Одномерное нелинейное движение

Одномерное нелинейное движение [c.292]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

В работе [141 ] решалась первая задача (задача быстродействия) поисковыми методами на ЭВМ с использованием одномерной нелинейной модели индукционного нагрева. Априорно задавалось число интервалов управления i, и в г-мерном евклидовом пространстве производился поиск продолжительности интервалов т/, / = 1, 2,. . . , i. Поиск разбивался на два этапа. На первом этапе основной целью было достижение гиперповерхности максимального отклонения температуры от требуемой в пространстве т,-, определяемого величиной е. На втором этапе происходило движение по гиперповерхности с целью минимизации суммарного времени процесса = [c.232]

Выражение (1.69) подставляем в уравнение движения. В результате имеем одномерное нелинейное волновое уравнение, приближенно описывающее течение рассматриваемой смеси жидкость — пузырьки с учетом величин вплоть до пятого порядка малости [c.23]

В заключение приведем простейшую нелинейную модель, описывающую одномерные нестационарные движения неньютоновской сплошной среды. [c.136]

Показать, что система уравнений гидродинамики в переменных Лагранжа для одномерного плоского движения имеет решение в виде простых волн Свести эту систему к одному нелинейному уравнению для переменной (x,i)—смещению частиц среды из своего начального положения х [c.125]

В отличие от переменных Эйлера, переменные Лагранжа а, Ь, с связаны с определенными частицами среды. Трехмерные уравнения движения в переменных Лагранжа слишком громоздки и поэтому используются редко. Однако одномерные задачи часто целесообразнее решать в переменных Лагранжа. Дело в том, что в переменных Лагранжа в одномерном случае задача легко сводится к решению только одного уравнения. Оно не содержит характерный для переменных Эйлера нелинейный член (уУ)у. Кроме того, в переменных Лагранжа просто записывается граничное условие для смещения излучающей поверхности. В окончательных же формулах сравнительно легко перейти от переменных Лагранжа к переменным Эйлера. Здесь мы вначале приведем формулы перехода от одних переменных к другим, а затем и основное уравнение для одномерного плоского движения. [c.55]

Аналогичный результат можно получить и другим путем. Дифференцируя уравнение движения (1.12 ) в одномерном случае по а (при Я = 0), а уравнение непрерывности (1.10) дважды по / и приравнивая правые части этих уравнений, получим нелинейное волновое уравнение вида [c.14]

Выпишем нелинейную систему уравнений одномерных движений идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов. Она состоит из уравнения Эйлера [c.221]

Довольно подробно рассматривается обп ая теория малых колебаний около положения равновесия показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения. [c.67]

Условие (11) является нелинейным, даже если га = 1. При движении образуется перемещающаяся область — в простейшем случае одномерного движения длины Z (<) — охваченная испарением (см. рис. 1), в то время как для остальной области движения w = = О [6—8] задаются граничные условия при х = О и х = L или а = оо и начальное условие h (х, 0). [c.211]

Приведенная выше система одномерных стационарных уравнений движения жидкости или газа является нелинейной и ее решение в общем случае получить не удается. Однако существуют приближенные методы решения некоторые из этих методов и будут рассмотрены в дальнейшем. [c.41]

Полное нелинейное уравнение изменения количества движения для одномерного потока имеет вид [c.115]

Решение любой газодинамической задачи должно удовлетворять уравнениям неразрывности, количества движения и энергии. В случае нестационарного течения уравнения получаются нелинейными, и пока не имеется общего метода их решения. Хотя с помощью быстродействующих счетных машин можно решить полную систему уравнений для трехмерного течения, в настоящее время для течений, встречающихся в двигателе Стирлинга, в достаточной степени разработаны лишь методы расчета одномерного потока. Это ограничение означает, что все основные параметры считаются зависимыми только от одной пространственной переменной к времени. При использовании этого основного предположения подразумевается, что скорость потока параллельна единственной пространственной координате п что все поверхности, перпендикулярные этому направлению, являются поверхностями постоянной скорости и постоянных параметров состояния. Задача о нестационарном течении решена, если в любой момент времени в любой точке системы известны параметры состояния, определяемые двумя параметрами термодинамического состояния, и скорость потока [54], В принципе можно определить любые три независимых параметра, но предпочтительнее те, которые можно измерить экспериментально, чтобы получить возможность подтвердить математическую модель. [c.336]

