Отображение обратимое

Отображение обратимо, потому что определитель матрицы [c.57]

Доказательство. Поскольку отображение А линейно, мы можем рассмотреть ж i- д ддц. Это отображение обратимо если г)д(ж) = Уд(у), то х-Ах = Х у — Ау) и х — Ху = А х — Ху), следовательно, х = Ху, поскольку О — единственная неподвижная точка А. Но [c.326]

Легко видеть, что такое отображение обратимо в том и только в том случае, когда ц,(ЗЯ, + 2ц) О (в 3.8 было показано, что для реальных материалов Я, > О, ц, > 0) при этом [c.162]

Для определенности рассмотрим конкретный пример построения обратимого чертежа сферы Ф путем ее отображения на картинную плоскость П двумя стереографическими проецированиями из центров 5р 2 е Ф. В качестве центров проецирования 5р 2 выберем диаметрально противоположные точки сферы Ф, а в качестве плоскости изображения П — плоскость, проходящую через центр О сферы и перпендикулярную прямой 6(52 (рис. 6.17). [c.207]

В случае обратимых процессов обратный процесс представляет собой, так сказать, зеркальное отображение прямого процесса если, например, в прямом процессе к системе подводится какое-то количество тепла, то в обратном процессе от системы отводится точно такое же количество тепла если в прямом процессе система совершает работу над внешней средой, то в обратном процессе внешняя среда производит над системой работу, равную по абсолютной величине работе в прямом процессе. Если в прямом процессе система расширяется, то в обратном процессе имеет место сжатие системы и т. д. [c.50]

Чтобы вывести уравнение Лиувилля более строго, заметим, что эволюционное уравнение (3.1) определяет в каждый момент времени отображение фазового пространства на себя при этом отображении каждой точке 7о соответствует точка 7 = г(2о,/), в которую в момент времени 1 приходит точка, находившаяся при / = О в точке 2о. Отображение является взаимно однозначным, если, как предполагается в дальнейшем, уравнение имеет единственное решение, соответствующее заданным начальным условиям, как при 1 < О, так и при 1 > 0. (Если уравнение обладает свойством временной обратимости, как в случае сил, не зависящих от скорости, то существование и единственность для t < О вытекают из соответствующих свойств для I > 0.) [c.20]

Если преобразование г = [ и) является взаимно однозначным отображением и, следовательно, обратимым (каждое значение переменной и отображается иа одно значение переменной г, [c.33]

Если отображения f u,v) и g u,v) взаимно однозначны и обратимы, возможен более простой подход. Выразим w и и через да и 2 следующим образом [c.36]

Множество неподвижных точек отображения С, для которого х = = Сх, называется неподвижным множеством обратимой системы. Для обратимой механической системы неподвижное множество совпадает с гиперплоскостью М = и,у у = 0 . [c.132]

Конформное отображение (8.113) обратимо, т. е. соотношение = (2) (8.114) [c.221]

Системы, обладающие свойствами (5.9)—(5.11), называются /i -системами (их более точное определение и анализ будут приведены в следующем параграфе). Подчеркнем, что исключительным свойством /i-систем является то, что это динамические системы (т. е. системы, описываемые обратимыми дифференциальными или разностными уравнениями движения), у которых 1 оординаты и импульсы являются случайными функциями времени (ком. 9). Практически все дальнейшее изложение будет посвящено анализу различных типов ii-систем, встречающихся в физике. Здесь же мы приведем без исследования пример /i -спстемы, движение которой описывается дискретным преобразованием (отображением). Причина, по которой мы выбрали этот пример, не только в его необычайной простоте, но и в том, что в нем используется очень часто встречающийся в математике прием, который оказывается типичным для многих физических ситуаций. [c.30]

Определение 1.1.3. Если X — топологическое пространство, / — отображение, f X— X, f(p) = p и f" x)- p при п—>оо, то мы говорим, что положительные итерации х сходятся к р. Если / обратимо и / "(ж)— -р при п- оо, то мы говорим, что отрицательные итерации х сходятся к р. [c.32]

В. Обратимые отображения интервала. Следующий простой тип асимптотического поведения — сходимость каждой орбиты к неподвижной точке при наличии нескольких неподвижных точек. Такое явление наблюдается для возрастающих функций действительного переменного. На этом примере мы продемонстрируем важный прием, который часто используется при исследовании динамических систем малой размерности, а именно, систематическое применение теоремы о среднем значении. [c.34]

Предложение 1.1.6. Если / с R — замкнутый интервал и / 1— 1 — неубывающее непрерывное отображение, то итерации любой точки хе I стремятся к некоторой неподвижной точке /. Если f — возрастающее (следовательно, обратимое) отображение, то положительные и отрицательные итерации любой точки же J Fix(/) стремятся к соседним неподвижным точкам. [c.34]

Докажите, что не существует обратимого сжимающего отображения компактного метрического пространства, содержащего более одной точки. [c.35]

