Функция Грина для поля в среде

Поставим задачу определения функции Грина для перемещений и температуры в неограниченной термоупругой среде, возникающих под действием приложенной в точке ( ) сосредоточенной силы, меняющейся во времени по гармоническому закону Ч Обозначим через ( —1, 2, 3) векторное поле перемещений, [c.138]

Итак, мы получили два диадных представления тензора Грина (14) и (40), образованные из собственных векторов тензоров О, е -я и я-8 1. Напомним, что тройки е и е в общем случае не ортогональны друг к другу (в отличие от а и 6). Представление (40) используется в 3.4 для определения нормальных волн и функции Грина О (fei), а также при квантовании поля в среде. Поле v-й нормальной волны параллельно вектору е , и если он комплексный, то поле имеет эллиптическую поляризацию (см. [157], с. 142). [c.252]

Как оказывается, это соотношение справедливо и для более общей модели среды, каждая из частиц которой связана с силовым центром, а сами центры заданным образом распределены по скоростям (например, осцилляторный или атомарный газ). И для такой модели величины о и можно найти в рамках стандартной электродинамики (они выражаются через запаздывающие коммутаторы плотностей заряда и тока, а в конечном счете — через функции Грина частицы в поле силового центра), определяя величину аф а1 с помощью (42). [c.241]

Соотношение (4.2.13) особенно полезно при рассмотрении дифракции от металлических предметов с конечной проводимостью. В этом случае совпадает или с комплексным показателем преломления /1 — /Тс, или с обратной ему величиной в зависимости от поляризации поля, перпендикулярной или параллельной плоскости падения [см. выражения сразу за (3.23.5)]. Для однородной среды, ограниченной поверхностью 5, функция Грина определяется выражением (4.2.7), так что из (4.2.13) имеем [c.255]

Рассмотрим теперь случай, когда не зависящая от координаты у волна отражается от плоскости = О, разделяющей две диэлектрические среды, в которых нет потерь (рис. 4.11). Пусть единичный линейный источник света параллелен оси у и расположен вдоль линии с координатами X — и = 5 > 0. В этом случае начальное поле и р) совпадает с функцией Грина 0(р, р ) [р = (л , 5)], так что по аналогии с выражением (4.8.6) для двумерного случая можно написать еле- [c.273]

Эта поляризация излучает холостое поле, которое в случае достаточно сильного поглощения па холостой частоте и умеренной интенсивности накачки можно определять с помощью линейной функции Грина ( 3.4) для безграничной однородной среды [c.217]

Функция Грина (3.93) не зависит от угла раствора клина. Это связано с тем, что при идеально звукопоглощающем клине звуковая волна как бы не замечает границ раздела среды. Однако акустическая непрозрачность клина приводит к тому, что падающее поле в зоне тени отсутствует. В связи с тем, что поле во всем пространстве должно быть непрерывной функцией координат и резкого скачкообразного изменения амплитуды поля при переходе через границу зоны тени быть не может, должно существовать дополнительное поле, компенсирующее скачок падающей волны. Это поле и является дифракционным. Для того чтобы выделить падающую и дифракционную волны, воспользуемся интегральным представлением произведения функций Ханкеля по формуле (2.14.2.5) из работы [46]. Выполнив замену переменной в этой формуле X =—гб и учитывая, что =Я ехр (гя )), получим [c.167]

Во второй главе построены точные уравнения для одночастичной функции Грина и усреднённого поля деформаций. Одночастичный массовый оператор и связанный с ним эффективный тензор модулей упругости определяется амплитудой рассеяния вперёд продольных и поперечных волн на случайных неоднородностях. Хотя диаграммная техника наилучшим способом приспособлена для расчета эффективных транспортных и упругих параметров среды с учётом многократного рассеяния волн на сильных флуктуациях, эта задача нас здесь интересовать не будет. Мы хотели привлечь внимание математиков, физиков-теоретиков - специалистов по квантовой механике и студентов к проблемам геофизики. Поэтому в этой и следующих главах мы подробно излагаем диаграммную технику в применении к геофизическим задачам. Кроме того, мы посвятили один параграф квантовому подходу к теории упругого поля. Этот подход позволяет понять, как возникает необратимость при описании поля в случайно неоднородной среде обратимыми во времени уравнениями и отменить все дополнительные правила отбора решений и обхода полюсов. Эта проблема обсуждается известными физиками Б.Б. Кадомцевым [6], [c.40]