Интерпретация результатов, полученных в рамках одномерной модели, может быть проведена по аналогии с [16], где полагалось, что поведение плоскостей в кристалле подобно частицам одномерной цепочки. В таком случае специфика обсуждаемой задачи состоит в том, что плоскости, рассматриваемые как целое, могут совершать колебательные движения с детерминированной фазой [16]. Эта особенность, характерная для щ = О, частично сохраняется при Мт Ф 0. Поэтому результаты, полученные при исследовании структурно-неоднородных моделей, могут быть использованы для анализа особенностей, обусловленных нелинейными эффектами распространения фронта ударной волны через включения из примесных атомов либо через области с повышенной концентрацией дефектов, в частности через границы зерен. [c.220]

Простая система уравнений (6.1) — (6.2) представляет собой модель, содержащую основные качественные особенности нелинейного взаимодействия ударных волн. Вместе с тем эта теория дает удовлетворительные количественные результаты и поэтому может служить основой для практических расчетов. Система уравнений (6.1) — (6.2) аналогична уравнениям одномерного движения сжимаемого газа. Важным классом решений этой системы являются простые волны. Простая волна, например, описывает изменение амплитуды первоначально плоской ударной волны, распространяющейся вдоль искривляющейся стенки. Решение типа простой волны, зависящее от одной произвольной функции, имеет вид [c.309]

Поставленная задача является весьма трудной. Дело в том, что упруго-пластическая система представляет собой существенно нелинейную систему с неголономными односторонними связями. Уже в одномерных задачах мы сталкиваемся с математическими трудностями при линеаризации уравнений возмущенного движения. Эти трудности связаны с необходимостью различать нагружение и разгрузку, а в ряде случаев учитывать вторичные пластические деформации. [c.361]

При рассмотрении одномерных движений необходимо знать три компоненты тензора вязких напряжений гз,-, i = 1,2,3, которые, согласно предположению, должны линейно зависеть от производных от компонент скорости по координате. с, т.е. от dvi/dx = dui/dt. Сделаем дополнительные упрощающие предположения, которые могут быть оправданы для задач о волнах малой амплитуды. А именно, предположим, что связь между тз, и dvi/dx не зависит от тензора деформации, а также каких-либо других тензоров и векторов. Это предположение исходит из малости тензора деформации и, кроме того, в дальнейшем предполагается рассматривать явления, в которых вязкие напряжения малы (они не будут превышать по порядку величины нелинейных поправок к напряжениям). Поэтому малые относительные погрешности в малых членах можно считать несущественными. [c.318]

В 7.3 рассматриваются двумерные обратимые отображения и связанные с ними потоки. Показывается, что последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к хаотическому движению, аналогична найденной для одномерных отображений. Далее описывается метод Мельникова для определения перехода от регулярного движения к стохастическому. Метод иллюстрируется на примере вынужденных колебаний нелинейного осциллятора с затуханием. Описан метод вычисления инвариантных распределений с помощью уравнения ФПК. [c.410]

Этот процесс похож на волну в газе. Отличие, кроме одномерности, в том, что здесь предполагалось отсутствие теплового движения в не возмущенной волной области. В твердом теле (при не слишком большом давлении в волне) нелинейность не проявляется столь сильно, однако природа упругих потерь остается той же. В дальнейшем будем рассматривать слабые волны в упругих материалах, т. е. волны, при распространении которых с влиянием нелинейностей и внутренних потерь можно не считаться. [c.24]

