Вынужденные колебания нелинейных осцилляторов

Основное отличие полученной характеристики для вынужденных колебаний нелинейного осциллятора от линейного случая, изображенного на рис. 59, состоит в наклоне резонансного пика вправо (для е > 0). В результате этого на оси частот появляется зона [c.205]

В 7.3 рассматриваются двумерные обратимые отображения и связанные с ними потоки. Показывается, что последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к хаотическому движению, аналогична найденной для одномерных отображений. Далее описывается метод Мельникова для определения перехода от регулярного движения к стохастическому. Метод иллюстрируется на примере вынужденных колебаний нелинейного осциллятора с затуханием. Описан метод вычисления инвариантных распределений с помощью уравнения ФПК. [c.410]

Рис. 2.15. Схематическое изображение странного аттрактора для вынужденных колебаний нелинейного осциллятора — произведение плоскости Пуанкаре и фазы возбуждающего сигнала.

Вынужденные колебания нелинейных осцилляторов [c.228]

Нелинейная поляризация на частоте со2, наводимая при взаимодействии волны накачки частоты со1 с вынужденными колебаниями молекулярных осцилляторов, есть просто полный наведенный дипольный момент единицы объема следовательно, [c.222]

Следует, кстати, заметить, что наклон заштрихованной области на рис. 134 зависит от вида характеристики обратной связи в осцилляторе. Рис. 134 относится к математическому маятнику, для которого период колебаний возрастает с увеличением амплитуды. Если рассмотреть характеристику возмущения, у которой период колебаний уменьшается по мере возрастания амплитуды, то область неустойчивости будет наклонена в другую сторону, а именно в сторону возрастания частот. Аналогичное явление наблюдается также при вынужденных колебаниях нелинейных систем. [c.179]

Если ангармонический осциллятор подвержен одновременному действию двух монохроматических полей с частотами ал и сог, то в спектре его вынужденных колебаний помимо основных и кратных частот присутствуют комбинационные (суммарные и разностные) частоты. Этим объясняется эффект взаимодействия волн в нелинейной среде, ведущий к генерации волн на суммарной и разностной частотах. [c.483]

В соответствии с указанным упрощением в этой главе прежде всего рассматриваются линейные осцилляторы, а затем изучаются характерные влияния нелинейностей на свойства колебаний. Наряду с этим проводится исследование различных форм зависимости возмущения от времени, что дает возможность осветить происходящие при вынужденных колебаниях явления, представляющие практический интерес. [c.182]

Совершенно аналогично можно исследовать поведение нелинейного осциллятора, совершающего вынужденные колебания и выведенного из равновесного состояния. При этом будем исходить из соотношения (5.112), представляющего собой выражение баланса энергии. В данном случае силы демпфирования отсутствуют, так что g x, а )=0 и остается исследовать лишь правую часть равенства (5.112). Взяв возмущающую функцию в виде [c.236]

В нелинейных системах возможны вынужденные колебания не только с верхними частотами, но и с нижними частотами, составляющими лишь часть от частоты возмущения. Здесь мы ограничимся рассмотрением одного частного примера движение осциллятора с восстанавливающей силой, пропорциональной третьей степени отклонения, при гармоническом возмущении описывается дифференциальным уравнением [c.247]

ВынужАенные колебания. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора мы рассмотрим на примере уравнения Дуффинга [c.203]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

Вынужденные колебания ). Выше (в 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощаюш ие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример 5.2А), на который действует дополнительная малая горизонтальная сила таг sin pt, где 8 — малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде [c.481]

Вынужденные колебания нелинейной системы, описываемой уравнением Дуффинга, исследовать столь просто не удается. И поныне это уравнение исследовано не полностью. Без особого труда удастся исследовать только случай малых затуханий б и а > 0. Резонансные кривые имеют при этом вид, показанный на рис. 1.11, и отличаются от резонансных кривых линейного осциллятора (рис. 1.10) наклоном ника и появлением неодноднознач-ности. Наклон происходит влево или вправо в зависимости от знака величины Ь в уравнении Дуффинга (1.18). Этим наклоном и неоднозначностью вызывается известное явление гистерезиса амплитуды вынужденных колебаний при медленном изменении частоты V внешней силы. Опо состоит в скачках амплитуды и том, что эти скачки происходят [c.16]

В разд. 2.1.3.5 были исследованы собственные колебания нелинейного осциллятора с восстанавливающей силой f x)=h sign х. Теперь мы рассмотрим вынужденные колебания этого же осциллятора, порожденные гармоническими возмущак)щими силами. При отсутствии демпфирующих сил уравнение движения имеет вид [c.232]

Во всех процессах смешения волн необходимым условием возникновения усиления является пространственное рассогласование (сдвиг) световых и создаваемых ими динамических решеток. В средах с нелокальным откликом такой сдвиг вызывается асимметрией свойств этих сред [15, 20]. В средах с локальным откликом при параметрических процессах появляется рассогласование световой решетки, сформированной с участием усиливаемой сигнальной волны, по отношению к динамическим решеткам, записанным чужими пучками [44]. В невырожденных процессах смешения волн отставание бегущей динамической решетки от записьтающей световой решетки вызвано конечным временем релаксации создаваемых в среде нелинейных изменений [23] (ср. с запаздыванием на четверть периода колебаний вынужденного рассеяш ого излучения Мандельштамма -Бриллюэна [32, 45]). Необходимость пространственного рассогласования динамической решетки и инициирующего поля для возникновения энергообмена взаимодействующих пучков является следствием общего для всех колебательных процессов принципа, согласно которому вынужденные колебания осциллятора всегда совершаются с фазовой задержкой тг/2 по отношению к вынуждающей силе. [c.14]

Вынужденное комбинац. рассеяние (ВКР) происходит на когерентно возбуждённых оптич. фононах. Для классич. описания процесса ВКР используют модель нелинейно связанных осцилляторов. Обозначим через X нормальную координату колебаний атомов в молекуле изотропной среды, а через у — нормальную координату колебаний оптических электронов. В линейном приближении колебания атомов и определяющие поляризацию среды колебания электронов совершаются независимо друг от друга. При учёте нелинейной связи потенц. энергию молекулы можно представить в виде [c.303]

Описание процесса ВКР с помощью модели молекулярного осциллятора и на языке нелинейных восприимчивостей. Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) света наблюдали впервые Вудбери и Нг [23] при исследовании режима модуляции добротности рубинового лазера с помощью ячейки с нитробензолом. При этом в спектре излучения лазера появлялась новая линия, которая была сдвинута в низкочастотную область в точности на частоту молекулярных колебаний нитробензола. Позднее явление ВКР наблюдалось также в твердых тела и газах. [c.220]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...