Задача о движении планет

Зная законы действующих на частицы системы сил и состояние системы в некоторый начальный момент времени, можно, как показывает опыт, с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, т. е. найти состояние системы в любой момент времени. Так, например, решается задача о движении планет Солнечной системы. [c.63]

Рассмотрим в общих чертах задачу о движении планет н получим формулу, выражающую закон всемирного тяготения. [c.395]

Поэтому можно считать, что на планету действует сила притяжения к неподвижной точке О. В этом и заключается оправдание рассматриваемой в динамике точки задачи о движении планет как задачи о движении точки, притягиваемой неподвижным полюсом. [c.146]

В этом параграфе мы покажем, как метод интегрирования Гамильтона-Якоби непосредственно и, так сказать, автоматически приводит к решению астрономической задачи о движении планет. С другой стороны, мы установим, что этот же метод удовлетворяет требованиям атомной физики и дает естественное введение в (старую) квантовую теорию. [c.308]

Задача 1. Рассмотреть задачу о движении планет, сформулированную раньше в задаче 2, п. 2. Показать, что постоянство циклического импульса рд есть не что иное, как закон Кеплера о площадях. [c.152]

Отметим тесную связь между этим геодезическим принципом и динамическим принципом теории Эйнштейна. Там также задача о движении эквивалентна нахождению геодезической линии риманова пространства. Это риманово пространство имеет четыре измерения, так как пространство и время вместе образуют единый четырехмерный континуум. Из закона инерции получается решение задачи о движении планет без введения каких бы то ни было сил гравитации. Принцип Якоби применим в релятивистской механике частицы. Единственная разница заключается в том, что риманова структура четырехмерного континуума является внутренним свойством вселенной, а не следствием наличия кинематических связей. [c.167]

Выражение г как функции от t. Поскольку уравнение (18.12.9) содержит только i и г, можно воспользоваться способом 1.3, развитым для систем с одной степенью свободы, и выразить г в виде функции от t. Отметим между прочим, что этот способ впервые был применен именно в задаче о движении планеты. [c.350]

В более общих задачах о движении планет функция К задается рядом [c.512]

Например, Солнце и планеты образуют Солнечную систему. При решении задач о движении планет рассматриваются одновременно движения всех тел Солнечной системы. [c.198]

В теоретической механике иногда и тела конечных размеров рассматривают как материальные точки это делают в тех случаях, когда в условиях данной задачи размеры тела не играют существенной роли и потому ими можно пренебречь. Например, в задаче о движении планет вокруг Солнца планеты рассматриваются как материальные точки ввиду того, что их размеры весьма малы сравнительно с их расстояниями от Солнца. [c.32]

Задача о движении планет в течение многих лет является [c.242]

Для полного решения задачи о движении планет надо знать не только те силы, которые вызывают эти движения, но и начальные положения и скорости планет — без этого нельзя дать полного решения задачи об их движении Ньютон пишет, что все эти правильные движения не имеют своим началом механических причин ( Начала , стр. 659) следовательно, их можно объяснить только толчком извне, а дать его мог, по его концепции, только бог. [c.28]

Поясним последнее определение на примере задачи о движении планет. Предположим, что мы не сомневаемся в справедливости закона всемирного тяготения, но не знаем начальных условий для движения планет и не знаем масс планет. То есть мы [c.53]

Используя задачи о движении планет и движении космического аппарата, поясним некоторые важные для всего курса механики понятия. [c.57]

Один из подходов к неинтегрируемым системам — изучение систем, близких к интегрируемым. Например, задача о движении планет вокруг Солнца близка к интегрируемой задаче о движении невзаимодействующих точек вокруг неподвижного центра упомянем еще задачу о движении слегка несимметричного тяжелого волчка и задачу о нелинейных колебаниях вблизи положения равновесия (близкая интегрируемая задача — линейная). При исследовании этих и подобных задач чрезвычайно плодотворен следующий метод. [c.256]

