Некоторые конформные отображения

Установим вид годографа скорости течения через решетку и свойства функции (V) (рис. 43). Прежде всего в силу аналитичности функции г = г У) область годографа скорости как область изменения переменной У (У) представляет собой некоторое конформное отображение области течения граница области годографа соответствует контуру профилей L и является геометрическим местом концов векторов скорости на профиле. В силу периодичности функции V (г) при однозначном определении функции W (г) область [c.114]

НЕКОТОРЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [c.106]

Как известно, конформное отображение характеризуется следующим свойством аналитической функции (7.183) если в области s рассмотреть два линейных элемента (прообразы), выходяш,ие из точки S под некоторым углом а друг к другу, то соответствуюш,ие им элементы (образы) в точке г области S будут составлять между собой такой же угол а, причем направление отсчета углов сохраняется. Напомним также, что угол поворота каждого элемента (образа) в точке г 1ю отношению к соответствующему элементу (прообразу) в точке С будет равен аргументу производной arg (J), а отношение длин соответствующих элементов будет равно модулю производной ш ( . [c.168]

Применение метода конформных отображений значительно расширяет возможности теоретического построения плоских потенциальных течений. Напомним кратко его математическую основу. Пусть = / (z) — аналитическая функция, определенная в области плоскости переменного г (рис. 7.15). Будем интерпретировать переменную С как комплексную координату точек плоскости С- Если 2 принимает все возможные значения в пределах области )j, то соответствующие значения С = / (z) образуют в плоскости S некоторую область Dj, которая является отображением области Di. Если, в частности, переменная z пробегает вдоль линии 1 , то соответствующие значения образуют линию /j. Областями Dz и Dj могут быть целые плоскости z и включающие бесконечно удаленную точку. [c.236]

Если область Dj рассматривать как область некоторого потенциального течения, то, осуществляя ее конформное отображение с помощью аналитической функции й = f (г), получим область Dj, которую можно рассматривать как область другого (отображенного) течения. При этом если комплексный потенциал в плоскости t известен — w (Q, то, производя замену переменных [c.238]

При изложении методов, применяемых в задачах тепломассообмена, даются необходимые сведения о решении алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений изложены основы метода конечных разностей. В прикладном плане приведены некоторые классические методы, такие как метод конформных отображений, операторный, разделения переменных, метод характеристик. Даны понятие об асимптотических методах, методе последовательных приближений, интегральных методах, а также некоторые точные решения задач тепломассообмена. [c.3]

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойствами сохранения углов по величине и направлению, постоянства растяжений малых окрестностей, называется конформным отображением. Из предыдущего следует, что отображение с помощью аналитической функции конформно во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Конформное преобразование есть преобразование подобия в малом, в том смысле, что оно сохраняет форму отображаемой малой фигуры. Так, с указанной точностью малый круг переходит в малый круг, а малый треугольник AB перейдет в малый треугольник А В С- (рис. 5.4), у которого соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. При практическом использовании конформных отображений наиболее употребительна задача отыскания функции, реализующей конформное отображение заданной области D на заданную область А. При этом возникают, естественно, вопросы, связанные с существованием отображения, его единственностью. Приведем некоторые результаты, дающие ответ на поставленные вопросы (предполагается, что читатель из курса математического анализа знаком с понятиями области, границы области, односвязной области). [c.185]

Для решения уравнения (1.24) воспользуемся конформным отображением области О на внешность круга некоторого радиуса р, выбранного таким образом, чтобы отображающая функция имела вид ) [c.367]

Выше в 1 было показано, что при решении задач кручения п изгиба, сводящихся к гармоническим проблемам, применение аппарата конформных отображений сразу же позволяет в принципе получить решение в форме некоторого интеграла (интеграла Шварца), причем, если отображающая функция — рациональная, то решение строится в явном виде. При рассмотрении же плоской задачи и задачи изгиба пластин, сводящихся к би-гармонической проблеме, дело обстоит гораздо сложнее. Применение конформных отображений позволяет получить эффективные результаты лишь в случае, когда отображающая функция является дробно-рациональной. Ограничимся для простоты случаем, когда отображающая функция — рациональная. [c.386]