Настоящая глава посвящена анализу автомодельной задачи о поршне в предположении, что газ является нетеплопроводным, однако на движение газа влияют нелинейные объемные источники или стоки массы, импульса и энергии. Исследование нестационарного течения газа с учетом объемных источников и стоков различной природы представляет большой интерес. Известно, например, какую роль играют при нагреве и сжатии плотной высокотемпературной плазмы энерговыделение от поглощения лазерного излучения, объемные потери энергии на собственное тепловое излучение, выделение тепла от термоядерных реакций и другие физические эффекты [78]. На сжатие и нагрев плазмы осевым магнитным полем (тета-пинч) существенное влияние оказывают потери массы через торцы плазменного шнура и торцевые потери энергии за счет продольной электронной теплопроводности [19]. Вычислительные эксперименты показали [13, 18], что процессы, происходящие в тета-пинчах, могут быть Удовлетворительно описаны в одномерном приближении при моделировании торцевых потерь объемными стоками. [c.197]

Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неиз-иестной функции граничных условиях представляет непреодолимые трудности. Как это уже было сделано в гл. IV при рассмотрении одномерного нестационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5). сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей. плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого однородного движения со скоростью V , плотностью р , давлением и т. д. [c.325]

Сила инерции равна р/(5у/(3/)йх. В связи с тем, что величина ускорения определяется здесь значением ди д1, заметим следующее. При одномерном установившемся движении ускорение представляется в виде йи1сИ= ди1д() +v (ди1дх) (подробнее см. в 52). При скорости течения V, намного меньшей скорости звука, вторым слагаемым в правой части этого выражения можно пренебречь, что и сделано выше. Однако при скорости течения, близкой к скорости звука, величина данного члена становится достаточно большой и должна приниматься во внимание. При этом рассматриваемые далее линейные дифференциальные уравнения трубопровода заменяются нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.383]

Вообще говоря, эти колебания могут быть описаны уравнениями гидравлического удара и исследованы вместе с ним как единая общая задача о неустановившемся режиме гидравлической системы. Анализируя влияние на колебания в уравнительных резервуарах и напорных деривационных туннелях упругости воды и стенок сооружений, инерции жидкой массы, заключенной в резервуаре, и конечного времени регулирования гидроагрегата, Н. А. Картвелишвили (1952) пришел к выводу, что учет этих факторов уточняет расчет уравнительных резервуаров не более чем на 1%. Поэтому при рассмотрении медленных колебаний жидких масс в уравнительном резервуаре удобно считать, что регулирующие органы турбины закрываются или открываются мгновенно, упругостью же воды и стенок сооружений можно пренебречь, В этом случае уравнения колебаний жидкости представляют собой уравнения одномерного неустановившегося движения несжимаемой жидкости в напорных каналах с абсолютно недеформируемыми стенками. Такие уравнения, в общем случае неразрешимые в квадратурах, могут быть проинтегрированы численно (или графически) для любых типов и систем резервуаров. Существенную роль в этих процессах играют гидравлические сопротивления, проявляющиеся нелинейным образом. Подробнее некоторые детали расчета были рассмотрены Н. А, Картвелишвили (1959, 1967). [c.723]

Дифференциальные уравнения неустановившихся движений в открытых руслах в рамках одномерной нелинейной теории длинных волн были даны еще в 1871 г. Сен-Венаном. Ж. Буссицеск предложил несколько более точные уравнения для плоского движения (приближенно учитывающие вертикальную составляющую ускорения движения). Однако в дальнейшем внимание исследователей было сосредоточено почти исключительно на анализе и решении уравнений Сен-Венана. [c.725]

Дифференциальные уравнения неустановившегося движения в открытых каналах в рамках одномерной нелинейной теории длинных воли были даны Сан-Венаком и могут быть описаны динамическим уравнением [c.283]

Модель одномерного нсустановившегося движения представляет собой одну из наиболее полно изученных газодинамических подмоделей. Исторически начало теоретического изучения движений этого класса восходит к Риману, почти 150 лет тому назад заметившему наиболее важные особенности явления распространения волн конечной акништуды. Это явление сопровождается такими существенно нелинейными эффектами, как градиентная катастрофа, образование ударных волн, распад произвольного разрыва и рядом других. [c.132]