Примером такой ситуации является задача о движении планет вокруг Солнца по закону всемирного тяготения. Масса планет составляет примерно 0,001 массы Солнца, поэтому в первом приближении можно пренебречь взаимодействием планет друг с другом и учитывать только их притяжение Солнцем. В результате [c.365]

Другой интересный случай центральной возмущающей силы представляет задача о движении планеты в предположении, что масса Солнца изменяется с течением времени, или также задача об относительном движении в системе двойной звезды в предположении, что одна или даже обе из двух звезд обладают массами, зависящими от времени. [c.595]

Классическая небесная механика представляет для астродинамики двоякий интерес. Прежде всего для исследования движения искусственных небесных тел необходимо знать в любой момент времени точные положения главнейших естественных небесных тел солнечной системы. Но задача о движении планет солнечной системы и Лупы решена классической небесной механикой, и астродинамика может пользоваться этим решением. Кроме того, богатство и разнообразие методов решения задач о движении естественных небесных тел, разработанных астрономами в течение нескольких столетий, позволяет при исследовании новых задач, поставленных астродинамикой, идти изведанными путями, выбирая для каждого конкретного случая тот или иной готовый метод. [c.6]

Первые применения теории возмущений связаны с проблемами небесной механики. При изучении задачи о движении планет в солнечной системе, например Земли, в первом приближении, учитывая взаимодействие Земли и Солнца, можно пренебрегать влиянием остальных небесных тел. В такой постановке задача, называемая задачей двух тел, имеет общее точное решение (так называемые орбиты Кеплера). [c.31]

Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона —Якоби, что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур. Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений, каждое из которых содержит только одну независимую переменную и производную искомого полного интеграла по этой переменной ([38], двадцать четвертая лекция). Далее Якоби распространил метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем можно познакомиться в [19], т. II, ч. 2, [37]. Однако метод разбиения Якоби является и до настоящего времени основным для интегрирования уравнений в частных производных первого порядка. [c.331]

Заметим, наконец, что когда в поле тяготения тела 5 (Солнца) движется одновременно несколько тел Я, (планет), то точное решение задачи требует учета не только сил притяжения между телами и телом S, но и взаимного притяжения тел Pj. Точное решение возникающей отсюда задачи и тел, т. е. задача о движении п материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, связано с большими математическими трудностями, и его не удалось пока найти с помощью известных в анализе функций даже для случая трех тел. [c.396]

Потребность в изучении свойств движений твердых тел зародилась в глубокой древности. Практически любая техническая конструкция включает элементы, которые в нормальных условиях их работы близки по своим свойствам к абсолютно твердому телу. Задачи баллистики пушечных ядер, снарядов, ракет, спутников планет на определенных этапах исследования могут рассматриваться как задачи о движении абсолютно твердого тела. Такие же задачи возникают при создании высокоточных измерительных приборов, механизмов и машин. Из сказанного ясно, что теория движения абсолютно твердого тела весьма обширна и имеет многочисленные практические приложения. Здесь мы ограничимся лишь основами этой теории, включающими общую математическую постановку проблемы и традиционные методы решения типичных задач. [c.443]

К задаче о движении тел в центральном поле тяготения относится, например, изучение движения планет солнечной системы. В этом случае Солнце и планеты можно принимать за материальные точки. Рассматривая движение какой-либо планеты, будем считать, что она движется только под действием сил тяготения к Солнцу, пренебрегая при этом влиянием других планет. Это допустимо потому, что масса Солнца почти в 750 раз превышает массу всех вместе взятых планет. Кроме того, можно также пренебречь и силой, с которой рассматриваемая планета притягивает к себе Солнце, потому что вызываемое ею ускорение Солнца мало. При этих упрощениях задача, по существу, сводится к изучению движения материальной точки (планеты) в поле тяготения, созданном другой неподвижной материальной точкой (Солнцем), т. е. к изучению движения тела, принимаемого за материальную точку в центральном силовом поле. [c.115]

