Диадное представление тензора

Линейная вектор-функция. Тензор второго ранга. Условия его физической объективности. Простейшие операции над тензорами. Перемножение тензора и вектора. Диада и диадное представление тензора [c.115]

Диадное представление тензора напряжений, согласно (23) предыдущей главы, будет иметь вид [c.132]

Диадное представление тензора 128 [c.347]

Отправляясь от диадного представления тензора (1.9.12), можно записать диадное представление в виде [c.822]

Величины е е - называют координатными диадами, а само выписанное выражение — диадным представлением тензора. Ранг тензора определяется числом индексов у его компонент. В частности, вектор можно считать тензором первого ранга, а инвариант — нулевого. Ниже рассматриваются в основном лишь тензоры второго ранга, так что будем называть их просто тензорами. Из представления (1.7) усматривается, что в выбранном координатном базисе тензор второго ранга определяется девятью его компонентами tij. [c.8]

Таким образом, при диадном представлении тензоров в скалярном произведении скалярно перемножаются соприкасающиеся (соседние) векторы При компонентном же задании суммируются по соприкасающимся индексам произведения компонент. При этом в отличие от векторов существен порядок следования перемножаемых тензоров. Так, в общем случае [c.9]

Их можно назвать векторными произведениями вектора а на тензор Р слева и соответственно справа. Пользуясь диадным представлением тензора (4), получаем [c.145]

Вспомнив это, рассмотрим диадное представление тензора в системе ортогональных осей, вращающихся с угловой скоростью ( ) относительно инерциальной системы. Тогда, применив формулы дифференцирования единичных векторов (2.7.6), получим [c.145]

Вычисление легко обобщить на тензоры любой кратности. Ограничимся здесь, как и ранее, тензорами второго ранга. Имеем, используя диадное представление тензора. [c.788]

Сомнения отпали — приходим к диадному представлению тензора второго ранга [c.14]

Итак, мы получили два диадных представления тензора Грина (14) и (40), образованные из собственных векторов тензоров О, е -я и я-8 1. Напомним, что тройки е и е в общем случае не ортогональны друг к другу (в отличие от а и 6). Представление (40) используется в 3.4 для определения нормальных волн и функции Грина О (fei), а также при квантовании поля в среде. Поле v-й нормальной волны параллельно вектору е , и если он комплексный, то поле имеет эллиптическую поляризацию (см. [157], с. 142). [c.252]

Тензор 5 в главных осях имеет диадное представление [c.128]

В этой записи r = r s), а штрихами отмечены величины в точке пути интегрирования. Пользуясь диадным представлением этого тензора [c.63]

Сами эти тензоры, играющие роль единичных в и- и соответственно в У-объеме, в их диадных представлениях записываются в виде [c.69]

Тензоры второго ранга удобно записывать в виде диадных представлений (см. (1.1.11)) [c.40]

Деформационное состояние среды и моментной теории для общего случая определяется двумя тензорами, имеющими в диадном представлении вид тензора (несимметричного) деформации [c.105]

Вектор внешних сил, действующих на элемент площади dZ деформированной боковой поверхности, равен скалярному произведению соответствующего ему элемента dl. недеформированной поверхности на тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа д. Используя диадное представление этого тензора [c.54]

При преобразовании тензоров любой валентности легко сохранить ту же технику вычислений. Это видно из их диадного представления. [c.10]

Тензор второго ранга был определен (см. П. 1.4 и П. 4.3) как величина, задаваемая девятью составляющими, с помощью которой осуществляется преобразование вектора а в другой вектор с. В ортогональных декартовых координатах тензор второго ранга может быть задан его диадным представлением (4.3.4). При переходе к косоугольным координатам диады вида следует заменить одной из диад вида [c.782]

Формулы (П. 3) дают диадное представление этого тензора [c.790]

Рассмотрим тензор Р, диадное представление которого имеет [c.18]

Диадные представления единичного тензора по (4) записываются в видах [c.427]

Диадное представление ортогонального тензора по (8) можно записать в видах [c.433]

В диадном представлении в декартовых координатах тензор Vj.a имеет вид [c.50]

