Звуковые волны уравнение распространения

Этот результат не равен в точности результату (16) предыдущей задачи, но, сравнивая (17) и (19), мы видим, что оба результата можно считать одинаковыми, если ограничиться слагаемыми первого порядка относительно В гл. И мы увидим, что результаты (16) и (19) справедливы и для световых волн в свободном от вещества пространстве, но только с точностью до величин первого порядка относительно V/ . Для звуковых волн уравнения (17) и (19) различаются слагаемыми второго порядка относительно У/изв, так что при распространении звуковых волн мы в состоянии определить экспериментально, движется ли относительно среды источник или приемник. Для звуковых волн среда имеет существенное значение. [c.325]

Наряду с только что рассмотренным случаем одномерного, параллельного некоторой оси возмущенного движения, при котором в газе происходит перемещение плоских звуковых волн, перпендикулярных оси течения, можно было бы разобрать и случай одномерного радиального распространения круговых в плоскости или сферических в пространстве звуковых волн. В этом случае линеаризированные уравнения несколько усложняются, но так же легко решаются. Существенно, что в случае круговых и сферических звуковых волн скорость распространения их будет определяться той же формулой (9), что и в случае распространения плоской звуковой волны. [c.160]

Отбросим члены порядка малости выше второго, так как распространение звуковых волн - это распространение бесконечно малых колебаний. В результате для возмущений термодинамических параметров получим систему уравнений вида [c.402]

Уравнения ЖИДКОСТИ, характеризующие звуковые распространения г г j j звуковых волн волны, происходят при отсутствии массовых сил и носят потенциальный характер. Учитывая малость колебаний в звуковой волне, следует положить, что будет мала скорость движения жидкости, а также малы изменения скоростей при переходе от одной точки пространства к другой. Отсюда в уравнениях движения можно пренебречь членом (v-V)v. Так же как и скорость, в рассматриваемом движении плотность р и давление Р изменяются в малых пределах. Представим их в виде [c.273]

Условие применимости линеаризованных уравнений движения (64,2) и (64,3) для распространения звуковых волн заключается в малости скорости движения частиц жидкости в волне по сравнению со скоростью звука и [c.350]

Переходим теперь к количественному расчету. Распространение монохроматической звуковой волны, создаваемой точечным источником, описывается уравнением (70,7) [c.390]

При выводе уравнений звуковой волны в 64 предполагалось, что волна распространяется в однородной среде. В частности, плотность среды ро и скорость звука в ней с рассматривались как постоянные величины. Имея в виду получить некоторые общие соотношения, применимые и в общем случае произвольной неоднородной среды, выведем предварительно уравнение распространения звука в такой среде. [c.410]

При изучении звуковых волн в 64 амплитуда колебаний в волне предполагалась малой. В результате уравнения движения оказывались линейными и могли быть легко решены. Решением этих уравнений является, в частности, функция от X t (плоская волна), что соответствует бегущей волне с профилем, перемеш,ающимся со скоростью с без изменения своей формы (под профилем волны понимают распределение различных величин — плотности, скорости и т.п. — вдоль направления ее распространения). Поскольку скорость v, плотность р и давление р (как и другие величины) в такой волне являются функциями от одной и той же комбинации л t, то они могут быть выражены как функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координаты, ни времени (например, р — = р(р), d = у(р) и т. д.). [c.526]

Уравнение (123,1) формально совпадает с двухмерным волновым уравнением, причем x/v играет роль времени, а v / — роль скорости распространения волн. Это обстоятельство не случайно и имеет глубокий физический смысл, так как движение газа вдали от тела представляет собой, как уже указано, именно излучаемые телом расходящиеся звуковые волны. Если представить себе газ на бесконечности покоящимся, а тело движущимся, то площадь поперечного сечения тела в заданном месте пространства будет меняться со временем, причем расстояние, до которого к моменту t распространятся возмущения (т. е. расстояние до конуса Маха), будет расти как таким образом, мы будем иметь дело с двухмерным излучением звука (распространяющегося со скоростью t>i/P) пульсирующим контуром. [c.643]

Рассмотрим распространение звука в среде с релятивистским уравнением состояния (т. е. в котором давление сравнимо с плотностью внутренней энергии, включающей в себя энергию покоя). Гидродинамические уравнения звуковых волн могут быть линеаризованы при этом удобнее исходить непосредственно из записи уравнений движения в исходном виде (134,1), а не из эквивалентных им уравнений (134,8—9). Подставив выражения (133,3) компонент тензора энергии-импульса и сохранив везде лишь величины первого порядка малости по амплитуде волны, получим систему уравнений [c.697]