Итак, квантовомеханический пространственно-временной эволюционный подход позволил нам избавиться от устаревшей проблемы отбора решений и специальных правил обхода полюсов функций Грина. Сила этого подхода в том, что он приводит не к вычислению отклика среды на действие источника, а к решению начальной задачи (задачи Коши), для которой существуют теоремы о существовании и единственности решения. Фейнман в своем первоначальном подходе к построению диаграммной техники для функции Грина постулировал правила обхода ее полюсов. Эти правила оказались абсолютно правильными для задач квантовой теории поля, в которой рассматривается только рассеяние одной, двух (т.е. конечного числа) частиц друг на друге, а все бесконечное число степеней свободы утоплено в ненаблюдаемый в реальных переходах вакуум. Его роль проявляется только в виртуальных переходах и сводится к перенормировке параметров частиц (закона дисперсии, массы, заряда). При рассеянии частиц и волн в макроскопических системах такой подход оказывается недостаточным, поскольку при этом макроскопическое число частиц или волн оказывается в возбужденных ( над вакуумом ) состояниях. Использование правил отбора решений Фейнмана для таких задач в монографиях [41, 42] приводит к ошибочным результатам. В этом случае работают все четыре обхода двух полюсов, то есть четыре функции Грина, и необходимо использовать диаграммную технику Келдыша [39], полностью эквивалентную задаче Коши. Такая ситуация имеет место для любой классической задачи, связанной с нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением. Эти задачи эквивалентны квантовым (хороший пример - теория турбулентности [43]). Только для линейных задач с параметрической случайностью , т.е. для линейных уравнений со случайными коэффициентами, из четырех функций Грина остаются две - запаздывающая С и д опережающая. Мы увидим, что энергия рассеянных волн выражается через их произведение. При этом (3 отвечает за эволюцию поля на нижней ветви контура Швингера-Келдыша, а 0 - за эволюцию на верхней ветви (см. рис. 2). [c.67]

Легко убедиться, что такая же топологическая структура проявляется во всех высших порядках, - изменяется только число пунктиров, число пересечений пунктиров и число непересекающихся фрагментов, соединённых линией Со.Топологическая классификация диаграмм позволяет провести их суммирование и вывести точное уравнение для усредненной функции Грина и усредненного поля деформаций в упругой трещиноватой среде. Это будет сделано в следующих параграфах. [c.75]

Это эквивалентно тому, что функцию Грина (3.89) можно рассматривать не только как решение фундаментальной задачи Коши, то есть поле созданное мгновенным точечным источником в первоначально невозмущенной среде, но и как решение граничной задачи для одного из введенных нами обобщенных волновых уравнений, удовлетворяющее в точке г = х = О граничному условию (3.132), и на бесконечном удалении от неё убывающее до нуля [c.176]

Действительно, если в качестве G н F взять выражения, соответствующие источнику в трехмерной среде, и положить т ) = О, то из полученного уравнения немедленно будет следовать третья формула Грина (1828 г.). С другой стороны, идея представления Fi в виде произведения двух функций, использованная при выводе формул Грина, может пригодиться для вывода аналогичных соотношений для произведения тензорных величин более высокого ранга [31. Например, полагая = Щ0 / и f/= щ Оц, где (мь %) и ( ( , 0 j)—дифференцируемые поля смещ,ений и напряжений в упругом теле соответственно, и используя, как при выводе (Б.7), уравнение (Б.4), получаем [c.475]

Функция Грина для поля в среде. Для алгебраизации дифференциальных уравнений Максвелла в случае однородной в пространстве и во вред1ени среды дюжно разложить поля с подющью четырехдюрных интегралов Фурье (3.2.31). При этом (2) в линейном приближении примет вид [c.103]

