Дифференциальное уравнение орбиты

Дифференциальное уравнение орбиты и интегрируемые степенные потенциалы. Переходя к рассмотрению различных специальных случаев центральной силы, мы несколько изменим постановку нашей задачи. До сих пор мы считали, что решение задачи означает нахождение г и 0 как функций времени при заданных постоянных интегрирования Е, I и др. Однако чаще всего нам приходится иметь дело не с этими функциями, а с уравнением орбиты, т. е. с такой зависимостью г от 6, из которой исключен параметр t. В тех случаях, когда сила является центральной, это исключение выполняется особенно легко,, так как уравнения движения содержат тогда t только в качестве переменной дифференцирования. Действительно, уравнение движения (3.8) дает нам в этом случае соотношение [c.86]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ 87 [c.87]

Эти соотношения можно использовать для преобразования уравнения движения (3.12) в дифференциальное уравнение орбиты. Кроме того, ими можно воспользоваться для интегрирования уравнений движения, заданных в форме (3.17), что даст нам непосредственно уравнение орбиты. Сначала мы пойдем по первому пути. [c.87]

Исходя из уравнения (3.34), можно сделать некоторые общие заключения о характере орбиты. Можно показать, например, что она симметрична относительно точек, в которых радиус г имеет максимум или минимум. Для того чтобы сделать это, мы должны показать, что орбита не меняется при отражении от полярного радиуса такой точки. Выберем для этого систему координат таким образом, чтобы полярная ось проходила через одну из этих точек. Тогда угол 0 будет здесь равен нулю и указанное отражение можно будет выполнить посредством замены 0 на —0. Дифференциальное уравнение орбиты [c.87]

Существует несколько путей интегрирования уравнения орбиты в рассматриваемом случае. Проще всего это делается с помощью подстановки значений (3.41) в дифференциальное уравнение орбиты (3.34) [c.92]

Здесь расстояние до афелия Гг обозначено через а, а расстояние до перигелия Г1 — через 6 а > Ь > 0. Дифференциальное уравнение орбиты имеет вид [c.69]

Однако предпочтительнее ввести в (4.46) вместо времени переменную ср посредством (4.41) и получить дифференциальное уравнение орбиты (или траектории) в виде [c.205]

Принимая обозначения в 15.02. дифференциальное уравнение орбиты планеты, обращающейся вокруг Солнца, в теории относительности можно записать в виде >) [c.317]

Плоские движения. Дифференциальные уравнения движения твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном ноле допускают решения, которые отвечают плоским движениям тела. Для таких движений одна из главных центральных осей инерции тела все время перпендикулярна плоскости орбиты центра масс. [c.212]

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее орбиту в случае, когда известен закон изменения силы f. Если же уравнение орбиты нам известно, т. е. если дано г как функция 0, то с помощью этого уравнения мы можем найти закон изменения силы f r). [c.87]

Для любого конкретного закона изменения силы уравнение орбиты получается посредством интегрирования дифференциального уравнения (3.34). Однако незачем проделывать эту процедуру во всех подробностях, так как большая часть работы была уже нами проделана при рассмотрении уравнения движения (3.12). Поэтому сейчас остается лишь исключить с помощью (3.31) переменную t из уравнения (3.17). В результате получим [c.88]

Уравнение орбиты можно получить и с помощью формального интегрирования уравнения (3.39). Хотя эта процедура длиннее непосредственного интегрирования дифференциального уравнения (3.42), однако она имеет то преимущество, что важная постоянная интегрирования е автоматически получается при этом выраженной через энергию Е и кинетический момент системы I. Перепишем равенство (3.39) в виде [c.92]

Можно получить теперь дифференциальное уравнение траектории (или орбиты, как часто говорят в теории центрального движения), исключая из уравнения (9) время и принимая за независимое переменное угол б вместо t, что возможно, так как О является монотонной функцией от t [c.87]