В качестве типичного примера рассмотрим задачу Кеплера о движении планет. Используя сферические координаты г. О, ф, получаем линейный элемент [c.277]

Если пренебречь действием на систему Солнце—планета или планета—спутник других небесных тел, то к этой задаче двух тел можно будет отнести также и задачу о движении систем Солнце— планета или планета—спутник, которую мы уже рассмотрели в предыдущем параграфе, приводя ее при помощи соответствующих предположений к случаю движения точки, притягиваемой неподвижным центром. Как мы увидим из последующего изложения, эта новая постановка указанных задач, являясь менее схематичной, чем постановка, изложенная в предыдущем параграфе, приводит к приближению, несколько лучшему, чем то, которое было достигнуто при изучении движения точки, притягиваемой неподвижным относительно звезд центром (или центром, находящимся в прямолинейном и равномерном движении). [c.200]

Вариация эллиптических элементов. Задача о движении двух тел (например. Солнца и планеты) иод действием сил взаимного притяжения может быть рассмотрена на основе изложенной выше теории. Здесь требуется выяснить, каково изменение во времени эллиптических элементов а, е, г, 0, Uq, Фо ( 18.13), вызванное малым возмущением. [c.510]

В следующем 3.2 рассматривается задача о движении космического летательного аппарата в центральном гравитационном поле планеты. Определяются уравнения плоского движения в полярной системе координат, интегрируя которые можно найти траекторию полета аппарата. Изучаются уравнения орбит, их параметры и особенности в тесной взаимосвязи со скоростными характеристиками движения самого аппарата. [c.77]

Задача Кеплера в классическом рассмотрении. Надо показать, что метод интегрирования Гамильтона Якоби приводит к решению астрономической задачи Кеплера о движении планет [139]. [c.530]

Таким образом, построено частное периодическое решение в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой в поле притяжения двух неподвижных центров. Работа [1] и данная статья могут рассматриваться как первое приближение к решению задачи о движении твердого тела в поле осесимметричной вращающейся планеты. [c.81]

Важнейший для астрономии конкретный случай задачи п тел — это задача о движении девяти больших планет вокруг Солнца п = 10). [c.13]

Рассеяние частиц в поле центральной силы. Исторически интерес к центральным силам возник из астрономических задач о движении планет. Однако нет оснований считать, что интерес к этим силам ограничивается лишь задачами такого рода. Мы уже указывали на другой пример применения теории центральных сил — задачу о движении электрона в атоме Бора. Мы сейчас рассмотрим еще одну задачу о центральных силах, допускающую решение с позиций классической механики. Это — задача о рассеянии частиц в поле центральной силы. Конечно, если эти частицы имеют масштабы атома, то следует ожидать, что некоторые результаты классического исследования будут часто физически неправильными, так как квантовые эффекты в этих случаях обычно значительны. Тем не менее, имеется много классических полох<ений, которые остаются верными и здесь и поэтому могут служить в качестве достаточно хорошего приближения. [c.97]

Аналитический подход к задаче о движении совсем иной. Частица уже больше не является изолированным объектом, а представляет собой часть системы . Под механической системой понимается совокупность частиц, взаимодейству-юш,их между собой. Отдельная частица не играет роли изучается поведение системы как целого. Например, допустим, что в задаче о движении планет нас интересует движение лишь какой-то одной из них. Однако задачу нельзя решить в таком ограниченном виде. Источником силы, действуюш,ей на данную планету, в основном является Солнце. Но в какой-то степени эта сила обусловлена действием других планет, и потому она не может быть определена, если не известно движение остальных частей системы. Поэтому целесообразно рассматривать задачу динамики системы в целом, не разбивая эту систему на части. [c.26]