Главы 4 и 5 посвящены соответственно одно- и двухфотонному тепловому излучению. Здесь установлены довольно общие соотношения между спонтанными и вынужденными эффектами, названные обобщенными законами Кирхгофа. Аналогичные соотношения используются и в следующих двух главах, посвященных процессам неупругого рассеяния. В главе б параметрическое и поляритонное рассеяние рассматриваются более подробно, чем в главе 1. Глава 7 содержит феноменологическое описание четырехфотонного (гиперпараметрического) рассеяния и связанного с ним когерентного комбинационного рассеяния. Наконец, в Приложении определяется спектральная функция Грина для поля в анизотропной поглощающей среде. [c.12]

Решение задачи в [29] проведено для хорошо коллимированных ввуковых пучков в этом случае вектор q отличен от нуля только в области пересечения звуковых пучков. Рассеянное звуковое поле, вызванное источниками в области пересечения пучков, рассматривается в дальней зоне, где можно считать, что 1/л В этом случае решение (8.66) можно найти с помощью функции Грина для неограниченной среды. Это решение имеет вид [c.323]

В настоящей главе равновесное поле в вакууме и в линейной сплошной среде обсуждается кратко в 4.1 и 4.2 соответственно, а следующие разделы посвящены ТИ. В 4.3 дается краткое описание макроскопического метода расчета ТИ с помощью ФДТ. Этот л етод развивался в основном Левиным и Рытовым [144, 162], получившими общую формулу ( обобщенный закон Кирхгофа ), выражающую вторые моменты поля через диэлектрическую проницаемость и функцию Грина для макроскопических уравнений Максвелла. В 4.4 выводится новая форма обобщенного закона Кирхгофа (ОЗК), выражающая моменты поперечного ноля через матрицу упругого рассеяния по отношению к фурье-амплиту-дам E]i (или операторам а ) [137, 184]. Далее, в 4.5 ОЗК выводится другим способом — с помощью однофотонного кинетического уравнения для поля, из которого следует гауссов характер статистики ТИ. Наконец, в 4.6 и 4.7 рассматривается связь моментов поля в дальней зоне излучателя с моментами операторов рождения и уничтожения. [c.111]

Во-первых, изложенная теория может быть обобщена на систему уравнений Максвелла. Некоторые трудности при этом возникают в связи с тем, что в отличие от скалярного волнового уравнеиия функция Грина для системы уравнений Максвелла сингулярна [175]. Поэтому при обобщении изложенной теории на случай электромагнитного поля приходится пользоваться специальными приемами для исключения особенностей (см. [175, 176] . Развитые выше методы начинают находить применения при решении различных конкретных задач. Так в [176] рассчитана пространственная дисперсия неоднородной среды, в работе [177] вычислен тензор эффективной диэлектрической проницаемости сильнонеоднородной анизотропной среды. [c.497]

Если выбрать вторую функцию Грина, го в нуль обращается член, содержащий и, и достаточно на 5 знать ди1дп. Однако построение функций Грина, удовлетворяющих граничным условиям 1 или 2, известно лишь для задач С достаточно простой геометрией. Вид функций Грина определяется видом поверхности 5 и свойствами среды и не зависит от положения источника излучения и от поля, создаваемого им на экране. Поэтому можно говорить о функции Грина для полупространства, сферы и т. д. Для плоского экрана в качестве функции Грина можно взять разность полей двух точечных источников источника, расположенного в точке М (х, I/, 2) и в точке Мх (х, у, — 7), являющейся зеркальным изображением точки М в плоскости экрана (рис. 8.4) [c.249]

Эта связь между вторым моментом, коммутатором и функцией Грина в равновесных системах согласно ФДТ ( 2.4) универсальна (если под Ж в случае негармонических переменных понид1ать оператор [ехр (— A o/oi) — 1] ). Она позволяет сразу выразить вторые дюменты для компонент электрического или магнитного поля (или для их фурье-образов) через соответствующие функции Грина, что мы и сделаед в следующем параграфе для пространства, заполненного средой. [c.114]

