Движение кеплеровское

В предыдущей главе было установлено, что невозмущен-пое движение (кеплеровское ) происходит в некоторой неизменной плоскости, проходящей через начало координат (центр силы притяжения) и что траектория или орбита движущейся точки есть кривая второго порядка, один из фокусов которой совпадает с началом координат. [c.470]

Теория невозмущенного движения (кеплеровского) подробно разобрана в части третьей нашей книги, где выведены все необходимые формулы, дающие общее решение системы уравнений, которой совершенно подобна каждая из систем (13.1 ). [c.656]

Кеплеровские элементы орбиты. Решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, определяемых начальными условиями движения. Их можно вводить по-разному и не обязательно именно так, как это было сделано в предыдущих пунктах в процессе решения задачи двух тел. Рассмотрим произвольные постоянные, которые носят название кеплеровских элементов орбиты и очень широко используются в небесной механике. За кеплеровские элементы принимаются следующие шесть величин, одпо-значно определяемых по начальным условиям Q, i, р, е, со, t. [c.204]

Время в кеплеровском движении. Уравнение Кеплера. В предыдущих пунктах определен геометрический характер орбиты точки Р. Орбита является коническим сечением и находится в плоскости, перпендикулярной векторной константе площадей с. Положение самой орбиты в этой плоскости однозначно определяется вектором Лапласа /, который проходит через точку О, являющуюся фокусом конического сечения, и направлен на перицентр тг. [c.241]

Невозмущенного движения по кеплеровскому эллипсу. [c.119]

Видим, что уравнение управления имеет такой же вид, как и однородная часть уравнения движения. Но эта однородная часть имеет решением вариацию кеплеровского движения и, следовательно, выражается в квадратурах. Тогда в аналогичных квадратурах выражается и век- [c.41]

Задача трех тел является модельной задачей в небесной механике, исследование которой позволяет объяснить ряд механических явлений в Солнечной системе. В некоторых моделях используется ограниченная круговая или эллиптическая задача трех тел, когда два массивных тел движутся по заданным кеплеровским орбитам в поле сил взаимного притяжения, а третье тело мало, не влияет на движение первых двух и движется в гравитационном поле, порожденном первыми двумя телами. В этих задачах тела рассматриваются как материальные точки. [c.385]

В этом параграфе рассматриваются вопросы устойчивости положений равновесия орбитальной тросовой системы в предположении, что движение ее центра масс С происходит по известной кеплеровской орбите. [c.424]

Теперь полезно рассмотреть в качестве примера важную для небесной механики задачу об устойчивости какого-либо кеплеровского движения. [c.69]

Возьмем обычные уравнения кеплеровского движения [c.70]

Но по отношению к радиусу-вектору (а следовательно, и по отношению к скорости) эллиптическое кеплеровское движение будет неустойчивым. [c.71]

Заметим, что законы И. В. Мещерского получаются из уравнения (4.39) при л = 2и = 3и окончательное решение получается только в элементарных функциях, если а = О (что соответствует случаю кеплеровского движения), или в эллиптических функциях, если а ф О, так как в этом случае к ньютоновой силе присоединяется сила Гука и решение задачи приводится к уравнению типа (4.31). [c.201]

Но уравнения невозмущенного кеплеровского движения заведомо имеют периодические решения, орбиты которых (эллипсы или окружности) могут лежать в плоскостях, образующих любой угол с основной координатной плоскостью. [c.334]

Эти девять направляющих косинусов выражаются через три эйлеровых угла подвижной системы (Л1о г] ) —долготу узла О, наклонность I и угол собственного вращения Ф — известными формулами теоретической механики (или теории кеплеровского движения), которыми в этом параграфе нам не придется пользоваться и которые поэтому здесь выписывать не будем. [c.351]

В частности, для N = 2, т. е. для случая закона Ньютона, уравнения (8.63) определяют кеплеровское движение и орбита каждой из точек М и М2 есть кривая второго порядка с фокусом в точке Мо. Главный интерес представляют, конечно, случаи, когда эта орбита есть окружность или эллипс. [c.371]

