Контур Келдыша-Швингера

По аналогии с одночастичной функцией Грина (6.3.17), функции Грина более высоких порядков на контуре Келдыша-Швингера определяются как [c.45]

Прежде всего введем правило интегрирования функций вдоль контура Келдыша-Швингера [c.45]

Тогда уравнение (6.3.16) можно записать как уравнение движения для оператора поля, заданного на контуре Келдыша-Швингера [c.45]

ЧТО фактически требуется найти подходящее приближение для двухчастичной функции Грина G(12,1 2 ), заданной на контуре Келдыша-Швингера. В настоящее время разработаны различные методы, позволяющие приближенно выразить G(12,1 2 ) через В частности, для временных функций Грина существует диаграммная техника, впервые сформулированная Келдышем [19] ). Другой широко применяемый способ состоит в расцеплении цепочки уравнений Мартина-Швингера [49, 95]. Мы не будем углубляться в технические детали этих методов, а лишь кратко остановимся на типичных приближениях для двухчастичной функции Грина. [c.55]

Отметим, что Т-матрица задана на контуре Келдыша-Швингера С и, следовательно, имеет несколько компонент. Она удовлетворяет уравнению [49] [c.55]

Ключевым моментом в методе функций Грина является то, что одночастичная функция G(l,l ) удовлетворяет уравнению Дайсона на контуре Келдыша-Швингера С. В большинстве практических приложений вопрос о существовании уравнения Дайсона просто не рассматривается. Между тем, это совсем не тривиальный факт. Дело в том, что мы можем записать уравнения движения для G(l,l ) в форме уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) только тогда, когда на контуре С существует единственная обратная функция G (l,l ). В диаграммной технике [19, 54, 55] вывод уравнения Дайсона основан на теореме Вика, с помощью которой каждый член ряда теории возмущений для G(l, 1 ) выражается через произведение свободных гриновских функций. [c.58]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Введем теперь матричные функции Грина операторов (6.4.9). Будем называть их смешанными функциями Грина так как они совпадают с временными функциями на контуре Келдыша-Швингера и с термодинамическими функциями на участке С . Одночастичная гриновская функция на контуре С определяется как [c.65]

Как и в обычном методе временных функций Грина, уравнение Дайсона можно формально получить из уравнения движения для G(l,l ). Явный вид уравнений движения зависит от гамильтониана взаимодействия Я и корреляционной части оператора энтропии S. Для определенности будем считать, что Н описывает парное взаимодействие между частицами и дается вторым членом в формуле (6.3.15), а S возьмем в виде (6.4.5). Тогда на контуре Келдыша-Швингера операторы поля частиц удовлетворяют уравнениям (6.3.24) и (6.3.25). Аналогичные уравнения на участке записываются как [c.67]

Как и в параграфе 6.3, наибольший интерес представляют временные компоненты функции G(l,l ), так как они непосредственно связаны с одночастичной матрицей плотности. Предположим, что в (6.4.36) и (6.4.37) значения аргументов и соответствуют точкам на контуре Келдыша-Швингера С. Тогда, поскольку участок расположен дальше от начала контура , чем (7, получаем [c.69]

Напомним, что значения функций /С>(1,2) и (2,1 ) не зависят от того, какой из ветвей контура С соответствует временной аргумент 2 этих функций. Следовательно, согласно правилу интегрирования (6.3.20) вдоль контура Келдыша-Швингера, последний член в уравнении (6.4.47) равен нулю. Итак, мы видим, что термодинамическая компонента гриновской функции G(l,l ) удовлетворяет уравнению [c.71]

Здесь временной аргумент в (1) = (г , ) можно приписать к любой из двух ветвей контура Келдыша-Швингера С. Легко проверить, что в обоих случаях получается одно и то же уравнение. В матричных обозначениях оно записывается как [c.71]

Матрица Т(12,1 2 ) задана на контуре Келдыша-Швингера С, поэтому [c.74]

Указание. Воспользоваться соотношениями (6.3.31) между массовым оператором и двухчастичной гриновской функцией, а также явным выражением (6.3.23) для амплитуды взаимодействия на контуре Келдыша-Швингера. [c.89]

Итак, квантовомеханический пространственно-временной эволюционный подход позволил нам избавиться от устаревшей проблемы отбора решений и специальных правил обхода полюсов функций Грина. Сила этого подхода в том, что он приводит не к вычислению отклика среды на действие источника, а к решению начальной задачи (задачи Коши), для которой существуют теоремы о существовании и единственности решения. Фейнман в своем первоначальном подходе к построению диаграммной техники для функции Грина постулировал правила обхода ее полюсов. Эти правила оказались абсолютно правильными для задач квантовой теории поля, в которой рассматривается только рассеяние одной, двух (т.е. конечного числа) частиц друг на друге, а все бесконечное число степеней свободы утоплено в ненаблюдаемый в реальных переходах вакуум. Его роль проявляется только в виртуальных переходах и сводится к перенормировке параметров частиц (закона дисперсии, массы, заряда). При рассеянии частиц и волн в макроскопических системах такой подход оказывается недостаточным, поскольку при этом макроскопическое число частиц или волн оказывается в возбужденных ( над вакуумом ) состояниях. Использование правил отбора решений Фейнмана для таких задач в монографиях [41, 42] приводит к ошибочным результатам. В этом случае работают все четыре обхода двух полюсов, то есть четыре функции Грина, и необходимо использовать диаграммную технику Келдыша [39], полностью эквивалентную задаче Коши. Такая ситуация имеет место для любой классической задачи, связанной с нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением. Эти задачи эквивалентны квантовым (хороший пример - теория турбулентности [43]). Только для линейных задач с параметрической случайностью , т.е. для линейных уравнений со случайными коэффициентами, из четырех функций Грина остаются две - запаздывающая С и д опережающая. Мы увидим, что энергия рассеянных волн выражается через их произведение. При этом (3 отвечает за эволюцию поля на нижней ветви контура Швингера-Келдыша, а 0 - за эволюцию на верхней ветви (см. рис. 2). [c.67]

Как и в любой технике гриновских функций, одной из важных задач является вывод уравнения Дайсона для одночастичной временной функции Грина. Анализ уравнений движения показывает, однако, что ряды теории возмущений содержат все четыре функции (6.3.7) - (6.3.10) (см., например, [55]). Поэтому уравнение Дайсона, если оно существует, должно иметь матричную структуру. Элегантный подход к этой проблеме был намечен Швингером [152] и затем развит Келдышем [19]. Идея состоит в том, чтобы объединить функции (6.3.7) - (6.3.10) в одну матричную функцию Грина G(l,l ), определенную на контуре (7, который изображен на рис. 6.6. Этот контур идет вдоль оси времени от tQ до и возвращается в точку т. е. на второй ветви точка с меньшим значением времени расположена дальше от начала контура, чем точка с большим значением времени. Значение на контуре С берется таким, чтобы оно превышало значения всех временных аргументов в функциях Грина и корреляционных функциях ). Введем теперь упорядочение операторов вдоль контура Келдыша-Швингера. На ветви оно совпадает с хронологическим упорядочением а на ветви С — с антихронологическим упорядочением Т . Иными словами, при Т -упорядочении операторы с временными аргументами, лежащими на ветви (7 , всегда располагаются слева от операторов с аргументами на ветви С . [c.44]

Рис. 6.6. Контур Келдыша-Швингера С с нижней (хронологической) и верхней (антихронологической) ветвями и С

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...