Применим уравнения гидродинамики гелия II к распространению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются малыми, а плотность, давление, энтропия — почти равными своим постоянным равновесным значениям. Тогда систему гидродинамических уравнений можно линеаризовать — в (139,12—14) пренебрегаем квадра- [c.722]

Если пренебречь в уравнениях движения всеми членами, содержащими малые коэффициенты fi и С, то они сведутся к уравнениям движения обычной жидкости с уравнением состояния р — = Ар, т. е. с сжимаемостью (Эр /др ) = А. Соответствующие этому случаю колебания представляют собой обычные звуковые волны — продольные волны сжатия и расширения среды. Скорость их распространения [c.242]

При распространении звука в атмосфере на значительные расстояния существенную роль играет поглощение звука — часть энергии звуковой волны превращается в тепло. Эти потери энергии пропорциональны полной энергии волны, т. е. на каждой единице длины пути распространения рассеивается одна и та же относительная доля всей энергии волны. Вследствие этого амплитуда звуковой волны по мере распространения убывает по показательному закону, и уравнение (19.20) принимает вид [c.729]

Пример. Вывести уравнение распространения плоской звуковой волны в находящемся в критическом состоянии веществе. [c.263]

Решение этого уравнения представляет собой сложную задачу. Однако из уравнения видно, что распространение звуковой волны в окрестностях критической точки будет определяться только двумя физическими величинами, а именно р и д Р/Рр )з- [c.263]

Соотношения (13.23), (13.24) представляют собой уравнения скорости распространения звуковой волны в рабоче.м потоке. [c.14]

Из этих уравнений следуют уравнения одномерной акустики, которые описывают распространение плоских звуковых волн. Если принять, что звуковые волны приводят к малым возмущениям скорости и давления, которые обозначим через и и р соответственно, то, проводя линеаризацию уравнений (2.4) и (2.5), получим систему уравнений одномерной акустики [c.33]

Звуковые колебания в газах. Для того чтобы проиллюстрировать изложенные методы, рассмотрим задачу о продольных колебаниях газа. Эти колебания образуют так называемое звуковое поле, и уравнение, которое мы получим, будет волновым уравнением распространения звуковой волны. Перемещение частиц газа будем характеризовать вектором ц с составляющими Ti,(i = 1, 2, 3). Следовательно, каждая точка х, у, г будет характеризоваться тремя относящимися к ней обобщенными координатами. Колебания газа мы будем считать малыми и поэтому давление Р и плотность (х будем считать мало отличающимися от их равновесных значений Pq и цо. [c.385]

Экспериментально установлено, что процесс распространения звуковой волны близок к изоэнтропному. В общем случае скорость распространения волны возмущения в потоке описывается уравнением [c.73]

В том случае, когда степень неоднородности двухфазной смеси (размер частиц дисперсной фазы и расстояние между частицами) меньше длины волны возмущения, по отношению к волне среда ведет себя как непрерывная. При этом для определения скорости звука можно воспользоваться уравнением Лапласа = (Эр/0p)j. При распространении акустических волн в однофазной среде имеет место явление дисперсии, проявляющееся в зависимости скорости звука от частоты звуковой волны. Зависимость эта молекулярной природы. Говоря о дисперсии скорости звука в двухфазной среде, можно отметить, по крайней мере, две формы ее проявления. Первая характерна для двухфазной среды в целом и связана с тремя происходящими в ней релаксационными явлениями с процессом массообмена между фазами - фазовым переходом, процессом теплообмена - выравниванием температур между фазами и процессом обмена количеством движения — выравниванием скоростей между фазами. Даже в случае равновесной двухфазной среды при распространении в ней звуковой волны равновесие между фазами нарушается и в ней протекают релаксационные процессы. Вторая форма возникает из-за дисперсии звука в среде-носителе и природа ее та же, что дисперсии в однофазной жидкости. Для нее характерна область высоких частот, когда длительность существования молекулярных ансамблей в жидкости или в газе соизмерима с периодом звуковой волны. [c.32]