Если, интегрируя полученное таким образом дифференциальное уравнение, мы придем к полярному уравнению орбиты г = г(б), то качественная картина движения получится из интеграла площадей [c.87]

Для того чтобы из уравнений (9) вывести дифференциальное уравнение, характеризующее неизвестное уравнение орбиты г = г(Ь), достаточно рассмотреть в уравнении живой силы г как сложную функцию от t через посредство б и исключить затем 6 при помощи уравнения площадей. Таким образом, для орбиты получим дифференциальное уравнение первого порядка [c.87]

При изучении орбиты мы будем исходить из соответствующего дифференциального уравнения первого порядка (10). Если выполнить в нем замену зависимого переменного (12) и положить [c.88]

Сила притяжения, пропорциональная расстоянию. В этом случае орбита представляет собой эллипс (в частности окружность или прямую) с центром в центре притяжения О. Это почти непосредственно следует из дифференциальных уравнений второго порядка (1) в декартовых координатах. Действительно, если есть постоянное отношение величины силы (отнесенной к единице массы) к расстоя- [c.91]

Получим дифференциальное уравнение плоских движений. Пусть для рассматриваемых движений главная ось инерции Oz тела перпендикулярна плоскости орбиты, т. е. во все время движения [c.252]

Рассмотрим, например, орбиту, которую описывает планета вокруг Солнца. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приходится интегрировать, можно свести к форме уравнений первого порядка, вводя в качестве новых переменных первые производные. Таким образом, определение орбиты планеты будет зависеть от интегрирования трех дифференциальных уравнений первого порядка между четырьмя переменными два интеграла этих уравнений получаются на основе принципа живых сил и принципа площадей, что сводит вопрос к интегрированию одного уравнения первого порядка с двумя переменными. Так вот, на основании моей общей теоремы это интегрирование может быть приведено к квадратурам. Итак, если угодно применять ее вместе с другими общими принципами механики, то можно сказать, что этих принципов оказывается достаточно, чтобы привести определение орбиты планеты к квадратурам. [c.294]

Формула Бине, В заключение настоящей главы покажем, как в общем "случае, зная центральную силу F и массу /и частицы, пользуясь интегралом площадей, получить дифференциальное уравнение второго порядка, для орбиты. [c.181]

Свободное движение спутника определим, пренебрегая регрессией Qp орбиты, т. е. полагая правые части дифференциальных уравнений (1.8) равными нулю. Записывая уравнения (1.8) в символической форме, имеем [c.10]

В установившемся режиме вынужденного прецессионного движения спутника погрешности, вносимые регрессией орбиты, представляют собой частные решения дифференциальных уравнений [c.13]

Следовате Гьно, формула (19.29) даёт такое дифференциальное уравнение орбиты [c.182]

В 6.4 определяется дифференциальное уравнение орбиты гиперреактивной точки и находятся элементы орбитальной траектории в плоскости движения Лапласа. Поиск уравнения орбиты осуществляется в зависимости от параметров и характера работы излучающего центра (двигателя) точечного гиперона, т.е. в зависимости от динамики изменения массы объекта и ее производных по времени. [c.175]

В этом параграфе исследуется задача о нахождении уравнения орбиты гиперреактивной точки в ноле тяготения и определении элементов орбитальной траектории в так называемой неизменяемой плоскости движения Лапласа. Исследование начнем, исходя из основной системы плоского гинерреактивного движения (6.27), записанной в полярных координатах. Найдем дифференциальное уравнение орбиты s lp). [c.193]

Более того, здесь благодаря самой форме дифференциального уравнения (14) мы можем предвидеть поведение и при изменении б, т. е. геометрическую природу орбиты в каждом отдельном случае, на основе общих выводов 6 предыдущей главы. Необходимо только в кинематическо интерпретации заменить независимую переменную t геометрической величиной 6. Так, наиример, в наиболее интересном случае, когда начальное значение заключено в промежутке между двумя простыми нулями н,, гг. (включая концы) функции Ф (гг), между которыми Ф (гг) является правильной и положительной, функция u((J) при возрастании О будет сколь угодно долго колебаться между крайними значениями гг1, ir . При каждом прохождении и от гг, до и или обратно О будет возрастать на некоторую постоянную величину в (аналогичную продолжительности т одного простого колебания в 6 предыдущей главы), которая (если положим гг, гг ) определится равенстиом [c.88]

