Малые колебания около положения равновесия

Как и в 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при (7=0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в двух случаях. [c.392]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Использовав выражение (2) кинетической энергии системы, совершающей малые колебания около положения равновесия, придем к выражениям [c.575]

Малые колебания около положения равновесия. Пусть в положении равновесия д. = О для всех s, С/(0,. .., 0) = О и пусть с точностью до величин наименьшего порядка малости [c.238]

Итак, в прогрессивной волне каждая частица испытывает малые колебания около положения равновесия и движется по окружности во- [c.140]

В машине для статического уравновешивания роторов подшипники наклонены под углом а к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции J (относнтельно своей оси) и несет неуравновешенную массу т на расстоянии г от оси. Написать дифференциаль ноо уравнение движения ротора и определить частоту малых колебаний около положения равновесия. [c.357]

Полученное в главе I выражение для потенциальной энергии системы с 5 степенями свободы (2.4) можно использовать для вычисления потенциальной энергии системы, совершающей малые колебания около положения равновесия. [c.22]

В этом случае имеет место особое обстоятельство, которое не зависит от выбора переменной период малых колебаний около положения равновесия изменяется вместе с амплитудой. В самом деле, поместим систему в положение, соответствующее д , и предоставим ее.самой себе без начальной скорости. Интегрируя равенство (2), получим [c.295]

Чтобы получить малые колебания около положения равновесия, мы пренебрежем функциями и приняв [c.296]

Малые колебания около положения равновесия 175 [c.175]

В случае малых колебаний около положения равновесия, при котором G находится на той же плоскости, что и следы осей О и О, вертикальная составляющая реакции тела т, действующая на тело Л1, будет приблизительно равна mg. Обозначая через X горизонтальную составляющую, как показано на фиг. 65, и определяя моменты относительно О, мы получим, если ограничимся членами первого порядка, для верхнего тела уравнение [c.176]

Свободные колебания. Переходя теперь к теории малых колебаний около положения равновесия, мы рассмотрим сперва случай свободных колебаний, предполагая, что внешних сил нет. [c.220]

Довольно подробно рассматривается обп ая теория малых колебаний около положения равновесия показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения. [c.67]

В качестве последнего примера малых колебаний около положения равновесия мы рассмотрим случай одномерного кристалла. Одномерный кристалл представляет собой систему точечных масс, которые по предположен Ю находятся в равновесии, если все расстояния между ними равны. Мы начнем с того случая, когда массы всех частиц, образующих кристалл, одинаковы и равны М, а затем перейдем к случаю, когда кристалл образован последовательно чередующимися частицами с разными массами М и т. Мы не можем здесь останавливаться на всех аспектах этой задачи, имеющей колоссальное значение для установления термодинамических свойств твердого тела, [c.88]

ТВЁРДОЕ ТЕЛО — агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы и характером теплового движения атомов, к-рые совершают малые колебания около положений равновесия. Различают кристаллич. и аморфные Т. п. Кристаллы характеризуются пространств. периодичностью в расположении равновесных положений атомов (см. Дальний и ближний порядок). В аморфных телах атомы колеблются вокруг хаотически расположенных точек. Согласно классич. представлениям, устойчивым состоянием (с мин. внутр. энергией) Т. т. является кристаллическое. Аморфное тело находится в мета-стабильном состоянии и с течением времени должно перейти в кристаллич. состояние, однако время кристаллизации часто столь велико, что метастабильность вовсе не проявляется (см. Аморфное состояние. Стеклообразное состояние). [c.44]

