Тензора модуль

Докажем теперь коэрцитивность J (v). Предварительно заметим, что из неравенства положительной определенности тензора модулей упругости [c.274]

Здесь Л — тензор модулей податливости е . —тензор пластических деформаций, определяемый как разность между тензором полных и тензором упругих деформаций. [c.284]

Используя положительную определенность тензора модулей податливости М, без труда доказываем, что функционал (5.318) строго выпуклый и коэрцитивный на La ( ), следовательно, реше-Н1 0 задачи минимизации функционала J (х) на М существует и единственно. [c.285]

Впрочем, не исключается в отдельных случаях и экспериментальное нахождение компонентов тензора модулей упругости, т. е. В [c.46]

Свойство взаимности компонентов тензора коэффициентов упругости и компонентов тензора модулей упругости [c.47]

Точно так же симметричным тензором является и тензор модулей упругости, поскольку [c.47]

Принято указанные компоненты называть основными компонентами тензора модулей упругости. [c.49]

Связь компонентов тензора коэффициентов упругости и тензора модулей упругости с обычными техническими постоянными [c.49]

Здесь — тензор модулей упругости, измеренных при постоянной напряженности электрического поля, йтч — тензор пьезоэлектрических постоянных, — тензор диэлектрических постоянных, измеренных при постоянных деформациях. [c.237]

Из симметрии тензоров о.-,- и еу следует, что тензоры модулей и податливостей не меняются при перестановке индексов i и /, к и I. В результате оказывается, что из 81 компоненты тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве различными остаются лишь 21 компонента. Соответствующие потенциалы имеют следующий вид [c.239]

Часто оказывается, что анизотропное тело обладает известной симметрией строения. Это относится, прежде всего, к кристаллам, к композитным материалам регулярного строения, к биологическим объектам типа древесины или кости. Используя свойства симметрии, можно выбрать такую специальную систему координат, для которой некоторые компоненты тензора модулей упругости обращаются в нуль или становятся тождественно равными между собой, и общее число упругих констант оказывается меньше чем 21. [c.240]

Определяющие уравнения вязкоупругой композиционной (или монолитной) среды, обладающей частными свойствами механической симметрии, могут быть получены из уравнений (10) и (11) таким же образом, как и в случае упругой среды, т. е. из требования инвариантности тензоров модулей релаксации и вязкоупругих податливостей относительно соответствующих преобразований координат, не зависящих явно от времени (Сокольников [108] )). [c.109]

Распространение упругих волн, в анизотропной среде. Эффекты упругой анизотропии в К. обычно описываются применительно к распространению в кристалле плоских волн. Фазовая скорость упругих волн определяется тензором модулей упругости устанавливающим в линейном приближении связь между упругими напряжениями а/у п вызвавшими их деформациями [c.506]

При вычислении интеграла (3.31) и аналогичных ему необходимы явные представления для поля ,jmn(r) через тензоры модулей упругости элементов структуры и функцию к(г), а именно, для рассматриваемого класса материалов [c.46]

Тензор ikim — также тензор четвертого ранга. Его называют тензором модулей упругости (постоянных упругой жесткости). Ив этом тензоре 81 компонента. [c.196]

Тождество (8.10.5) представляет собой простое следствие симметрии тензора модулей упругости или тензора податливостей. Действительно, положим в правой части (8.10.5) Ti = OijHj и преобразуем поверхностный интеграл в объемный. Учитывая, что напряжения удовлетворяют вместе с силами Fi дифференциальным уравнением равновесия, получим [c.264]

Принимая за основной элемент структуры монослой, будем задавать его упругие свойства тензором модулей упругости который для ортотронного материала может быть задан так, как это сделано в 10.6. Однако для расчетов нам будет удобно задавать тензор E ju (г, к, 1 = , 2) по отношению к произвольной системе координат. Все слои деформируются одинаково, поэтому напряжения в слое номер s будут [c.708]

Здесь EYjh — тензор податливости или матрица, обратная матрице При конкретных расчетах бывает удобно переходить на матричный язык, представляя тензор модулей упругости как симметричную матрицу 3X3. Внеся выражения для е,-, в формулы (20.8.2), получим [c.708]

Рассмотрим теперь модель, в которой принимается, что точечный дефект находится в анизотропной упругой среде. Упругие свойства такой среды характеризуются уже пе двумя независимымп параметрами (например, X п ц) изотропной среды, а тензором модулей упругости число независимых компонент которого в общем случае равно 21. Будем рассматривать дефект как точечный источник деформаций и напряжений. Тогда в отсутствие объемных сил система трех уравнений равновесия такой анизотропной среды имеет вид [c.49]