Подобное же обстоятельство было уже отмечено нами в главе II прн рассмотрении задачи об устойчивости эллиптического кеплеровского движения. Поэтому в случае кеплеровского движения можно говорить только об его орбитальной устойчивости. Нечто подобное мы имеем и в рассматриваемой задаче тре.х тел. [c.385]

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ НЕВОЗМУЩЕННОЕ КЕПЛЕРОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ [c.412]

Дифференциальные уравнения невозмущенного кеплеровского движения [c.412]

Заметим в заключение, что невозмущенное движение, определяемое в общем случае уравнениями (9.15 ), вообще не яв< ляется кеплеровским движением, так как не подчиняется законам Кеплера. [c.423]

Переходим к задаче об интегрировании дифференциальных уравнений невозмущенного кеплеровского движения. [c.423]

Пример. Рассмотрим задачу кеплеровского движения планеты в пространстве, предполагая Солнце неподвижным и помещенным в начале координат. В сферических координатах г, 0, ф уравнепне Гамильтона (7.18) имеет вид [c.221]

Первые два К. а. были опубликованы в 1609, третий — в 1619. К, 3. сыграли важную роль в установлении Н. Ньютоном закона всемирного тяготения. Решение задачи о движении материальной точки, взаимодействующей но этому закону с неподвижной центр, точкой (невозмущённое кеплеровское движение), приводит к формулировке обобщённых К. з. [c.347]

Очевидно, что случай отсутствия возмущающих реактивных и гиперреактивных ускорений (ах = а2 = О, bs = Ь = 0) должен приводить к кеплеровскому движению по коническому сечению, в фокусе которого сосредоточена гравитирующая масса (первый закон Кеплера). Для этого случая система уравнений (6.33) перепишется в виде [c.194]

Движение точки в поле тяготения земного сфероида. Названная задача является основной в теории движения близкого искусственного спутника Земли. Следует, конечно, еще учитывать существенное влияние атмосферы Земли на движение спутника, и этому учету посвящен ряд работ. Не останавливаясь здесь на этом вопросе, рассмотрим движение спутника в поле тяготения Земли, пренебрегая всеми остальными факторами. Отличие поля тяготения Земли от поля тяготения ньютоновского центра вызывает возмущения в траектории спутника и отличие ее от кеплеровского эллипса. Существует хорошо разработанный в небесной механике аппарат теории возмущенийтак называемые уравнения в оскулирующих элементах. Использование этого аппарата позволяет весьма просто установить, что основными возмущениями в рассматриваемом случае будут поступательные движения узла орбиты и перигея орбиты. Однако эта задача оказалась занимательной и совсем с другой точки зрения. Обнаружилось, что эта задача в известном смысле эквивалентна старой классической задаче о движении точки в поле тяготения двух неподвижных притягивающих центров. Эта последняя задача, как известно, интегрируется в квадратурах она рассматривалась многими авторами, но не нашла конкретного применения в небесной механике. Появление искусственных спутников стимулировало бурный прогресс в исследованиях и привело, между прочим, и к открытию упомянутой эквивалентности. Таким образом, старая задача получила новое и очень важное конкретное приложение к теории движения искусственных спутников Земли. Первая публикация [1], устанавливающая эквивалентность двух задач, принадлежит молодым советским ученым Е. П. Аксенову, Е. А. Гребенникову, В. Г. Демину, (1961 г.). (В книге Брауэра и Клеменса [2], изданной в 1961 г., также содержится краткое упоминание о такой эквивалентности). Рассмотрим вопрос несколько подробней. [c.38]

Исследования движения планет и других тел солнечной системы, которыми занималась классическая небесная механика, были, как правило, несколько утилитарны — приспособленными к случаю орбит, лежаш.их почти в одной плоскости и мало отличаюш ихся от круговых. Такой подход, конечно, был оправдан запросами астрономической практики. С запуском космических аппаратов приобрели интерес исследования, не накладываюш ие никаких ограничений на форму и взаимное расположение орбит. Так как орбита, как правило, на небольшом интервале времени мало отличается от кеплеровской, то очень интересно проследить эволюцию орбиты за достаточно большой кусок времени. Цикл работ в этом направлении выполнен М. Л. Ли-довьш [14]. В исследованиях он широко пользовался асимптотическими методами нелинейной механики, а именно, методом усреднения по быстрым движениям и анализом получаюш,ейся усредненной системы дифференциальных уравнений. В небесной механике подобный подход, по-видимому, долгое время не котировался, но совершенно напрасно. Теоретические исследования последнего времени и сравнение с чис- [c.42]

Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной в 5 гл. I. Предположим сначала, что масса Юпитера л равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид вращается вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским-орбитам пусть орбиты — эллипсы. Удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне Ь,С,1,д если а и е—большая полуось и эксцентриситет орбиты, то Ь = у/а, С = - 0(1 — е ), д — долгота перигелия, I — угол, определяющий положение астероида на орбите, — эксцентрическая аномалия [173]. Оказывается, в новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с гамильтонианом Го = —1/ 2Ь ). При ф О полный гамильтониан Г разлагается в ряд по возрастающим степеням /х F = Fo -Ь fJ.Fi -Ь. .. В подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, поэтому Г згшисит от Ь,С,1 и д — 1. Положим Ух = Ь, у2 = С, Хх = I, Х2 = д — I и Н = Г — С. Функция Н теперь зависит лишь от х, у, причем относительно угловых переменных, Т1, Х2 она 2тг-периодична. В итоге уравнения движения астероида представлены в виде гамильтоновой системы [c.186]

В данной работе рассматривается задача стабилизации положения равновесия орбитальной тросовой системы (ОТС) при помощи одностепенных гироскопических стабилизаторов — статически и динамически уравновешенных симметричных маховиков. ОТС состоит из тела-носителя с маховиками и присоединенного к нему на длинном весомом тросе зонда-спутника. Зонд-спутник считается материальной точкой, трос — гибкой нитью, не испытывающей сопротивления на изгиб и кручение. Предполагается, что центр масс тела-носителя с маховиками (первый случай) и орбитальной тросовой системы (второй случай) совершает движение по известной кеплеровской круговой орбите в ньютоновском центральном поле сил. Найдены частные решения нелинейных дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными, соответствующие положениям равновесия ОТС в орбитальной системе координат. Главные центральные оси ОТС коллинеарны осям орбитальной системы координат. Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону притягивающего центра (первый и второй случаи). Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону противоположную от притягивающего центра (первый и второй случаи). [c.403]

Наконец, в примепении к задаче трех (или многих) тел удается найти ус./10вно-периодические движения п.шнетного типа . Чтобы описать эти движения, нужно сказать несколько слов о следующем после кеплеровского приближения в задаче о движении планет. Для простоты мы ограничимся здесь плоской задачей. [c.381]

Рассмотрим теперь какое-нибудь кеплеровское движение, ко торому соответствуют заданные начальные значения У аК 4° о условимся называть это избранное [c.71]

Итак, рассмотрим задачу о движении пассивной массы под действием ньютоновского притяжения двух конечных масс, то и ть движущихся вокруг общего центра масс О по подобным кеплеровским орбитам. Координаты точки Мг в системе координат Нехмла, Н0 с началом в центре масс О, обозначим теперь через I, т), Тогда уравнения движения точки Мг (с пассивной массой) напишутся, как легко видеть, если перейти в (5.28) к системе с началом в О и с прежними направлениями осей, следующим образом [c.272]

Аналогичное явление известно нам из теории невозмущен ного кеплеровского движения, где разложения координат эллип тического движения по степеням эксцентриситета е сходятся абсолютно лишь при е < 0,6627. . . , в то время как ряды Фурье представляющие те же координаты, сходятся (но не абсо лютно ) для всех значений е в промежутке О < е < 1. [c.303]

Интегралы (9.17) и (9.18) являются, конечно, частнымн случаями интегралов задачи многих тел. Но уравнения (9.16) имеют еще другие интегралы, которые раньше нам не встречались и которые существуют только в задаче о невозмущенном кеплеровском движении. Эти интегралы, к выводу которых мы сейчас перейдем, впервые были получены Лапласом и называются по этой причине интегралами Лапласа. [c.425]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...