Задача 3. Применить общий метод уменьшения числа степеней свободы к рассматривавшейся ранее задаче о движении планет (см. п. 2, задача 2), их ключив 0. В результате получается задача с одной степенью свободы, которая может быть решена при помощи теоремы [c.154]

Таким образом, задача о движении планет под действием притяжения центрального тела становится эквивалентной вычислению геодезической линш в римановом пространстве с линейным элементом (9.11.1). Это снова предполагает решение задачи динамики с функцией Гамильтона (9.10.5), которая в этом случае имеет вид [c.374]

Наконец, в примепении к задаче трех (или многих) тел удается найти ус./10вно-периодические движения п.шнетного типа . Чтобы описать эти движения, нужно сказать несколько слов о следующем после кеплеровского приближения в задаче о движении планет. Для простоты мы ограничимся здесь плоской задачей. [c.381]

Но основы современной механики заложил И. Ньютон (1643—1727), дав в вышедшей в 1687 г. книге Математические начала натуральной философии полную и строгую систему задонов механики. Ньютон определяет механику как учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было движений . Смысл этого определения не утрачен до сих пор и отражается в прямой и обратной задачах механики. Создав принципы механики, Ньютон разрешил и большое число ее конкретных задач, в частности задачу о движении планет в поле силы тяжести Солнца. [c.29]

Некоторые успехи в формировании науки о баллистическом проектировании ракет были достигнуты на рубеже XIX и XX столетий, когда к решению баллистических задач стали привлекаться результаты исследований в области гидродинамики, изучавшей явления реакций водяной струи, и в области астрономии, рассматривавшей некоторые случаи механического движения тел с изменяющейся массой применительно к общей теории движения планет. В ряду этих исследований существенное значение для разработки основ баллистического проектирования имели выпо.лненные в 1897—1908 гг. работы Н. Е. Жуковского [5] и особенно работы И. В. Мещерского (1859—1935) по фундаментальным проблемам механики тел пере-л1енной массы, опубликованные в 1897—1904гг. [10]. Но, рассмотрев многие проблемы, связанные с изучением движения тел, масса которых меняется в процессе разновременного или одновременного присоединения и отделения частиц. Мещерский ограничился лишь самой общей постановкой задачи о движении ракет. Наиболее полное решение этой задачи и обоснование возможности использования принципа реактивного движения для межпланетных перелетов впервые были даны К. Э. Циолковским [c.411]

В эллиптическом случае, которым мы здесь ограничимся, форма и размеры орбиты некоторой точки Р определяются постоянными а и е (большая полуось и эксцентриситет). Что же касается положения, занимаемого орбитой в пространстве, то небходимо прежде всего отметить, что начало осей выбирается во всех случаях, как это подсказывается самой задачей, в центре силы (в центре Солнца, если речь идет о движении планет), где орбита будет иметь свой фокус. Плоскость ху можно задать произвольно, но в случае планет теперь уже стало общепринятым принимать ее совпадающей с плоскостью эклиптики на 1 января 1850. Оси х, у принимают направленными к точке весеннего равноденствия и к точке лет него солнцестояния в это время, а ось 2 — направленной к северному полюсу эклиптики в силу этого система осей будет правой. По отношению к этой системе осей (или какой-нибудь другой, заданной как угодно) остается еще определить положение плоскости [c.205]