Представление тензора напряжений. В 1, 2 этой главы тензор напряжений Т задавался в деформированной среде (в 1/-объеме) его компонентами, далее обозначаемыми t ah), в декартовой системе координат OX1X2XS. Переходу к материальным координатам <7 и к векторному базису / соответствуют диадные представления тензора [c.37]

IV. 3. Метрический тензор. Из формул (IV. 2.6) следует, что величины gskig ) являются коэффициентами инвариантной квадратичной формы переменных (или й ,), а отсюда по сказанному в п. I. 4 следует заключить, что этими величинами определен симметричный тензор второго ранга, обозначаемый g gsk и g — его ко- и контравариантные компоненты его смешанные компоненты g суть коэффициенты билинейной формы переменных as, а . Тензор g определяет в принятом базисе квадрат длины. Это объясняет его наименование — метрический тензор. Диадное представление тензора g- записывается в одном из трех видов [c.872]

Естественный путь определения применяемых ниже операций над тензорами состоит в использовании диадного представления тензора. Диадным умножением векторов а и Ь называется операция образования по этим векторам тензора, обозначземого аЬ ) и определяемого таблицей компонентов [c.17]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

Сопоставление подчеркнутых сумм и отражает инвариантность тензора. Далее, в диадном представлении (1.1) явно выписьшаются координатные векторы, так что ясно, к какой именно системе координат относятся компоненты тензора. Последнее особенно удобно, когда одновременно используются разные координатные базисы. Пусть [c.41]

Соотношения, полученные в 1, 2, 4 и 5, были сформулированы в инвариантной форме. Это позволяет тотчас же, руководствуясь правилами, установленными в 6, записать эти соотношения в криволинейных координатах. Начнём с уравнений равновесия сплошной среды. Надо составить выражение вектора divT — дивергенции тензора напряжений Т. Диадное представление этого тензора имеет вид [c.36]

В книге сделана попытка дать новое, более наглядное изложение предложенного Мором графического метода представления напряжений и бесконечно малых деформаций. С этой целью автором широко использовано понятие об октаэдрических составляющих напряжений и бесконечно малых деформаций, с помощью которых многие важные факты в теории пластичности нашли простое выражение. Автор надеется, что инженеры и физики будут шире пользоваться этим методом, весьма удобным для наглядного представления тензоров напряжения и деформации и для анализа критериев прочности и пластичности в твердых телах. Одна из глав посвящена векторному аппарату исследования геометрии напряжений и конечных однородных деформаций. Ее можно рассматривать как попытку познакомить читателя, имеющего математические склонности, с основами теории линейных вектор-функций в ее применении к теории деформаций непрерывной среды и с использованием диадного исчисления Гиббса. Удивительно, что простота, совершенство формы и ясность изложения, которые достигаются при пользовании этим методом, не встретили до сих пор широкого признания в литературе по прикладной механике. В гл. XIV автор следовал изложению книги Вилсона Векторный анализ . Хотя присущие диадному исчислению эвристические достоинства и не требуют рекомендаций для механиков, все же нужно добавить, что этот прием не заключает в себе каких-либо преимуществ перед другими методами в качестве средства для нахождения конкретных решений дифференциальных уравнений в частных производных. [c.6]

Иногда тензор может наиболее просто и естественно представляться в смешанном диадном базисе, когда векторы диады принадлежат различным базисным системам, и в этом случае компоненты тензора имеют индексы различных классов. Так, градиент деформации наиболее просто п естественно представляется (просто частной производной) в диадпом базисе, левый множитель которого есть иространственный базисный вектор, а правый — отсчетный. Это естественное представление тензора градиента деформации влияет затем па координатную запись полярного разложения и, таким образом, на все координатное оформление теории конечных деформаций. Термин естественное нредставление тензора (см. [ ]) широко используется в настоящей работе. [c.519]

Правая часть равенства (5.12) называется девятичленной формой диадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятичленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятичленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)]. И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отноще-нии действия, производимого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор / можно записать таким образом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого мы введем единичную диаду 1 [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...