Такой выбор функции P Q) диктуется конформным отображением линии трещины сначала на прямолинейный разрез, который в свою очередь отображается на единичный круг. Отображение одного первого наклонного звена трещины при переходе к разрезу, совпадающему с некоторой новой осью s, дает х = s os ао. Отображение берегов этого разреза на единичный круг по формуле Жуковского приводит к соотношению s = L os 0. Отсюда следует первая строка формулы (24.21). [c.206]

Иногда для решения этих краевых задач теории функций комплексного переменного, поставленных для некоторой известной области Ж, ограниченной контуром С в плоскости г = X -(- гр, удобно пользоваться заменой переменных, связанной с конформным отображением = / (г) области Ж на некоторую простую вспомогательную область Ж в плоскости 5 4- 111 и получать [c.500]

В рассматриваемых ниже задачах выемки угля в пласте будем считать ограниченными прямыми линиями, а скважины, которые в нем пробуриваются,—проходящими через всю толщу пласта (таким образом, имеются в виду тонкие пласты). При этих условиях в задачах об установившихся движениях газа может быть использован метод конформных отображений. В конце статьи рассматриваются некоторые неустановившиеся движения. [c.255]

Из сказанного выше следует, что в некоторых случаях, особенно для лопаток большой радиальной протяженности, использование в радиальных колесах гидротрансформаторов профилей осевых решеток нецелесообразно, так как условия течения жидкости в плоской и радиальной решетках различны. Это различие может привести к неблагоприятному перераспределению скоростей на обводах профиля и, как следствие, к увеличению потерь. При помощи конформного отображения можно по известным координатам профиля прямой решетки построить соответствующий ему профиль радиальной решетки. [c.65]

Применение конформных отображений области течения позволяет упростить вычисление комплексного потенциала и, в частности, свести расчет периодического течения через решетку к расчету течения в односвязной области. При последовательном применении метода прямая задача сводится к нахождению конформного отображения внешности заданной решетки на особенно простую (каноническую) область, после чего определение комплексного потенциала производится по простым конечным формулам при любых условиях обтекания. В расчете используется тот факт, что при любом конформном отображении внешности решетки из плоскости д на некоторую вспомогательную область в плоскости Z — Z(z) комплексные потенциалы в соответствующих точках равны (с точностью до несущественной постоянной), а комплексная скорость выражается как производная сложной функции [c.65]

Во всех рассмотренных примерах решетки строились по годографам некоторых специальных теоретических форм, комплексный потенциал в которых находится или непосредственно, или в результате несложных конформных отображений. [c.123]

Далее, необходимо найти конформное отображение кольцеобразной области на кольцо в плоскости -гю (см. рис. 40). Это отображение при заданном годографе ско-< рости произвольной формы получается при помоши численных методов или с применением электрического моделирования. Ввиду практических трудностей численного отображения возможно также проведение указанных выше преобразований в обратном порядке, т. е. построение теоретических годографов некоторых специальных форм. В качестве простейшего способа построения теоретических годографов двухрядных решеток можно указать следующий. Путем дробно-линейного преобразования кольцо из плоскости w переводится в эксцентричное кольцо в плоскости С, из которого затем преобразованием типа Жуковского может быть получен теоретический годограф. Наличие свободных параметров, которыми можно распорядиться для вариации формы годографа и удовлетворения указанных выше условий положения критических точек и замкнутости профилей решетки, обеспечено возможностью выбора эксцентриситета кольца в плоскости С, положения в нем точек -5 = 1, w и а также величины циркуляции Г. Теоретические годографы общего вида можно получить, задавая коэффициенты разложения отображающей функции [c.141]

Важно отметить, что при рассмотренном конформном отображении точки 2 = соответствующие бесконечностям перед и за решеткой деформированных профилей, вообще говоря, тоже смещаются в некоторые новые точки полосы последнего отображения. Новые координаты этих точек выражаются формулами (17.14), под интегралами которых в том же приближении надо положить = 1 [c.180]