В 5.9—5.14 в основном по работам Дж. Бейзера с соавторами дано довольно полное изложение нелинейных одномерных волновых движений для идеальных проводников сначала определены характерные скорости и области ( 5.10), затем получены соответствующие условия на скачках Ренки-на —Гюгонио ( 5.11), дана классификация возможных решений в виде ударных волн ( 5.12) и введены некоторые элементарные понятия о простых волнах ( 5.13). Качественный анализ в рамках развитой теории магнитоупругих ударных волн и простых волн дан в 5.14 для задачи о так называемом магнитоупругом поршне (решение в линейном приближении будет также получено геометрическими методами 5.8). В заключение, чтобы почувствовать некоторые особенности анализа магнитоупругой устойчивости токонесущих структур, рассмотрен классический пример растянутого проводящего стержня и токонесущих пластин. [c.266]

Изучение стационарных волн на установившемся потоке может на деле оказаться более полезным, чем рассмотрение задач с волнопродуктором. В известном акустическом случае, когда дисперсия отсутствует, нелинейная теория распространения волн находит значительно менее широкое применение для одномерного неустановившегося движения, чем для двумерного стационарного случая, который включает теорию крыла в сверхзвуковом потоке. Более того, для этого или другого вида движения жидкости исследование стационарного движения может быть в экспериментальном отношении более удобным. Можно полагать далее, что в случае волн на воде легче вести исследования с экспериментальной установкой, в которой направления фронтов волн лежат в определенном диапазоне, чем с установкой, в которой нужно создавать и поддерживать волны строго постоянного направления. Наконец, существует возможность, подробнее обсуждаемая ниже, практического приложения теории к задаче о волнах, создаваемых судном при равномерном движении по глубокой воде. [c.51]

К самоорганизованным состояниям относятся и двойные слои в ленгмюровской плазме. Они наблюдаются в ионосферной и космич. плазме в виде долгоживущих самоподдерживающихся пространств, скачков электро-статич. потенциала с амплитудой значительно выше теплового уровня, а также в лаб. плазме электродных разрядов в виде виртуальных катодов внутри столба плазмы. Двойные слои возникают на нелинейной стадии неустойчивости ленгмюровских возмущений. Такие структуры часто сопровождаются образованием дыр в фазовом пространстве, т. е. областей, свободных от частиц. В фазовом пространстве одномерного движения кроме дыр могут существовать и др. когерентные структуры — клампы, похожие на вихри в обычной жидкости с захваченными в них частицами (см. Солитои в плазме). Зарождение и движение таких вихрей по фазовому пространству является важным моментом в динамике самоорганизованной турбулентности. [c.187]

Защита от виброударных режимов. Расчет надежности работы объекта в условиях вибрации на основе описанных линейных представлений не исключает возможности нарушения условий функционирования из-за действия нелинейных факторов. Наиболее опасным является возможность выхода объекта нли его элементов на ограничительные упоры и возникновение внбро-ударных режимов, характеризующихся систематическими соударениями об упоры. Возбуждение виброударных режимов может произойти под влиянием дополнительного запускающего импульса ( жесткого возбуждения ) при тех же значениях параметров, при которых осуществляются расчетные малые колебания (см. т. 2, гл. V). Пусть две линейные системы / н 2 (рис. 9) имеют элементы с массами и гпц, установленные с зазором А (отрицательное Л соответствует натягу) и способные совершать одномерные движения с соударениями под действием приложенных к системам периодических вынуждающих снл частоты ч>. Обозначим 4 (ш), 4 ([(о) — динамические податливости соударяющихся элементов. Наиболее интенсивными являются установившиеся виброударные режимы с дним соударением за период движения Т = 2я /(о (д = 1, 2,. ..), который может быть равен или кратен периоду возмущения. При реализации одноударных режимов с учетом линейности взаимодействующих систем имеем [c.28]

В работе [15] в уравнения среды включены упруговязкие члены Максвелла, описывающие процесс релаксации во времени касательных напряжений. На основе этой модели в [16] исследованг структура пррфиля ударной волны в упруговязкой среде с нелинейной зависитстью максвелловской вязкости (величины, обратной времени релаксации касательных напряжений) от параметров состояния вещества. Для одномерного движения вдоль оси я релаксационное уравнение записывается в виде [c.188]