Вычислим скорость распространения звука в жидкости с пузырьками газа. Ввиду того, что плотность смеси велика, а упругость обеспечивается упругостью воздушных пузырьков, скорость распространения звука в смеси должна быть низкой. Тогда, если и при распространении звуковой волны в смеси происходит идеальный теплообмен, то можно считать температуру практически постоянной. В этом случае давление и плотность смеси связаны уравнением (8.14). Если же при распространении звуковой волны теплообмен между пузырьками газа и жидкостью не успевает произойти, то для газа в пузырьках справедливо уравнение изо- [c.204]

Процесс распространения звуковых волн можно с достаточной точностью считать изоэнтропийным. Тогда из уравнения изоэнтропы [c.56]

Аналогичное дифференциальное уравнение, описывающее распространение плоских звуковых волн при наличии внутреннего трения, было впервые получено Стоксом. [c.301]

Отличие сферического распространения волн от плоского можно просто показать на примере задачи о распространении сферической звуковой волны. Составим уравнения возмущенного движения в сферических координатах, поместив начало координат в центр возмущений (точечный источник звука). Точные уравнения будут состоять из уравнения движения, совпадающего с соответствующим уравнением в плоском случае (первое уравнение системы (54) гл. III), если только в нем заменить х на радиус-вектор г точки относительно источника возмущений, а под и понимать радиальную скорость газа. [c.135]

Здесь и — скорость фронта ударной волны, а величина [ ф]= = (+) — (-) есть скачок соответствующей переменной при переходе через фронт волны, причем знак минус относится к значению переменной непосредственно вверх по потоку -за фронтом, а знак плюс —к значению непосредственно перед фронтом волны. Эти соотношения связывают значения переменных, определяющих поле напряжений и деформаций, перед ударной волной с их значениями за ударной волной и со скоростью распространения разрыва. Они должны быть дополнены еще одним соотношением, которое в рассматриваемой задаче определяет изменение свойств поля вдоль характеристики на плоскости t, X. Эта характеристика соответствует траектории звуковой волны, распространяющейся в положительном направлении вдоль оси X, так что это дополнительное уравнение отражает влияние нелинейности свойств материала на ударную волну. Уравнение характеристики выводится из системы основных дифференциальных уравнений (8), (9) и может быть записано в следующей дифференциальной форме [c.156]

Чтобы установить характер изменения формы волны, которое должно иметь место при распространении звуковых волн в действительных средах, на.м нужно обратиться к точным уравнениям движения. Следуя порядку расчета 59, имеем [c.226]

Как показано в гл. 1, распространение плоской звуковой волны в недиспергирующей среде с квадратичной нелинейностью описывается уравнением Бюргерса (см. (1.9) гл. 1) [c.33]

Волновое уравнение для звукового поля, создаваемого сферой, совершающей пульсационные колебания, одинаковые по всей поверхности, можно получить из волнового уравнения, записанного в сферических координатах, предположив, что производные по полярному и азимутальному углам равны нулю, т. е. полную симметрию относительно центра. Однако представляет интерес вывести для этого случая уравнение распространения волн независимо, поскольку при этом выводе выявляются существенные особенности звукового поля. [c.57]

Скорость распространения ударной волны не зависит от рода движения той среды, в которой распространяется волна. Как известно, подобное же заключение может быть сделано и по поводу звуковой волны на основании формулы Гюгонио. Выражение для скорости распространения волны второго порядка может быть получено как следствие уравнения (12), если считать, что Ар и Аг стремятся к нулю. В этом случае получим [c.329]

Мы переходим теперь к общему случаю распространения звуковых волн. Как и прежде, мы будем пренебрегать малыми величинами второго порядка, так что уравнение движения, как в 285, будет иметь вид [c.615]

Сделаем теперь несколько замечаний о влиянии вязкости на звуковые волны. Чтобы быть последовательным, необходимо при нять также одновременно во внимание и теплопроводность, влияние которой выражается величинами того же порядка ) однако сначала мы по примеру Стокса исследуем влияние одной только вязкости, В случае плоских волн в неограниченной в поперечном направлении среде будем иметь на основании уравнений (2), (3) 328, предполагая, что ось X имеет направление распространения волн, и пренебрегая членами второго порядка в выражении для скорости, [c.814]

Наконец, несколько слов об области применимости полученной формулы. К этому вопросу можно подойти следующим образом. Амплитуда колебаний газовых частиц в излучаемых телом звуковых волнах — порядка величины толщины тела, которую мы обозначим посредством S. Скорость же колебаний — соответственно порядка величины отношения St i// амплитуды б к периоду волны //О]. Но линейное приблил< ение для распространения звуковых волн (т. е. линеаризованное уравнение для потенциала) во всяком случае требует малости скорости движения газа в волне по сравнению со скоростью звука, т. е. должно быть i/p Vib/l, или, что фактически то же [c.646]