Энергия молекулы в отсутствие внешнего поля равна сумме кинетической энергии, которая, как известно из механики, представляет собой однородную квадратичную функцию импульсов адр/р (коэффициенты а-,к в общем случае зависят от обобщенных координат qi), и потенциальной энергии взаимодействия атомов, (Мы будем в дальнейшем пользоваться известным условием Эйнштейна — по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.) Внутреннее движение атомов в молекуле после исключения поступательного и вращательного движений молекулы как целого представляет собой малые колебания около положения равновесия, в котором потенциальная энергия имеет минимум. Поэтому потенциальная энергия вблизи от равновесия представляет собой однородную квадратичную функцию обобщенных координат, характеризующих конфигурацию молекулы, т, е, всех координат за вычетом тех, которые описывают положение и ориентацию молекулы как целого. При этом 1/тш принимается за начало отсчета потенциальной энергии и точка равновесия — за начало отсчета координат ql. Для л-атомной молекулы число этих внутренних координат равно Зл — 5, если молекула линейна (положения равновесия атомов находятся на одной прямой), и Зл — 6, если молекула нелинейна. Действительно, в случае линейной молекулы ее положение полностью задается тремя координатами Хц, уц, 2ц центра инерции и двумя углами, В случае же нелинейной молекулы ее ориентация в пространстве задается тремя углами. Таким образом, для потенциальной энергии имеем выражение где — постоянные коэффи- [c.211]

Атомы кристалла совершают малые колебания около положений равновесия, образующих правильную периодическую решётку. При изучении различных процессов рассеяния и захвата нейтронов мы должны будем учитывать как эту периодическую структуру кристалла, так и колебательное движение атомов. Колебательное состояние кристалла мы будем определять заданием чисел колебательных квантов-фононов с различными частотами, волновыми векторами и состояниями поляризации и обозначать через rtg , где — число фононов сорта. [c.352]

Что же в итоге дала эпоха становления и утверждения классической механики, эпоха от Галилея до Ньютона, в учении о колебаниях и волнах Пользуясь современной нам терминологией, мы можем подытожить труды целого столетия следующим образом. Во-первых, была построена теория малых колебаний (около положения равновесия) системы с одной степенью свободы (маятник) как незатухающих, так и при наличии вязкого сопротивления. Теория была построена в геометрической форме, ее еще предстояло перевести на язык анализа и представить как результат интегрирования дифференциального уравнения. Во-вторых, была дана в основном оправдавшая себя схема распространения волн сжатия и разрежения в идеальной жидкости, выявлена зависимость скорости распространения этих волн от упругости (давления) и плотности среды. В-третьих, была дана (слишком) упрощенная физическая схема образования волн на поверхности тяжелой жидкости. В-четвертых, был найден плодотворный принцип для построения фронта распро- [c.261]

Колебания валов с присоединенными деталями и узлами возникают под действием внешних постоянно действующих и периодически изменяющихся сил и обусловлены, главным образом, упругими деформациями валов. Малые колебания около положения равновесия становятся опасными для вала и конструкции в целом, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний системы или кратна ей, т.е. наступает резонанс. При этом напряжения в вале существенно возрастают, их значение определяется не столько внешней нагрузкой, сколько силами инерции колеблющихся масс. [c.126]

Рассматривая малые колебания около положения равновесия, можно, как и прежде, пренебречь членами второго порядка. Подставляя значение V из уравнения (5) 7, получим [c.36]

И каким бы ни был осциллятор, собственная частота его малых колебаний около положения равновесия есть [c.77]

Влияние новых связей на малые колебания системы около положения равновесия. Если на механическую систему, совершающую малые колебания около положения равновесия, наложить новые связи, совместимые с рассматриваемым положением равновесия, то после наложения связей система будет совершать колебания уже по другому закону. В самом деле, пусть положение механической системы определяется к независимыми нормальными координатами, так что [c.582]

Тогда уравнения малых колебаний около положения равновесия получат вид [c.582]

В.2. Твердое кристаллическое тело. Твердым телом называют агрегатное состояние вещества, определяемое стабильностью формы и характером теплового движения атомов, которые совершают малые колебания около положения равновесия. Различают кристаллические и аморфные [c.13]

Отметим еще раз, что перемещается только форма свободной поверхности, сами же частицы жидкости совершают лишь малые колебания около положений равновесия. Скорости отдельных частиц будут определяться по формулам [c.415]

Колебания цепной линии. Рассматриваются малые колебания около положения равновесия тяжелой, однородной, нерастяжимой цепи, концы которой закреплены неподвижно на одном уровне (рис. 93). [c.684]

