Одномерные задачи диффузии

ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ [c.126]

Сравнение результатов для одномерной задачи диффузии конвекции [c.235]

Напомним, что решение (8.213) получено для одномерной задачи в предположении постоянства температуры, давления, коэффициента диффузии при отсутствии химических реакций и конвекционных потоков. [c.229]

В неограниченной среде, не содержащей расщепленных материалов, источник нейтронов 1п равен нулю. Тогда уравнение диффузии нейтронов для одномерной задачи будет аналогичным дифференциальному уравнению теплопроводности при охлаждении стержня с теплоотдачей по боковой поверхности его. [c.65]

Уравнение (4-22), аналогично по структуре и физическому смыслу уравнениям молекулярного переноса для процессов теплопроводности, вязкости и диффузии в газах и жидкостях, найденным Фурье, Ньютоном и Фиком и известным под названием тройной аналогии . Эти уравнения для одномерной задачи записываются [Л. 22, 132] так [c.134]

В силу одномерности кривой индекс аномальности также можно установить с помощью следующих соображений. Воспользуемся аналогией между задачами диффузии и теплопереноса. Время диффузионного смещения вдоль одномерной кривой пропорционально квадрату длины ta 1 - В свою очередь, длина кривой L связана с расстоянием между концами соотношением V . Предполагая степенную зависимость между [c.356]

Рис- 9.8, Одномерная задача консолидации (диффузии) влияние внешних источников. [c.266]

Полученное уравнение называют уравнением диффузии. Выше были рассмотрены одномерные задачи. В трехмерном случае получаем [c.338]

Рис. 8.5. Одномерная задача о диффузии и конвекции / — аналитическое решение 2 — Д =1,0 3 — — 0,25

Ограничимся для простоты рассмотрением одномерной задачи о диффузии по направлению оси 0Z. В соответствии со сказанным выше попытаемся построить обобщение полуэмпирической теории турбулентной диффузии на основе нового полуэмпирического предположения, более широкого, чем предположение о марковском характере функции X х, t). А именно, допустим, что марковской является двумерная случайная функция Z(z, t), W(z, ) , где Z z, О—координата жидкой частицы , [c.590]

На рис. 3.12, а стрелками изображены траектории (кривые в плоскости х, О) частиц жидкости для одномерной задачи при постоянной скорости и. При изменении времени от / до / + Д/ частицы перемещаются в направлении х на расстояние мА/. Пометим теперь каждую частицу, приписав ей значение причем может быть любым естественным свойством, связанным с отдельной частицей жидкости. В случае отсутствия диффузии каждая частица жидкости будет сохранять свое значение Таким образом, траектории, изображенные на рис. 3.12, я, представляют собой линии постоянного [c.117]

В работах [268, 269] матричным методом разделения переменных решено уравнение нестационарной одномерной многокомпонентной диффузии с линейным ИСТОЧНИКОВЫМ членом при симметричных краевых условиях. Поскольку уравнение (11.4.4) по своей структуре сходно с уравнением нестационарной одномерной диффузии, можно воспользоваться этим методом для аналитического решения, учитывая при этом, что граничные условия (11.4.5)-(11.4.) приводят к несколько иной формулировке краевой задачи. [c.241]

Обычно в практике экспериментального исследования процессов диффузии примесей в твердых телах используют решения уравнения второго закона Фика для одномерного случая при определенных для конкретной физической задачи начальных и граничных условиях. Рассмотрим два из наиболее распространенных типа граничных условий и соответствующие им решения. [c.205]

Локально-одномерная схема является типичным представителем широкого класса схем, применяемых для решения многомерных задач и задач расчета совместно протекающих процессов, описываемых несколькими уравнениями (например, уравнениями теплопроводности и диффузии или уравнениями Навье— Стокса и энергии для потока жидкости). Отличительная особенность этих схем — сочетание сильных сторон явных схем (малые затраты машинного времени на шаге по времени) и неявных схем (безусловная устойчивость). [c.118]

Расчет неравновесных потоков представляет достаточно сложную задачу, так как требует совместного решения уравнений газодинамики, термодинамики и кинетики релаксационных процессов. По этой причине при рассмотрении неравновесных явлений часто ограничиваются случаем одномерного стационарного течения идеально-газовой смеси. Обычно не учитывают вязкость, теплопроводность и диффузию. Процессы внутреннего переноса у стенки каналов исследуют обычно в приближении пограничного слоя, полагая при этом, что роль пограничного слоя сводится к уменьшению поперечного сечения канала. Методы расчета пограничного слоя при наличии химических реакций изложены в работах [368—373]. [c.119]