Воспользуемся указанной в 123 звуковой аналогией трёхмерная задача о стационарном обтекании тонкого тела с переменным сечением S x) эквивалентна нестационарной двухмерной задаче об излучении звуковых волн коитуром, площадь которого меняется со временем по закону S(ji ) роль скорости звука играет при этом величина ui(M —1) нли при больших М просто l. Подчеркнем, что единственное условие, обеспечивающее эквивалентность обеих задач, заключается в малости отношения 8/1, что дает возможность рассматривать небольшие вдоль длины тела кольцевые участки его поверхности как цилиндрические. При больших Мь однако, скорость распространения излучаемых волн сравнима по величине со скоростью частиц газа в них (ср. конец 123), и потому задача должна решаться на основе точных, нелинеаризованных уравнений. [c.658]

В обычных жидкостях (а также в нематических жидких кристаллах) существует лишь одна ветвь слабозатухающих звуковых колебаний — продольные звуковые волны. В твердых криста ллах и аморфных твердых телах существуют три звуковые (акустические) ветви линейного закона дисперсии колебаний ( 22, 23). Одномерные кристаллы — смектйки — и здесь занимают промежуточное положение в них имеются две акустические ветви Р. G. de Gennes, 1969), Не интересуясь здесь коэффициентами затухания этих волн, и имея в виду лишь определение скоростей их распространения, пренебрежем в уравнениях движения всеми диссипативными членами. Полная система линеаризованных уравнений движения складывается из уравнения непрерывности [c.241]

В области, прилегающей к центру разрушения, момент разрушения t = tA—Axlao- -ti- -t2, где ti и — время разгрузки при действии одной волны разгрузки и последующем их совместном действии Ах— расстояние от центра области разрушения йо — скорость распространения звуковой волны. В этом случае изменение нагрузки в материале во времени определяется уравнением [c.235]

В случае когда возмущение параметров, определяющих процесс течения, невелики и длительность возмущений значительно превосходит время распространения звуковой волны по длине пучка, уравнения газовой динамики (1.38), (1.39) можно записать в квазистационарном приближении, используя вместо уравнения неразрьшности (1.39) соотношение для расхода теплоносителя вида [8, 28] [c.134]

Для расчета скорости звука в газах это уравнение впервые было применено в 1687 г. Ньютоном. Для того чтобы воспользоваться уравнением (8-21), нужно знать, как происходит процесс распространения звуковых волн, т. е. для каких условий следует вычислять производную dpidp. [c.275]

Предположим, что изменение плотности, сопровождающее распространение звуковой волны, происходит нзэнтропически. Если использовать уравнение (1-17) так, как показано в примере 1-1, то получается выражение dpldp = k plp). Подставляя это соотношение в (1-10а), имеем [c.30]

Математически задача расчета ВРМБ в усиливающей среде значительно сложнее, так как при этом добавляется уравнение описывающее возникновение и распространение волн давления (звуковых волн). [c.210]

Уравнение Бюргерса - одно из основных в нелинейной акустике, как и вообще одно из наиболее изученных зволюционных уравнений теории нелинейных волн [Уизем, 1977]. Оно описывает распространение интенсивной звуковой волны с учетом влияния малых, но конечных нелинейности и диссипации. Их относительная роль характеризуется безразмерным параметром [c.10]

Величина Со, фигурирующая в волновом уравнении (П.37) и его решении (П.41) или (11.42), представляет собой скорость распространения волн упругой деформации, в данном случае волн сжатия (разрежения). Процесс распространения таких волн и составляет собственно понятие звук (или ультразвук), поэтому с,, есгь скорость звука ультразвука). Ее величина определяется по формуле (П.34) Со = V(Я /ро). являющейся точной только для бесконечно малых возмущений (звуковых волн бесконечно малой амплитуды). Учет нелинейности упругости для реальных волн конечной амплитуды приводит к поправке на величину скорости, однако, как мы увидим ниже, эта поправка невелика, так что скорость звука практически сохраняет постоянное значение в довольно бол1>шом диапазоне амплитуд, что подтверждается и прямыми экспериментами [9, 10]. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...