В общем случае точечный источник с произвольной направленностью приводит к появлению в правой части волнового уравнения линейной комбинации S(r - г о) и производных различных порядков от 6 (г - Го) [72, 8.4]. Пусть известно поле р(г, г о), созданное источником б (г—Го) (т.е. функция Грина). Поскольку левая часть волнового уравнения не зависит от Го, поле источника (д /dx dy dz ) 8(г г ) легко найти, дифференцируя уравнение для р(г, Го) по координатам источника. Оно равно ( 1) " (д " /дХодуо 2о)р(г> Го). В силу линейности волнового уравнения поле произвольного точечного источника, таким образом, выражается через р(г, Tq) и производные от этой функции. Поле произвольного распределенного источника выражается объемным интегралом по г о от р (г, г о) по области, занятой источником. Поэтому в дальнейшем, рассматривая звуковое поле в слоистой среде, мы сосредоточим внимание на функции Грина. [c.340]

Устранение резонансных явлений изменением функции Грина. Указанные выше резонансные явления возникают вследствие того, что излучение источников, находящихся на поверхности тела, распространяется не только во внеишее пространство, но и внутрь области, занятой телом (как бы в воображаемый объем вытесненной среды). Это наводит на мысль о возможности устранения резонансных явлений введением во внутреннюю область некоторой фиктивной звукопоглощающей поверхности, препятствующей распространению волн. Заметим, что функции Грина С(х,у) в формуле Гельмгольца (2.11) не обязательно выбирать в виде выражений (2.12) или (2.13), соответствующих полям ненаправленных источников в бесконечном пространстве. Как указано в работе [63], в качестве них могут быть использованы любые функции, удовлетворяющие уравнению распространения звуковых волн, условию излучения и заданной особенностью в источнике [типа 1/г для трехмерного случая и 1п (/з") — для двумерного]. [c.74]

Попытки суммирования всего ряда теории возмущений, или по крайней мере ускорения его сходимости, связаны с методом перенормировок, развитым в квантовой теории поля. Здесь уместно отметить работу [28], где изложены результаты Буре, В. И. Татарского и Гериенштейна, рассматривавших процесс распространения волн в средах со случайными неоднородностями. Эффективность метода перенормировок возросла с использованием предложенного В. М. Финкельбергом разделения многочастичных взаимодействий на локальные и нелокальные. Фактически это эквивалентно выделению в каждом члене ряда возмущений некоторой его части, ответственной за взаимодействие определенного рода, и последующему суммированию всех членов такого типа. Этот подход, получивший в работах Т. Д. Шермергора [37] и Г. А. Фокина [33] название сингулярного приближения, позволил авторам рассмотреть многие задачи теории упругости микронеоднородных сред, определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных диэлектриков. Было установлено, что аналогичные результаты можно получить без выписывания ряда возмущений, если отделить сингулярную и формальную производные функции Грина в основном функциональном уравнении. Это приближение, получившее название обобщенного сингулярного приближения в комбинации с модификацией метода перенормировок, позволило установить общность многих приближенных результатов, в частности метода самосогласования, метода изучения сильно изотропных сред. Была выяснена связь сингулярного приближения с методами построения вариационных границ для эффективных характеристик. [c.107]

Вторая часть монографии посвящена микроскопическому описанию трещиноватых упругих и пороупругих сред и проблеме рассеяния волн на случайных неоднородностях. Основное её содержание сводится к применению методов квантовой теории поля и диаграммной техники Фейнмана [1] для вычисления усредненного поля деформахщй и его среднеквадратичных флуктуаций в трещиноватых упругих и пороупругих средах. Физическая мощь этих методов обусловлена тем, что они не связаны никакими ограничениями со стороны длин и частот распространяющихся в среде волн, ни с характером распределения случайных и регулярных неоднородностей. Математическая их мощь заключается в том, что они позволяют получить точные уравнения для одночастичной и двухчастичной функций Грина, контролирующих динамику усреднённого поля деформаций и его двухчастичной (парной) функции корреляций, и, в частности, амплитуду и энергию распространяющихся, отраженных, преломленных и рассеянных волн. Ядра этих уравнений (массовые операторы) нелокальны во времени и пространстве, их преобразования Фурье являются комплексными функциями частоты и волнового вектора. Тем самым они учитывают временную и пространственную дисперсию сейсмических и акустических волн и полностью определяют их спектр и затухание в трещиноватых упругих и пороупругих средах. К сожалению, эти ядра не могут быть вычислены точно (что было бы эквивалентно решению проблемы многих тел), и для их приближенного расчёта разработана диаграммная техника, позволяющая просуммировать бесконечную последовательность наиболее важных членов ряда, отвечающих за тот или иной процесс взаимодействия волн со средой. [c.40]