Если температура не слишком высока, атомы твердого тела (и жидкости) совершают малые колебания около положений равновесия (узлов кристаллической решетки в твердом теле). Колебания являются гармоническими до тех пор, пока амплитуда их гораздо меньше междуатомного расстояния, иначе говоря, пока энергия колебаний, которая порядка кТ на атом, значительно меньше высоты потенциального барьера для перескоков атомов из узлов решетки в междоузлия или в другие свободные узлы. При нормальной плотности твердого тела высота барьеров имеет [c.540]

В каком-то грубом приближении тепловое движение атомов в сжатом веществе можно рассматривать как малые колебания около положений равновесия даже при тех максимальных температурах в 20 ООО—30 000° К, которые достигаются в наиболее мощных ударных волнах, исследованных на опыте. [c.541]

Определить период Т малых колебаний около положения равновесия гиромаятника, описанного в лредыдуа ей задаче. Массой вилки пренебречь. [c.237]

В этом случае в качестве модели можно выбрать твердое тело, атомы которого совершают малые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. имеет три независимые колебательные степени свободы. Как мы видели в предыдущей главе, такой атом можно уподобить совокупности трех линейных гармонических осцилляторов. При колебаниях осциллятора происходит последовательное преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую. Поскольку средняя кинетическая энергия, составляющая квТ/2 на одну степень свободы, остается неизменной, а средняя потенциальная энергия точно равна средней кинетической, то средняя полная энергия осциллятора, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, составляет ksTi. [c.164]

Однако эти равновесные состояния качественно различны, так как после малых возмущений стержень, свисающий вниз, совершает малые колебания около положения равновесия и от него не удаляется (равновесие устойчиво), тогда как стержень, поднятый вверх, после любого малого отклонения от этого положения в равновесное положение не вернется, а будет от него удаляться (равновесие неустойчиво). Понятие устойчивости можно более конкретизировать, если ввести его следующим образомг Пусть qt — координаты системы, которые в положении равновесия принимают нулевые значения. Это всегда можно сделать путем изменения начала отсчета. Пусть — отклонения (возмущения) координат, появившиеся вследствие внешних воздействий, а б и е — малые числа. Если можно указать такие границы начальных возмущений 1 1 г =sS е, что при этом всегда < б, то положение системы устойчиво. Здесь е зависит от б, т. е. е (б), следовательно, границы до- [c.345]

При нагревании вещества атомы приходят в движение. Если температура не слишком высока, атомы совершают малые колебания около положения равновесия. С увеличением температуры растут амплитуда и энергия колебаний. Поскольку кривая потенциальной энергии несимметрична относительно положения минимума при V = 7о , колебания частиц в общем случае носят ангар-моничный характер. Ангармоничность в металлах проявляется сильнее с ростом температуры. Это приводит к тому, что равновесное положение при повышении температуры смещается в сторону больших значений удельного объема — вещество расширяется. Когда энергия колебаний становится больше величины потенциального барьера, атомы начинают свободно перемещаться в объеме веще-. ства. Тепловое движение атомов при этом приобретает сложный характер и становится хаотическим. Конденсированное вещество начинает вести себя как газ. [c.44]

В работах XVIII в. использовалось понятие устойчивости равновесия или движения без уточнения его содержания и без введения для него количественной меры. Это в значительной мере верно и для работ дальнейшего периода, охватывающего почти весь XIX в. — от Лагранжа до Пуанкаре и Ляпунова. Теория малых колебаний около положения равновесия или движения оставалась основным аппаратом теории устойчивости. Она была усовершенствована за это время математически Дж. Сильвестр, К. Вейерштрасс, К. Жордан дали полный анализ всех случаев, которые могут представиться при решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К. Вейерштрасс и, независимо от него. [c.119]

Колебания валов, с присоединенными деталями и узлами возникают под дейсг. вием внешних, постоянно действующих и периодически изменяющихся сил и связаны с упругой деформацией валов. Малые колебания около положения равновесия становятся опасными для работоспособности вала и конструкции в целом, когда частота возмущающей силы достигает какой-либо собственной частоты системы (наступает резонанс). Напряжения в вале при этом существенно возрастают и будут определяться в основном не внешней нагрузкой, а силами инерции колеблющихся масс. [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...