Следствие 1.2.4. Если все собственные значения линейного отображения А К"—, к" имеют абсолютные значения, меньшие единицы, то положительные итерации каждой точки сходятся к нулю с экспоненциальной скоростью. Если, кроме того, А — обратимое отображение, т. е. если нуль не является собственным значением для А, то отрицательные итерации каждой точки стремятся к бесконечности с экспоненциальной скоростью. [c.36]

Если отображение А обратимо, то Я+(Л) = Я (Л" ). Наконец, положим Я = Я (Л) = Я Я. 0 0 Яд д. (1.2.6) [c.39]

Следствие 1.2.6. На К существует норма, для которой ограничение линейного отображения А на пространство Е А) сжимающее. Кроме того, если А обратимо, то ограничение А на пространство Е (А) также сжимающее. [c.39]

Используя предложение 1.2.8 и упражнение 1.2.4, опишите асимптотическое поведение точек под действием произвольного обратимого линейного отображения в терминах разложения [c.41]

Гиперболические автоморфизмы тора представляют собой довольно естественный обратимый аналог растягивающих отображений Е . Они имеют весьма схожие свойства, и их анализ даст нам возможность испробовать некоторые важные методы, используемые в теории гиперболических динамических систем. [c.56]

Конструкция примера из этого раздела может быть обобщена, например, так. Пусть L R R — некоторая целочисленная (гтг х т)-матрица с определителем + 1 или —1 и без собственных значений, по модулю равных единице, т. е. гиперболическая матрица. Тогда LZ = Z и отображение L обратимо на Z , так что L определяет обратимое отображение т-тора которое имеет свойства, очень сходные с рассмотренными ранее свойствами Fj . Мы будем называть такое отображение гиперболическим автоморфизмом тора. Если опустить ограничение на определитель L, возникающее в результате отображение все еще может рассматриваться как отображение тора, хотя и не обратимое. Такие отображения называются гиперболическими эндоморфизмами тора. Для m = 1 это просто растягивающие отображения окружности. [c.60]

Определение 3.3.2. Точка хеХ называется положительно рекуррентной, если хе ш х), т. е. х = т/ х) для некоторой последовательности П , —+ оо. Для обратимого отображения / точка х называется отрицательно рекуррентной, если же а(х). Наконец, х — рекуррентная точка, если она положительно и отрицательно рекуррентна. [c.139]

Если отображение Т обратимо, то и оператор Uj. обратим, и в этом случае Uj, — унитарный оператор. Если отображения Т и S метрически изоморфны посредством изоморфизма R, то операторы Uj. и Ug унитарно эквивалентны, а именно [c.154]

Существует класс инвариантных мер, которые естественны для гладких систем. Это абсолютно непрерывные меры, т. е. меры, задаваемые плотностями в локальных координатах. В 1 этой главы устанавливаются общие критерии существования таких мер для трех классов динамических систем в случаях дискретного обратимого и необратимого времени и в случае непрерывного времени. Мы показываем, как эти критерии могут использоваться при установлении существования и единственности инвариантных гладких мер для растягивающих отображений. В оставшейся части этой главы описываются несколько классов динамических систем, возникающих в классической механике и дифференциальной геометрии. Благодаря наличию дополнительной структуры все эти системы сохраняют естественно определенную инвариантную гладкую меру. По ходу дела мы обогащаем нашу коллекцию стандартных примеров несколькими новыми экземплярами. [c.192]

Предложение 5.5.5. Если Т (Е, а)(F, 3) — симплектическое отображение, то Т сохраняет объем и ориентацию. В частности, Т — обратимое отображение с якобианом 1. [c.227]

Более общим образом, конус К в Ш" определяется как образ стандартного конуса под действием обратимого линейного отображения. [c.251]

Предложение 6.2.12. Пусть X < г и yl >0 meZ), и пусть L К X -+ R X — такая последовательность обратимых линейных отображений, что [c.253]

Лемма 6.3.3. Два обратимых линейных сжимающих отображения с одинаковой ориентацией топологически сопряжены. [c.267]

Отображение L гиперболично оно является растяжением на подпространстве ((гло, 0), (г ,, 0),..0)) И сжатием на подпространстве (О, Wq), (О, W,),..(О, Тогда отображение (Z - Id) обратимо и [c.276]

В качестве иллюстрации гомоклинических структур рассмотрим пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий периодической траектории в трехмерном фазовом пространстве. При этом удобно использовать так называемое отображение последования Пуанкаре, которое в общем виде, в Л -мерном фазовом пространстве, заключается в регистрации последовательных точек Уо, VI, Уг,. .. пересечения траектории (в одном и том же направлении) с некоторой секущей (М—1)-мерной поверхностью 2 в фазовом пространстве, чем определяется отображение = П(Ул, Ке) поверхности в себя. Поскольку решение и(ыо, О уравнения (2.79) существует при всех /, это отображение обратимо. [c.126]

Сделаем следуюгций шаг. Пусть х — вектор фазового пространства динамической системы, и эта система инвариантна относительно преобразования Г ( ,х) (— , Сх), где С — некоторое отображение фазового пространства, причем = Ы (тождественное преобразование). Такая система называется обратимой. В случае линейного оператора С, когда =1 — единичная матрица, имеем линейно обратимую систему. Последняя система в подходягцих переменных записывается в виде [c.131]