Использование метода диффузии от системы линейных источников тепла для определения коэффициента /), при нестационарном протекании процесса имеет свои особенности. Это связано, прежде всего, с необходимостью рассматривать в общем случае задачу в сопряженной постановке, так как процессы теплопереноса в теплоносителе и в стенках труб взаимосвязаны, а условия на границе с теплоносителем неизвестны. При использовании модели течения гомогенизированной среды удается избежать необходимости определения полей температур в стенках труб и заранее задать граничные условия, используя понятие коэффициента теплоотдачи, зависящего от граничных условий. При этом тепловая инерция витых труб. учитывается введением в систему уравнений, описывающих нестационарный тепломассоперенос в пучке, уравнения теплопроводности для твердой фазы, а изменение температуры труб во времени и пространстве идентично изменению температуры твердой фазы гомогенизированной среды. Система уравнений (1.36). .. (1.40), приведенная в гл. 1, позволяет рассчитать поля температур теплоносителя и стенки труб (твердой фазы), зависящие от продольной и радиальной координат в различные моменты времени, т.е. решить двумерную нестационарную задачу. В гл. 5 будет рассмотрена система уравнений и метод ее расчета, которые позволяют решить задачу и при асимметричной неравномерности теплоподвода. Однако, как показали проведенные исследования стационарных трехмерной и осесимметричной задач, коэффициент В,, определенный для этих случаев течения, остается неизменным при прочих равных условиях. Поэтому при экспериментальном исследовании нестационарного тепломассопереноса в пучках витых труб целесообразно ограничиться рассмотрением только осесимметричной задачи. Такая задача решена впервые, поскольку все предыдущие исследования ограничивались использованием одномерного способа описания процессов нестационарного теплообмена в каналах, когда рассматривается течение с постоянной по сечению канала скоростью и температурой, которые изменяются только по длине канала. При этом температура стенки определяется из уравнения Ньютона для теплового потока по экспериментальным значениям коэффициента теплоотдачи [24, 26]. [c.57]

Рассмотрим стационарный одномерный изотермический процесс диффузии пара согласно схеме рис. 2-6. Решения подобного рода задач оказываются иногда полезными при изучении конденсации пара из [c.126]

Многие практические задачи приводят к случаю одномерной диффузии, когда все характеристики последней зависят только от одной геометрической величины г и времени t. Для одномерного случая уравнение параболического типа (8) имеет вид [c.125]

Уравнение теплопроводности встречается в двух родственных, но несколько отличающихся друг от друга задачах. Во-первых, многие задачи одномерного ламинарного течения приводят непосредственно к уравнению (13.3) с одной переменной [37]. Во вторых, дифференциальные уравнения, описывающие вихревые движения, являются уравнениями типа уравнения диффузии [37, 86, 87]. [c.35]

Будем рассматривать задачу как одномерную. При этом всегда можно выбрать условия диффузии такие, что [c.353]

Поэтому данная книга ни в коей мере не заменяет и не дублирует существующий справочник по теплотехнике и теплопередаче, так как, во-первых, методически она построена по иному принципу и, во-вторых, в основном рассматривает взаимосвязанные процессы тепломассопереноса и математическую теорию переноса, которая в одинаковой мере применима к переносу как тепла, так и массы вещества. Вследствие этого вопросы передачи тепла излучением, задачи чистого теплообмена и ряд других разделов теплопередачи в книге не рассматриваются. Большое внимание уделяется аналитической теории переноса тепла и массы, в частности нестационарным задачам теплопроводности (разд. 2), где путем введения обобщенных функций удалось одновременно описать одномерные температурные поля в телах классической формы, по-новому, в более простом виде, описать распространение температурных волн, дать обобщение регулярным режимам теплового нагрева тел и ряд других обобщений. На основе дальнейшего развития аналитической теории теплопроводности приведены последние работы по решениям системы дифференциальных уравнений тепломассопереноса (разд. 6), подробно рассмотрены гиперболические уравнения диффузии тепла и массы с учетом конечной скорости распространения. Установлена связь этого нового направления в описании явлений тепломассопереноса с работами американской школы по диффузии массы в пористых средах. [c.4]

Полученные экспериментальные данные сравнивали с теоретическими на основе решения задачи одномерной диффузии с постоянным источником для полубесконечного пространства (начало координат находилось на границе раздела сплав МЛЮ — алюминиевое покрытие, ось л направлена в сторону покрытия). Концен- [c.149]