Для того чтобы пояснить смысл условий симметрии вида (16) и показать, как они проверяются экспериментально, ниже будет рассмотрен случай геометрической симметрии, присущей многим используемым в технике композиционным материалам, а именно случай трансверсальной изотропии. Обсуждение композитов более общего вида читатель может найти (i) в статье Хейза и Морленда [51], где приводится описание серии из двадцати четырех опытов для определения всех тридцати щести модулей релаксации ijki(t), причем условия симметричности (16) заранее не предполагаются, и (ii) в литературе по анизотропной теории упругости, где условия симметричности тензоров модулей и податливое гей принимаются априори. [c.109]

Здесь тензоры модулей релаксации и вязкоупругих податли,-востей идентичны соответств ющим тензорам для изотермиче- [c.126]

Вследствие симметрии тензора модулей упругости их число для среды с определенной симметрией будет уменьшаться. Так, в случае с тогонально-анизотропной (ортотропной) среды число независщ модулей упругости уменьшается до девяти, для [c.20]

Уравнения (3.17) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости для однородного тела с тензором модулей упругости ijmn) И перемещениями uj (r), обусловленными действием случайных объемных сил Пу (г). Бели размеры тела V неограниченно велики по сравнению с размерами элементов структуры, то решение краевой задачи (3.17), (3.18) не зависит от формы границы S. Поэтому всюду внутри тела V, кроме малой окрестности, прилегающей к границе 5, решение задачи (3.17), (3.18) можно представить с помощью тензора Кельвина-Сомильяны Gy однородной среды, упругие свойства которой определяются тензором ijmn) [62, 296]. Тензор G вместе со своими производными обращается на бесконечности в нуль и удовлетворяет уравнению [c.44]

Здесь Jijki — компоненты тензора модулей упругой податливости, а коэффициент Q (в случае конической особенности на поверхности нагружения вводится совокупность коэффициентов Qa и поверхностей fa [122]) определяется состоянием jj, и историей нагружения, но не зависит от d(7,j и поэтому считается известным. [c.201]

При записи последнего неравенства принято, что связь малых приращений напряжений и малых приращений деформаций может быть представлена дифференциально линейными соотношениями (9.19). Коэффициентами пропорциональности на стадии упрочнения являются компоненты тензора С, а на закритической стадии де.формирова-ния — компоненты тензора модулей разупрочнения D, взятые со знаком минус, [c.207]

Ограничимся рассмотрением материалов, обладающих диаграммами деформирования с обычными ниспадающими участками (падение напряжений сопровождается ростом деформаций) и мягкими характеристиками [204], так что С (е, X = 1) < С (е = 0,х) = С. В данном случае г ктивное нагружение связано с выполнением неравенства (Tijd ij > 0. Упругое поведение материала определяется постоянным тензором модулей упругости С. [c.211]

Подавляющее большинство методов определения эффективных характеристик композитов относится к области малых деформаций, описываемой линейно — упругими определяющими соотношениями. Наиболее часто при вычислении эффективных характеристик используется подход Хилла [13]. Он базируется на интегральных соотношениях между эффективными константами и микро — механическими полями. Эти соотношения позволяют аддитивно выразить тензор модулей упругости (или упругих податливостей) через характеристики фаз, их объемное содержание и коэффициенты перераспределения тензора деформаций (или напряжений) по фазам. [c.15]

Одним из самых распространенных методов определения эффективных характеристик среды является метод теории случайных функций. В качестве модели, адекватной широкому классу композиционных материалов, является представление материальных тензоров как случайных макрооднородных полей. В этом методе тензор модулей упругости считается случайной функцией, представимой в виде суммы статистически среднего тензора модулей упрут ости и тензора, описывающего флуктуационные добавки. Принимается гипотеза эргодичности среднее по объему совпадает со средним статистическим. Допущение о малости флук— 1уаций позволяет пренебречь корреляционными функциями высших порядков и получить выражения для эффективных характеристик в корреляционном приближении, предложенном впервые в работе [33]. [c.19]

Вариационный принцип Хашина—Штрикмана является обобщением вариационного принципа Лагранжа. Он был разработан авторами для исследования неоднородных упругих материалов. Наряду с исследуемым (неоднородным) телом рассматривается некоторое однородное упругое тело (тело сравнения). На основе лагранжиана строится функционал, который имеет минимум в положении равновесия, если тензор модулей упругости исследуемого тела меньше тензора модулей упругости тела сравнения и имеет в положении равновесия максимум, если тензор модулей упругости больше тензора модулей упругости тела сравнения. (Слова меньше и больше понимаются здесь в смысле определений, данных в 1 гл. 1.) [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...