Иначе можно обеспечить замкнутость вспомогательного течения (в некоторой плоскости С ) путем такого конформного отображения области годографа У = У (У), чтобы в новой области У удовлетворялись условия (25.4) и (25.8). Тогда область У можно принять за область годографа скорости нового вспомогательного течения (в плоскости С,), которое уже не будет иметь никаких особенно- [c.209]

Напомним основные факты из теории конформных отображений многосвязных областей [46] а) всякую п-связную область, включающую бесконечную удаленную точку, всегда можно конформно отобразить на внешнем виде некоторых /г разрезов, параллельных действительной оси, с соответствием бесконечно удаленных точек б) при п > 3 это отображение единственное, если задать поведение отображающей функции на бесконечности при [c.50]

Трехмерные задачи подобного типа довольно сложны. Если их можно упростить и привести к двумерным, то становится полезным метод конформного отображения, оказавшийся весьма плодотворным в других областях науки. В наших исследованиях этот метод применим к трем типам задач. Во-первых, он позволяет получить точные решения простых задач, например задач, изложенных в пунктах 1 и 2 во-вторых, он дает приближенные решения некоторых задач типа 3 в том смысле, что он дает точные значения для решеток овальных кривых, которые имеют почти (но не совсем) круглую форму наконец, его можно использовать для исследования некоторых областей простого типа, которые очень часто встречаются на практике, например стенки, изогнутой под прямым углом, стенки переменной толщины, изолирующего кольца и т. д. [c.424]

Для течения с ограниченной в бесконечности скоростью можно доказать при некоторых дополнительных предположениях, что поставленная задача имеет единственное решение, а искомый комплексный потенциал реализует взаимно однозначное конформное отображение области D на полосу 0< ф<В с соответствием бесконечно удаленных точек йу( оо) == 00. [c.305]

При решении плоских задач о последовательном образовании отверстий, форма которых задана в момент образования, возникает проблема нахождения функций, осуществляющих конформное отображение единичной окружности на деформированные контуры отверстий после каждого этапа деформации (далее для краткости эти функции называются просто отображающими функциями). Функция, осуществляющая конформное отображение единичной окружности на контур некоторого отверстия в момент его образования, задается для каждого отверстия в качестве исходных данных перед началом расчета. Функции, осуществляющие конформное отображение единичной окружности на контур этого же отверстия в моменты образования следующих отверстий (т.е. в более поздних состояниях), подлежат определению. Определение отображающих функций при решении задач о последовательном образовании отверстий требуется в начале каждого нечетного шага алгоритма, рассмотренного в 3.4, кроме первого, т.е. каждый раз, когда решается задача в координатах нового состояния. [c.97]

Эти равенства выясняют очень интересную взаимную связь между отношением амплитуды отражённой и падающей волны д и величиной С, называемой безразмерным импедансом, и равной отношению поперечного импеданса, вызывающего отражение, и волнового сопротивления струны, определяемого формулой (10.3). Соотношения между комплексными величинами, выраженные уравнениями (13.3), могут быть представлены графически при помощи некоторого конформного отображения на плоскости комплексного переменного, посредством которого легко можно получать приближённые значения величин ц по значениям С, и наоборот. Например, прямая линия а = —0,5 (фиг. 27) ьа плоскости д является прямой, параллельной оси Ь, и расположена на расстоянии 0,5 единицы масштаба влево от начала координат. На плоскости же С она отображается окружностью радиусом в 2 единицы с центром С = 2. Для частного Jlyчaя отображения, соответствующего уравнению [c.157]

Любое из этих уравнений должно решаться при определенных граничных условиях. Последние ввиду изломанности подземного контура напорных гидросооружений крайне осложняют определение потенциала скорости Ф или функции тока Ф в отличие от рассмотренных выше простых случаев потенциального движения. При этом для решения таких вопросов приходится прибегать к некоторому специальному математическому аппарату теории фу икций комплексного переменного, конформным отображениям и др. [c.323]