Важным примером задачи о внутренней и внешней диффузии является задача об удержании плазмы в тороидальных магнитных ловушках. Диффундировать могут как сами магнитные линии, так и частицы поперек магнитного поля. Особый интерес представляет диффузия частиц с учетом их столкновений или внешнего шума. В зависимости от соотношения между шумом и динамикой частиц диффузия может быть либо одномерной (аналогично п. 5.56), либо типа резонансного каналирования ( 6.3). В п. 6.4а рассматриваются основные резонансные процессы в тороидальных магнитных ловушках. В п. 6.46 обсуждаются различные режимы внешней диффузии. Проведено сравнение случаев неподвижных и диффундирующих резонансов. В п. 6.4в приведен пример последнего случая, иллюстрирующий теорию, изложенную в п. 6.36. В п. 6.4г кратко обсуждается самосогласованная задача, когда определяющие движение частиц поля сами зависят от динамики частиц. [c.386]

Предположим, что требуется найти решение задачи на критичность в односкоростном диффузионном приближении для двухмерной прямоугольной геометрии с помощью комбинации одномерных решений. Если в качестве координат выбрать переменные х и у, то уравнение диффузии можно записать в виде [c.245]

Другим важным примером диссипативной системы является задача о диффузии тепла. В одномерном случае она определяется уравнением [c.44]

Разложение в ряды Тейлора по времени нелинейных коэффициентов уравнения движения влаги. При рассмотрении одномерной задачи обсуждался вопрос о повышении точности модели. Одним из способов усовершенствования модели является отказ от квазистационарности коэффициентов уравнения для влаги и их явное интегрирование по времени. Неизвестную функцию рекомендуется раскладывать в ряд Тейлора, а для вычисления производных использовать известную информацию с предыдущих шагов по времени. Интеграл по времени от ряда Тейлора легко вычисляется, т.к. представляет собой сумму степеней. Прием также является приближенным, но по сравнению с квазистаци-онарным подходом он позволяет более чем в 3 раза увеличить шаг по времени с сохранением прежней точности. Этот вывод был сделан на основе исследования поведения численного решения одномерной задачи диффузии жидкости в грунте с простейшими граничными условиями. Отметим, что разложение в ряды коэффициентов теплопроводности не приводит к более точному результату, т.к. эти коэффициенты слабонелинейны, и квазистационарный подход вполне приемлем для решения уравнения движения тепла. [c.153]

Все эти виды массопереноса можно условно назвать диффузией массы. В английской и американской литературе такой суммарный массоперенос называется дисперсией (dispersion), что, очевидно, означает хаотическое рассеивание массы в пористой среде. Движущей силой такого массопереноса в изотермических условиях является градиент объемной концентрации (у<и). Для одномерных задач такой вид массопереноса описывается дифференциальным уравнением [c.438]

Уравнение конвективной диффузии для общего случая трехмерного течения решить весьма трудно, даже если пренебречь молекулярной диффузией, так как и скорость, и коэффициент диффузии являются переменными величинами. Поэтому многие задачи диффузии и перемешивания рассматрваются в предположении, что течение одномерно и имеет место в канале постоянного поперечного сечения. В этом случае уравнение (16-61) сводится к виду [c.454]

Выше мы подробно рассмотрели одномерную задачу о распространении волны через слой флуктуирующей среды. Однако в реальных условиях (трехмерная среда), прежде чем станет определяющим отражение волны (обратное рассеяние), существенную роль будет играть рассеяние на малые углы (поперечная диффузия волны). Статистическое описание волнового поля для этого случая будет рассмотрено в последующих главах книги. Теория инвариантного погружения, описанная выше для одномерной задачи, легко обобщается и на трехмерный случай [162]. Это позволяет, в принципе, установить условия, при которых можно пренебречь обратным рассеянием. Однако, учитывая, что в пастоящее время еще пе имеется конкретных результатов в данном направлении, мы пе будем на этом останавливаться. [c.246]

Сравнительный анализ. Эмери и Карсон [3] провели некоторые сравнительные исследования различных матриц элементов для задач стационарной и нестационарной теплопередачи. В качестве тестовой задачи взято решение стационарного одномерного уравнения диффузии [c.109]

Конечно, переменность скорости и по пространственной координате и большая размерность задачи могут привести к количественному изменению описанного поведения решения. В частности, при переменной скорости и можно допускать, чтобы сеточное число Рейнольдса превышало значение Re > 2 вне окрестности выходной границы, причем пилообразные осцилляции не возникают, если вблизи границы Re < 2. Выводы проведенного здесь исследования оказались приемлемыми для двумерных гидродинамических задач. Используя полные уравнения Навье — Стокса для двумерных расчетов течения нескольких жидкостей в пограничном слое, А. Руссо (личное сообщение) столкнулся с одномерными пилообразными осцилляциями в каждом из направлений — параллельном стенке и перпендикулярном ей. Пилообразные осцилляции в каждом из направлений устранялись либо путем изменения граничного условия на условие Неймана, либо путем перехода к схеме с разностями против потока в одном таком направлении. Другим эффективным средством, нримененным Руссо, является локальное уменьшение шага сетки вблизи стенки (см. разд. 6.1), что локально приводило к уменьшению сеточного числа Рейнольдса до значений Re < 2. Полджер [1971] устранил пилообразные осцилляции в рещении вблизи стенки, учитывая диффузию только с узла, отстоящего на один шаг от стенки. Он проводил расчеты по схеме Лакса (разд. 5.5.4), но схема с разностями против потока (разд. 3.1.8) в этом случае также работала бы. (В линейной одномерной задаче, представленной на рис. 3.26, применение схемы с разностями против потока при г= 10 почти полностью устраняет пилообразные осцилляции.) [c.252]

