предположении, что движение центра тяжести тела происходит в одной плоскости. Из уравнений (2) п. 552 следует, что движение в случае, когда центр тяжести тела описывает круговую орбиту, а само тело всегда вращается вокруг главной оси инерции, направленной к притягивающему центру, является стационарным. Предыдущие исследова1шя также показывают, что это движение устойчиво при всех возмущениях, которые не изменяют плоскости движения при условии, что момент ииерции относительно главной оси, которая направлена к притягивающему центру, меньше момента инерцин относительно другой главной оси, лежащей в плоскости орбиты. Теперь остается определить эффект от этих возмущений в наиболее общем случае, когда движение происходит в пространстве. [c.423]

Разложим возмущающее ускорение на три прямоугольных составляющих 5, / , где является составляющей ускорения, перпендикулярной к плоскоати орбиты с положительным направлением к северному полюсу . 5 является составляющей в плоскости орбиты, действуюп1ей под прямым углом к радиусу-вектору с положительным направлением, образующим угол меньше чем 90° с направлением движения / —составляющей, действующей вдоль радиуса-вектора с положительным направлением от Солнца. Составляющие, употребленные в предыдущей главе, очевидно, могут быть применены здесь вместо этих, но получающиеся уравнения будут менее просты. [c.350]

Режим установившейся с т а б и л и з а ц и и. Важнейшей характеристикой этого режима является погрешность стабилизации. Оценка этой характеристики может быть получена решением уравнения движения в частных случаях. Наиболее типичным случаем является случай движения в плоскости магнитополярной круговой орбиты. Выбор этого случая для получения оценок обусловлен, во-первых, тем, что большинство КА с М.СС имеют орбиты с высоким наклонением, где эффективность МСС выше вследствие большей величины МПЗ, и, во-вторых, тем, что в плоскости магнитополярной орбиты КА испытывает наибольшие возмушения со стороны МПЗ вследствие неравномерности вращения его вектора В [см. (6.34а)]. При анализе уравнений движения полезно угол отклонения КА от МПЗ полагать малым и учитывать гравитационный возмущающий момент. При этом из (6.38) следует, что [c.144]

При включении магнитного поля на электрон начинает действовать добавочная сила Лоренца, равная егсоЯ/с, так как v = no и sin (v, Н) = 1, поскольку поле перпендикулярно к плоскости орбиты (со — угловая скорость электрона при наличии поля Я). Сила Лоренца действует вдоль радиуса круговой орбиты, т. е. изменяет центростремительную силу, а следовательно, и частоту обращения электрона. Уравнения левого и правого вращательного движения электрона запишутся соответственно В виде [c.106]

Ограниченная задача. Уравнения движения. Органиченная задача трех тел заключается в следующем. Частица А массы а и частица В массы р движутся под действием сил взаимного притяжения. Центр масс G обеих частиц движется равномерно и прямолинейно, так что без потери общности можно считать, что он находится в покое. Начальные условия таковы, что орбита частицы В относительно А представляет собой окружность с центром в А, следовательно, каждая частица движется относительно центра масс G по окружности. Рассмотрим частицу Р пренебрежимо малой массы (так называемый планетоид)-, пусть эта частица совершает движение в одной плоскости с, А vl В. Мы будем считать, что она движется под действием Рис. 113. [c.563]

В 6.4 определяется дифференциальное уравнение орбиты гиперреактивной точки и находятся элементы орбитальной траектории в плоскости движения Лапласа. Поиск уравнения орбиты осуществляется в зависимости от параметров и характера работы излучающего центра (двигателя) точечного гиперона, т.е. в зависимости от динамики изменения массы объекта и ее производных по времени. [c.175]

Ниже исследуется ограниченная круговая задача трех тел, когда третье малое тело предполагается сферически симметричным и деформируемым, его центр масс движется в плоскости круговых орбит двух первых тел, а враш,ение вокруг центра масс происходит вокруг нормали к плоскости движения центра масс. Суш,ественным обстоятельством, влияюш,им на эволюцию движения малой сферически симметричной деформируемой планеты является рассеяние энергии нри ее деформациях, что приводит к эволюции ее орбиты и угловой скорости враш,ения. Поскольку нреднолагается, что массы двух тел (для Солнечной системы это могут быть Солнце и Юпитер) относятся как один к /i, (/i <С 1), то эволюция движения деформируемой планеты разбивается на два этапа. На первом этапе быстрой эволюции орбита деформируемой планеты стремится к круговой с центром в массивном теле, а ее враш,ение совпадает с орбитальным (режим гравитационной стабилизации, резонанс 1 1). При этом планета оказывается деформированной (сплюснутой по полюсам и вытянутой вдоль радиуса, соединяюш,его планету с массивным телом) [1, 2]. На втором этане медленной эволюции учитывается влияние планеты с массой /i, что приводит к эволюции круговой орбиты деформируемой планеты. Согласно полученным ниже уравнениям, описываюш,им эволюцию круговой орбиты, ее радиус стремится к радиусу тела массы 1, т. е. он возрастает, если деформируемое тело находится внутри орбиты тела массы /i, или убывает в противном случае. На конечном этане медленной эволюции, когда орбиты деформируемой планеты и тела массы 1 становятся близкими, возможен захват деформируемой планеты пла- [c.385]

Постановка задачи, уравнения движения. Пусть две мате-эиальные точки Mi и М2, массы которых равны единице и /i (/i <С 1), описывают круговые орбиты под действием сил ньютоновского притяжения вокруг общего центра масс О в плоскости ОХ1Х2. Пусть ОМ2 = Ь, OMi = fib, а угол а между осью OXi и ОМ2 меняется но закону OL = fi) , ио 1 = fb , где / — гравитационная посто- [c.386]

Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном поле сил. В работе [2] получены векторные уравнения онисы-ваюш,ие эволюцию движения центра масс и враш,ения вокруг центра масс вязкоупругого шара в случае пространственной задачи, когда в процессе движения эволюционирует орбита (ее форма и положение в пространстве и момент количеств движения). Ниже исследуются уравнения, описываюш,ие эволюцию в канонических переменных Делоне-Андуайе в плоском случае, когда плоскость орбиты центра [c.389]

Так как в уравнениях 25 координаты х ж у изменяются на протяжении всей орбиты Земли, то они мало пригодны для приближений, поэтому необходимо ввести в нащи уравнения новые координаты. 5 Чтобы это проще выполнить, проведем из точки 0, к которой следует относить движение Луны, в плоскости эклиптйки какую-нибудь прямую 0 , которая около точки 0 как угодно вращается, и обозначим угол а0Ь через О) (фиг. 4 и б) и примем эту прямую за ось 0Х опустив на эту ось из точки У перпендикуляр Ух обозначим новые координаты так [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...