Разложение в ряды Тейлора по времени нелинейных коэффициентов уравнения движения влаги. При рассмотрении одномерной задачи обсуждался вопрос о повышении точности модели. Одним из способов усовершенствования модели является отказ от квазистационарности коэффициентов уравнения для влаги и их явное интегрирование по времени. Неизвестную функцию рекомендуется раскладывать в ряд Тейлора, а для вычисления производных использовать известную информацию с предыдущих шагов по времени. Интеграл по времени от ряда Тейлора легко вычисляется, т.к. представляет собой сумму степеней. Прием также является приближенным, но по сравнению с квазистаци-онарным подходом он позволяет более чем в 3 раза увеличить шаг по времени с сохранением прежней точности. Этот вывод был сделан на основе исследования поведения численного решения одномерной задачи диффузии жидкости в грунте с простейшими граничными условиями. Отметим, что разложение в ряды коэффициентов теплопроводности не приводит к более точному результату, т.к. эти коэффициенты слабонелинейны, и квазистационарный подход вполне приемлем для решения уравнения движения тепла. [c.153]

Другим аналогичным и даже более ранним примерам повезло значительно меньше они стали известны либо значительно позднее, либо остались в тени. Речь идет об исследованиях горьковской школы теории нелинейных колебаний, проводившихся еще в те времена, когда вычислительных машин не было и практически единственно возможный способ обиаружения хаотических движений заключался в сведении задачи к исследованию одномерного точечного отображения, а также о более поздних работах той же школы (теоретических исследованиях и эвристических [c.22]

Одновременно с разработкой методов расчета движения грунтовых вод, следующих закону Дарси, развивались и простейшие расчеты нелинейной фильтрации грунтовых вод. Такие расчеты легко выполняются для одномерных течений, когда закон фильтрации не влияет на картину течения, а определяет лишь величину общего гидравлического сопротивления в потоке. Соответствующие решения для ряда задач, в том числе для осесимметричного притока к совершенной артезианской скважине, выписывались многократно разными исследователями в предположении о степенном, двучленном и квадратичном законе фильтрации. Принципиальные трудности возникают при переходе к двумерным течениям. Первый подход к расчету плоских задач установившейся нелинейной фильтрации был предложен С. А. Христиановичем (1940), который записал общие уравнения течения (для произвольного закона фильтрации), приняв за независимые переменные напор и функцию тока, в результате чего уравнения приняли форму уравнений Чаплыгина для сжимаемого потока. В. В. Соколовский (1949) ввел один искусственный частный закон фильтрации, при котором расчет плоского течения сводится к построению и пецрсчету соответствующего течения, следующего закону Дарси. [c.612]

Нестационарые задачи были подробно изучены в случаях изотермического течения- В большинстве работ по дозвуковому движению газа в газопроводах при малых числах Маха конвективным инерционным членом в динамическом уравнении пренебрегают. Однако и в этом приближении нелинейная система основных дифференциальных уравнений одномерного движения оказывается гиперболической- По-вйдимому, И. А. Чарным (1951, 1961) впервые было предложено для дальнейшего упрош ения задачи при рассмотрении медленно изменяющ,ихся во времени движений газа отбрасывать также и локальный инерционный член динамического уравнения. В этом приближении задача становится параболической, хотя, вообще говоря, сохраняет нелинейный характер, И для того, и для другого приближений Чарным были предложены различные способы. линеаризации уравнений (в некоторых случаях задача сводится к уравнению теплопроводности). Им же были даны решения некоторых типичных задач в линейной постановке ) [c.735]

С помощью нового уравнения состояния ( .1.19) из уравнения движения (В.1.4) мояшо исключить переменную р. Затем, переходя в одномерном случае к сопровождающей системе координат, отбрасывая малые члены выше чем второго порядка малости, придем к двум уравнениям вида (II.1.8), (II.1.9). После освобождения от членов первого порядка малости и замены во всех членах второго порядка величины р7ро на т сц получим одно нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для переменной V. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...