Интересно отметить, что в одномерной задаче механизмы фильтрационной дисперсии и молекулярной диффузии действуют , т. е. входят в уравнения аддитивно, что не исключает их взаимного влияния, поскольку формально решение задачи нелинейно зависит от эффективного коэффициента дисперсии к.. В случае неодномерного течения взаимодействие упомянутых механизмов представляется более слоЖйым. Рассмотрим достаточно нерегулярную по проницаемости среду. Поле скоростей фильтрации в такой среде разбалтывает поле концентрации примеси или насыщенности, делая его нерегулярным. С другой стороны, диффузионный процесс или капиллярные силы (во втором случае) стремятся сгладить, размазать языки . Очевидно, чем более нерегулярна среда и, следовательно, поле скоростей, тем больше возможностей для проявления диссипативных процессов (диффузии или капиллярности). Можно считать, что фильтрационная дисперсия усиливает проявления диссипативного процесса. С другой стороны, диффузионный или капиллярный механизм ослабляет процесс фильтрационной дисперсии, стаскивая примесь или соответствующую жидкую фазу с наиболее быстрых траекторий, т, е. в определенной степени препятствуя росту языков. [c.262]

Распространение завихренности или, что то же самое, диффузия вихря, в условиях турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости представляет собой достаточно трудную задачу, вследствие чего естественно начать рассмотрение с одномерного случая. Известная задача о диф( )узии прямолинейной вихревой нити в потоке несжимаемой жидкости не является при турбулентном движении жидкости одномерной из-за зависимости коэффициента турбулентной вязкости 1 от расстояния от стенки, вследствие чего приходится ограничиться рассмотрением диффузии вихря в обтекающем бесконечную пластину турбулентном потоке. [c.646]

Впервые диффузионные представления в теории переноса излучения, по-видимому, были применены в 1926 г. В. А. Фоком [Л. 61], который при решении задачи распространения света в плоском слое, составленном из полупрозрачных пластин, предложил упрощенную схему одномерной диффузии фотонов. В 1931 г. С. Росселанд [Л. 22, 346] разработал свой диффузионный метод исследования переноса излучения в фотосферах звезд, основывающийся на векторном интегрировании спектрального уравнения переноса и получивший впоследствии на-142 [c.142]

Задача получеппя решения уравнения (29) при условиях (30) н (31) является математически весьма сложной даже для простейших видов коэффициентов сноса и диффузии а ( о) и Ь ( о) Поэтому на практике часто ограничиваются вычислением одномерных моментов времени первого достижения границ. [c.187]

В случае растекания капли ртути по горизонтальной поверхности скорость процесса закономерно спадает по мере увеличения площади и соответствующего утоньшения слоя жидкой фазы приближенное решение [144] приводит при этом к зависимостям X = Alt ll— для одномерного растекания (по дорожке) и г = — для двумерного слоя (от точечного источника по кругу), удовлетворительно согласующимся с экспериментальными данными (см. стр. 263). На поздней, наиболее длительной стадии процесса, когда скорость распространения уже мала, все сильнее сказывается уменьшение массы ртути, имеющейся на поверхности, вследствие объемной диффузии. Сопротивление вязкому растеканию резко возрастает процесс роста пятна может продолжаться еще некоторое время за счет миграционного перераспределения ртути в тонких адсорбционных слоях и, наконец, полностью прекращается. Для окончательных размеров пятна анализ задачи о конкуренции между распространением по поверхности и впитыванием [144] приводит к выражениям Ы2 = Bxnril< для одномерного растекания по дорожке (случай, наиболее близкий по постановке задачи к случаю развития трещины в пластине при локальном нанесении капли жидкого металла) т R В т — для двумерного растекания по [c.271]

Помимо поисков и открытий новых видов структур и исследования механизмов их образования в теории самоорганизации сегодня появилась новая увлекательная область — направленная организация структур с помощью внешних полей. Чтобы проиллюстрировать нетриви-альность задач подобного рода, приведем один сравнительно простой пример. Рассмотрим влияние статического периодического в пространстве поля на диссипативные структуры в одномерной среде. Исходным будет уравнение диффузии [c.526]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...