Конформные отображения. Пусть в плоскости комплексного переменного 2 задана некоторая область О, а в плоскости дру1ого комплексного переменного — область О. Если некоторая аналитическая однозначная в О функция 5 = (2) осуществляет отображение области О в область D, то говорят, что она реализует конформное отображение области О в область/). Обратное отображение будем обозначать 2 = ( ). Название конформное связано с тем, что любая окружность малого радиуса при отображении также переходит в окружность (с точностью до малых высшего порядка). Кроме того, во внутренних точках сохраняются углы между любыми двумя направлениями. [c.30]

При решении двумерных гармонических задач конформные отображения играют решающую роль, поскольку уравнение Лапласа инвариантно при конформном отображении. Под этим понимается следующее. Конформное отображение по существу есть запись в комплексной форме некоторой криволинейной системы координат в плоскости х, у (г = х- 1у), при которой в этой системе область О перейдет в область О. При такой замене переменных, продиктованной конформным отображением, само уравнение должно, вообще говоря, преобразоваться, однако при конформном отображении оно останется неизменным и в координатах и, V (w = u-j- v). Действительно, пусть н(г) гармонична в области О. Строим функцию /(г), действительной частью которой является функция и(г). Тогда сложная функция [[ ( )] аналитична в плоскости и поэтому Ке/[,д( )]== = КеК(5)= и( )= гармонична в О. Этим обстоятель- [c.31]

Как будет показано в дальнейшем, например в случае плоской задачи теории упругости и задачи изгиба пластин, аппарат конформных отображений является менее эффективным. Дело в том, что бигармоническое уравнение, к которому сводятся эти задачи, уже не является инвариантным относительно конформного отображения и при замене переменных происходит существенное усложнение структуры уравнения. Однако в этом случае удается получить эффективные решения, когда отображающая функция имеет вид полинома или дробно-рациональной функции. Это связано со следующим свойством интеграла типа Кощи, взятого по окружности (аналогично рассматривается и случай полуплоскости). Пусть /(т) — функция, заданная на некотором контуре и являющаяся краевым значением аналитиче- [c.31]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Если имеем флютбет со шпунтами, то решение принимает более сложный вид, так как наличие каждого шпунта увеличивает число углов области движения на три и, следовательно, вводит три параметра — аффиксы новых вершин на плоскости Определение этих параметров является весьма трудным. Иногда производят серию вычислений, задаваясь значениями параметров и по ним определяя длины отрезков, ограничивающих область движения. Расчетом многошпунтовых схем занимался В. С. Козлов [14—17]. Еще более сложные схемы рассматривал Б. И. Сегал [18, 19]. Он применял приближенный прием конформного отображения такого рода сначала из области движения выпускается один или несколько отрезков и остающийся более простой многоугольник отображается на вспомогательную полуплоскость. При этом выброшенные отрезки отображаются в некоторые криволинейные контуры. Если эти контуры близки к прямолинейным, то они заменяются отрезками прямых и производится дальнейшее отображение на окончательную полуплоскость [c.277]

Преобразование плоскости, осуществляемое аналитической функцией w == =f z), обладает свойством, что в окрестности точки 2, для которой w z O, бесконечно малые векторы всех направлений )) увеличиваются (или уменьшаются) по своей длине в одно и то же число раз, равное w (с точностью до бесконечно малых высшего порядка), и 2) поворачиваются на один и тот же угол, равный arg w. Фигуры в бесконечно малой оэласти преобразуются в себе подобные, т. е. сохраняют форму, поэтому преобразование называется конформным, оно является обобщением преобразования подобия. Конформное отображение сохраняет постоянными углы между любыми двумя линиями отображаемой фигуры в частности, координатные линии л = onst, у — = onst преобразуются в два семейства взаимно-ортогональных кривых, и обратно для любого конформного отображения существует некоторая ортогональная сетка кривых изотермическая сетка), которая преобразуется в декартову прямоугольную сетку. [c.201]