В предыдущих главах была изучена та часть реологии, которая стала классической и известна под названием механики сплошной среды и входит в учебники по механике после разделов механика материальной точки и системы материальных точек и механика твердого тела и системы твердых тел, в которых также рассматривается идеализация, и даже болЫпая, чем гуково тело и ньютоновская жидкость. Когда механика изучает движение планет вокруг Солнца, то планеты рассматриваются как материальные точки, каждая из которых обладает некоторой массой т. При таком изучении материальными свойствами небесных тел, будь они упругие тела, пластические или жидкие, полностью пренебрегают. Это является исходной предпосылкой механики Ньютона. Когда механика обращается к задачам о движении тел на Земле, она постулирует также несуществующее, абсолютно твердое тело. Если распространить принятую в главе I терминологию идеальных тел, то можно назвать абсолютно твердое тело евклидовым телом по имени Евклида (5 век до н. э.), который основал свою геометрию на предположении о существовании таких тел. В противоположность твердому телу Паскаль (1663 г.) предложил рассматривать материал, частицы которого могли бы двигаться одна относительно другой совершенно свободно, без какого-либо сопротивления. Это — жидкость, не обладающая какой-либо вязкостью, которая была названа идеальной жидкостью и которую можно назвать наскалев-ской жидкостью. Как евклидово тело, так и паскалевская жидкость не характеризуются никакими физическими постоянными, кроме массы. Следовательно, эти тела находятся вне области реологии. Затем в механику были введены два идеальных материала, характеризующиеся физическими постоянными и поэтому принадлежащие реологии (которая тогда еще не существовала). Эти тела были названы соответственно гуковым телом и ньютоновской жидкостью. Они являются классическими телами. В таких учебниках, как учебник Лява (1927 г.) по теории упругости и учебник Лэмба (Lamb, 1932 г.) по гидродинамике, задачи для этих тел сведены к задачам прикладной математики, после чего можно забыть об их физическом [c.124]

Закон площадей — прообраз и частный случай общего закона моментов количеств движения — был установлен впервые Кеплером для движения планет. Кеплер показал, что его второй закон справедлив как для теории Коперника, так и для теорий Птолемея и Тихо Браге. Возможно, что это обстоятельство побудило Ньютона к дальнейшему обобщению. В Началах он доказал и то, что закон площадей для планетных орбит является следствием закона тяготения (планет к Солнцу) в принятой Ньютоном форме, и то, что этот закон справедлив при движении тела под действием любой силы постоянного направления, проходящей через неподвижный центр. Но переход к более общей закономерности не был напрашивающимся, так как момент силы относительно этого центра тождественно равен нулю и в случае, который рассматривал Ньютон. Этот переход был облегчен развитием статики — оперирование моментами (сил) относительно ося или точки как алгебраическими величинами стало там обычным благодаря трудам Вариньона. Все же новое обобщение закона площадей было получено только в работах 40-х годов XVIII в. Все эти работы связаны с задачами о движении тел на движущихся поверхностях. Подобные задачи ставились и в земной, и в небесной механике. Иоганн и Даниил Бернулли начали изучение таких вопросов для случая, когда движущаяся поверхность — наклонная плоскость. Клеро немало содействовал успеху в этой тогда новой области механики своими результатами по теории относительного движения. Вслед за ним Эйлер в большой работе О движениях тел по подвижным поверхностям от- [c.125]

Ha основе этой теоремы, которая в настоящее время известна под названием теоремы Якоби — Гамильтона, Якоби дал новое решение знаменитых задач небесной механики о движении планет в поле тяготения Солнца, о движении точки, притягиваемой щвумя неподвижными центрами вместе с тем он определил геодезические линии трехосного эллипсоида. Решение двух последних задач Якоби сопроводил изложением теории эллиптических координат в многомерном пространстве. [c.20]

Так как первое из соотношений (1.4) уже накладывает связь на гп1 и // 2, то в нашем распоряжении остается три свободных параметра Си С2 и, допустим, Шх для удовлетворения условий (1.5). Следовательно, можно с помощью этих параметров определить коэффициенты /2, /зтак, чтобы потенциалы (1.1) и (1.3) совпадали до = 3 включительно. Более далекие члены этих потенциалов совпасть не могут, но это не очень важно, так как далекие члены весьма малы. Таким образом, задача двух неподвижных центров с высокой точностью совпадает с задачей о движении точки в поле тяготения земного сфероида (или любой планеты). Решая (1.4) и (1.5), получим [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...