Это большое преимущество, как, вероятно, и будет признано, примиряет меня с неудобством вводить новую группу орбит и с потерей геометрической простоты, на которую я указывал неудобство заключается в том, что мои орбиты не касаются, а пересекают (хотя под очень маленькими углами) действительные гелиоцентрические орбиты, описанные под действием всех возмущающих сил. Моя новая варьированная орбита любой планеты правильно дает возмущенные гелиоцентрические координаты и вспомогательные величины X, у, 2 при помощи правил невозмущенного движения, но если мы не продифференцируем элементов каждой планеты или не сопоставием орбиты всех планет, то они не дадут правильно тех вспомогательных переменных для возмущенного движения, которые употреблял Лагранж, именно — компонентов гелиоцентрических скоростей. Но алгебраически они были лишь подсказаны формой его первоначальных дифференциальных уравнений, а [c.768]

Если предпололшть, кроме того, что центры не неподвижны, но имеют собственное движение, независимое от других материадьн]>1Х точен системы, так что это движение есть данная функция времени, то и принцип живой силы также не применим. Такие случаи в природе встречаются сюда принадлежит, например, притяжение кометы солнцем и Юпитером, если рассматривать орбиты солнца и Юпитера как данные, а комету как материаль-иую точку, которая не имеет на эти орбиты никакого влияния. ]десь, как сказано, перестает действовать принцип живой силы, так как он покоится существенно на том, что для расстояния г материальной точки (г, у, ) от центра (а, Ь, с) выполняется дифференциальное уравнение [c.35]

Предметом работы И. Ф. Верещагина К рептепню экстремальной задачи движения точки переменной массы (1960) является достаточно общая экстремальная задача — определение оптимальной в том или ином смысле кривой выведения искусственного спутника Земли на орбиту указан метод построения уравнений, дополнительных к уравнению Мещерского, и с помощью выведенных дифференциальных уравнений экстремалей находится оптимальный угол старта ракеты. [c.308]

Замечание 3. Одна из наиболее известных сильно возмущенных задач, которой занимались многие выдающиеся математики прошлого,— это задача о движении Лупы. Дело в том, что та движение Луны сильно влияет притяжение со стороны Солнца, несмотря на то что расстояние Солнце — Луна примерно в 400 раз больнге расстояния Земля — Луна. Сильное возмущение в параметрах геоцептрической орбиты Луны, порождаемое Солнцем, объясняется большой массой последнего (масса Солнца примерно в 330 000 раз больше массы Земли). Более столетня не удавалось построить такую теорию движения Луны, которая находилась бы в хорошем согласии с наблюдениями на относительно большом интервале времени (около 100—200 оборотов Луны). На математическом языке это означает, что не удавалось построить приближенное ренюяие дифференциальных уравнений движения Луны, пригодное для описания ее реального движения на большом (долгом) периоде. [c.60]

ТЫ относительно линии апсид, т. е. прямой, проходящей через перигелий и афелий орбиты Меркурия. Так как г и v весьма сложным образом зависят от времени t в соответствии с формулами задачи двух тел [7], дифференциальное уравнение (115) неиосредственно не интегрируется, поэтому применим к нему метод усреднения. [c.89]

Дифференциальные уравнения (9.18) позволяют определить погрешности гироорбитанта, порождаемые регрессией орбиты. Оценка таких погрешностей сделана в гл. 1. Если в дифференциальных уравнениях (9.18) пренебречь малой угловой скоростью 2р регрессии орбиты, то имеем [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...