Как известно, любая аналитическая функция комплексного переменного удовлетворяет уравнению Лапласа, (2-6-1), поэтому в основе метода конформных отображений лежит сведение заданной сложной oблa tи с помощью некоторой аналитической функции к простейшей области (например, полуплоскости), для которой решение получить нетрудно. При этом уравнение Лапласа (2-6-1) и граничные условия сохраняют свой вид. Поэтому, если в полученной простейшей области мы подберем аналитическую функцию, удовлетворяющую рассматриваемым граничным условиям, задача считается решенной. [c.123]

Доклады, помещенные в первых двух частях, посвящены аналитическим и численным методам решения задач тепло- и массообмена. В нескольких из них рассмотрены отдельные математические проблемы теории, в частности вопросы разрешимости краевых задач теплЬ- и массообмена, единственности их решения, теории интегральных преобразований и т. д. Вопросы, представляющие интерес для развития и расширения математического аппарата теории, затронуты и в ряде других докладов, в которых рассматриваются конкретные процессы и явления в физических системах (применение дуальных интегральных уравнений, асимптотические методы решения некоторых сингулярных интегральных уравнений, вариационные методы, метод конформных отображений,. математическая теория регулярного теплового режима и т. п.). [c.3]

Рассмотрим конформное отображение внешности решетки недефор-мированных профилей Ь из плоскости г на каноническую область Л в плоскости Z. При этом деформированным профилям L соответствует некоторая деформированная область Л. Если профиль испытывает малую деформацию Дп (измеряемую по внешней нормали в области течения), то с точностью до малых высшего порядка граница области Л может быть построена с помощью соотношения [c.179]

В целях сравнения различных способов решения поставленной задачи мы будем искать, наоборот, конформное отображение одного и того же неоднолистного фиктивного течения, соответствующего некоторому течению газа, на внешности обычных решеток (с замкнутыми профилями), обтекаемых несжимаемой жидкостью на вспомогательных плоскостях ). [c.207]

Пусть поток жидкости движется над уступом слева направо, имея на бесконечности единичную скорость. Найдем функцию F Z), осуществляющую конформное отображение треугольника САВС на верхнюю полуплоскость, потребовав, чтобы точка A Z = i) переходила в начало координат (F = 0), чтобы бесконечно удаленная точка Z = оо переходила в точку F = оо и, наконец, чтобы при Z = оо было dFldZ = 1. Последнее условие введено для упрощения вида функции Фо( о. о) в данном случае Ч о(ио. о) = Действительно, если функцию F Z) рассматривать как комплексный потенциал некоторого течения, то на контуре САВС ImF = Уо = 0. а сопряженная скорость V = dF/dZ = 1 [c.165]

Обозначим ширину углубления через 2а, а его глубину через В. Потребуем сначала, чтобы при конформном отображении треугольника ЕС В СЕ (рис. 6.5) на верхнюю полуплоскость ImPiiZ) О точка В переходила в 1, в — 1 и бесконечно удаленная точка в себя. Тогда в силу принципа симметрии точка А перейдет в начало координат, а точки С и С в некоторые симметричные точки X и — к. Используя формулу Кристоффеля — Шварца, получим [c.167]

Как было отмечено, каждое неособенное отображение порождает некоторую систему координат. Наибольший ин- терес представляют ортогональные криволинейные координаты и соответствующие им отображения. Многие употре- -бительные сйстемы координат порождены конформными отображениями. [c.68]

МЕТОД СКЛЕЙКИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ. В теории конформных отображений установлен ряд вариационных принципов, позволяющих рценить влияние вариации некоторого участка границы на геометрические параметры отображения. Используя гидродинамическую трактовку соответствующих результатов, можно сформулировать принцип локального влияния формы границы изменение формы отдельного участка границы вызывает возмущение потока лишь в некоторой окрестности этого [c.312]

Одним из затруднений, которые представляет теоретическое исследование образования подъемной силы у профилей крыльев произвольной формы, является то обстоятельство, что выполнить практически конформное отображение внега-ней части некоторого контура на внеганюю часть окружности или на полуплоскость, как этого требуют формулы Чаплыгина-Blasius a, за крайне редкими исключениями, мы не умеем. [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...