Основная задача четвертой главы данной части книги заключается в построении теории сейсмической локации бокового обзора (СЛБО) трещиноватых сред. Для поротрещиноватой упругой среды с несообщающимися порами эта задача решена в общем виде на основе диаграммной техники в работах [13-16]. В этой главе рассмотрены проблемы реверберации сейсмических и акустических волн, обусловленной рассеянием на случайных неоднородностях. Выводятся точные уравнения для двухчастичной функции Грина с массовым оператором, определяемым корреляционными функциями параметра трещиноватости всех порядков. С его помощью найдена связь между двухточечной и двухвременной корреляционной функцией случайного поля деформаций (и, в частности, энергией рассеянных волн) с корреляционными функциями параметра трещиноватости. [c.41]

Задача этого и следующего параграфов - переход от дифференциальньгх уравнений для поля деформаций й (дг) (или для любого другого поля) к интегральным уравнениям технически очень проста. Она решается с помощью выбора соответствующей функции Грина. К сожалению, этот выбор неоднозначен, и для решения этой проблемы в научной литературе привлекаются дополнительные и очень глубокие физические принципы (принцип причинности [27], принцип предельного поглощения [28], условия излучения Зоммерфельда [29] в теории дифракции, правила обхода Ландау [30] в теории бесстолкновительной плазмы, условия временного сглаживания волновой функции Геллманна-Гольдбергера в квантовой теории рассеяния [31], граничные условия Боголюбова [32] в кинетической теории газов). Мы покажем, что без всего этого можно обойтись, поскольку однозначный выбор функции Грина определяется заданным направлением времени, непрерывностью спектра возбуждений бесконечной среды, гладкостью корреляционных функций случайных неоднородностей и условием ослабления корреляций [33]. [c.57]

Как видно из формул (2.262)-(2.275), для расчета энергии рассеянных волн необходимо вычислить одночастичную и двухчастичную функции Грина. В Главе 2 построена диаграммная техника для вычисления одночастичной функции Грина в поротрещиноватой среде при любом статистическом распределении неоднородностей. Ниже будет развит диаграммный метод для определения двухчастичной функции Грина. Диаграммная техника для двухчастичной функции Грина построена в работе [49] для описания рассеяния волн в турбулентной атмосфере и впервые применена к теории морской реверберации в работах Т.А.Мороз [91, 92]. Однако в обоих случаях речь шла о скалярном поле и о рассеянии на гауссовом распределении флуктуаций плотности. В нашем случае речь идет о векторном поле и о рассеянии продольных и поперечных волн на произвольных флуктуациях тензора модулей упругости. [c.98]

Одночастичная функция Грина несет на себе всю информацию о регулярно неоднородной среде. В частности, она отвечает за рефракцию сейсмических и акустических волн на медленных по сравнению с длиной излучаемой волны изменениях параметров среды и за их отражение и преломление на резких изменениях модулей упругости и плотности среды (например, обусловленных их слоистой структурой) по сравнению с характерной длиной волны. Интересующая нас в этой главе основная задача - сейсмическая локация бокового обзора при правильной постановке эксперимента позволяет избавиться от отраженных и преломленных волн, поэтому мы их не будем учитывать (хотя их учет не вызывает принципиальных затруднений). Рефракция волн полностью описывается квазиклассическим приближением для функций Грина (или приближением геометрической акустики - лучевым приближением). Это приближение достаточно полно описывает сейсмическое поле в регулярной среде с учетом его продолжения за каустику с помощью канонического оператора Маслова [93, 94]. Мы, однако, для простоты ограничимся здесь случаем разложенной квазиклассики , когда фаза квазиклассиче-ской функции Грина может быть представлена в виде криволинейного интеграла [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...