Рассмотрим теперь двумерные отображения Хп- -1 = П(х7г, я)> где х=(х, у), и якобиан д хп и yn+i)ld xny уп) отличен от нуля (обратимость отображения) и по модулю меньше единицы (диссипативность). Примером может служить отображение [c.136]

Такой способ получения чертежа называют аксонометрическим, а полученное с его помощью однопроекционное обратимое отображение геометрической фигуры аксонометрической проекцией или аксонометрией. [c.203]

Большая часть успехов символической динамики связана с тем, что а диаграмме (7.3) удается заменить (2 , а) топологической марковской цепью, а отображение я сделать гомеоморфизмом нли по крайней мере почти гомеоморфизмом (обратимым иа дополнении к тощему множеству первой категории). В этом случае различные свойства, описанные в п. 4, которыми обладает ТМ.Ц, переносятся иа систему (X,f), и тем самым мы получаем богатую информацию о ее топологических и эргодическнх свойствах. [c.217]

Здесь мы перешли к аддитивной системе обозначений. Так как с1е1 Ь > 1, то отображение не обратимо. Эта конструкция, очевидно, обобщается на случай произвольной размерности. Пример растягивающего отображения на дифференцируемом многообразии, отличном от тора, приводится в 17.3. [c.84]

Равным образом в этом определении можно полагать, что N сколь угоднс велико. В самом деле, если для каждого и выполняется условие /" 7) Г пи =0, N0, то точка х не периодическая. Следовательно, можно наит такую окрестность V эх, что / (Т )П У =0, г =0,1,..., К,, и ж не може быть неблуждающей точкой. В определении для потоков с самого начал следует потребовать, чтобы время возврата не было слишком маленьким Другое простое замечание состоит в том, что для обратимого отображения ] неблуждающей точки х и открытого множества V э х существует скол) угодно большое (по модулю) отрицательное N. для которого / У)пУф0 [c.140]

Доказательство предложения 4.1.18. 1. Выберем счетную базу Z7,, U2,. .. открытых подмножеств X, и пусть — множество всех таких точек X, что если xeU , то бесконечно много положительных итераций х принадлежат U . Применяя теорему Пуанкаре о возвращении 4.1.19 к каждому из множеств Uf, заключаем, что множество имеет полную меру. Если отображение Т обратимо, то те же соображения показывают, что множество R , определенное подобно но для отрицательных итераций, также обладает полной мерой. Следовательно, мера множества R = R nR также полна, и по третьему утверждению предложения 4.1.17 множество R [c.152]

Определение 6.2.6. Пусть X < fi. Говорят, что последовател ность обратимых линейных отображений L R" —> R", m Z, допуска (А, 11)-разложение, если существуют такие разложения R" — Е , ч [c.248]

Лемма 6.3.2. С -возмущение / обратимого линейного сжимающег отображения К" топологически сопряжено с Ь. [c.266]

Распространение понятия гиперболического множества на необратимые системы представляет любопытную проблему. В то время как сжимающаяся часть Е гиперболического разложения определяется поведением вдоль положительной полуорбиты точки х и в этом случае легко может быть определена, определение растягивающейся части Е требует рассмотрения отрицательной полуорбиты х, которая определена неоднозначно для необратимых отображений. Это делает общее понятие гиперболичности менее удобным, и потому мы не будем его вводить. Однако существует специальный случай, когда неоднозначность в выборе растягивающейся части отсутствует, а именно когда сжимающаяся часть отсутствует вовсе и, следовательно, растягивающаяся часть представляет собой все касательное пространство. Мы уже рассматривали растягивающие отображения в п. 2.4 а (см. определение 2.4.1). Такие отобрасжения встречаются довольно редко, как и диффеоморфизмы Аносова, представляющие собой их обратимый аналог. Более общее понятие, подобное гиперболическим множествам для обратимых отображений, описывается в следующем определении. [c.269]

Очевидно, для растягивающих отображений все многообразие является гиперболическим отталкивающим множеством. Инвариантные множества Л квадратичных отображений, описанных в п. 2.5 б, представляют собой примеры канторовых множеств, являющихся гиперболическими отталкивающими множествами. Мы встретимся с другими примерами гиперболических отталкивающих множеств в 16.1, 16.2 и 17.8. Сейчас же вернемся к обратимым отображениям. [c.270]

Доказательство. Если АDf 0), тогда трансверсальность означает, что единица не является собственным значением А, т. е. отображение Id —А обратимо, откуда следует, что существует такое 5 > О, что ж — Аж > 5 ж[ для всех ж. С другой стороны, так как отображение / дифференцируемо в О, существует такое г > О, что х — /(ж) — (ж — Лж) = = I Аж —/(ж) < 1 ж на 5j. Следовательно, отображения и г)д не антиподальны ни в одной точке, значит, они гомотопны. [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...