Координаты эллипсоидальные

Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118]

Перейдем к рассмотрению эллипсоидальных координат р, р, V, которые связаны с декартовыми координатами соотношениями [c.121]

Покажем, что уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах [c.121]

Эта система координат является частным случаем эллипсоидальных координат, для которых из трех осей главного эллипсоида две меньшие равны между собой. [c.587]

Координаты сплюснутого сфероида являются частным случаем эллипсоидальных координат, для которых две наибольшие осй из трех осей образуюш,его эллипсоида равны. [c.590]

Используем [149] эллипсоидальные координаты (а , 2. а), причем в дальнейшем предполагаем строгую упорядоченность полуосей от большей к меньшей (рис. 43) [c.175]

При помощи формул (578), (584) и (586) можно получить следующие представления компонент тензора напряжения в эллипсоидальной системе координат. [c.177]

Было принято также, что волокна в поперечном сечении являются эллипсоидальными, а ось 1ц ортогональной системы координат расположена вдоль большой оси эллипса. [c.262]

Поле напряжений в окрестности эллипсоидального включения. Пусть безграничное тело находится в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Положение каждой точки этого тела определяется декартовыми координатами j , у или одной комплексной координатой 2 = J + iy. Пусть это тело содержит упругое включение эллиптической формы, так что граница раздела различных упругих сред описывается уравнением [c.111]

Найти компоненты тензора проводимости в системе координат, в которой оси расположены вдоль направлений (100). Вдоль тех же направлений [111], [111], [111], [111] ориентированы эллипсоидальные зоны проводимости, причем минимумы энергии расположены на тех же направлениях (случай кристалла германия). Показать, что суммарная проводимость кристалла изотропна, несмотря на анизотропию, связанную с каждым отдельным эллипсоидом, при условии, что нет внешнего напряжения или других воздействий, которые могли бы нарушить эквивалентность четырех минимумов энергии. [c.80]

Желательно этому предпослать исследование о движении жидкости, находящейся в эллипсоидальном сосуде, которое впрочем может быть проведено в декартовых координатах. [c.183]

В случае эллипсоидальной полости значения коэфициентов в формуле (I) могут быть вычислены по 110. Мы найдем этим путем, если оси координат совпадают с главными осями эллипсоида, что [c.224]

Эллипсоидальные координаты. Уравнение [c.476]

Для гидродинамических приложений требуется найти выражение для оператора в эллипсоидальных координатах. В соответствии с п. 2.72 сначала необходимо вычислить коэффициенты Ламэ йг. Лз, где [c.477]

Приравнивая это выражение нулю, получаем уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах. Функции, являющиеся решениями этого уравнения, называются эллипсоидальными гармоническими функциями- [c.478]

Эллипсоидальные гармонические функции. Пользуясь обозначениями п. 16.50, можно записать уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах в форме [c.479]

Найти единственные решения уравнения Лапласа в эллипсоидальных координатах Я, ц, -V, которые не зависят от (х и V. [c.487]

Доказать, что если решение уравнения Лапласа в эллипсоидальных координатах 1, п, V имеет вид произведения 1-М-М, то тогда одно возможное значение I удовлетворяет уравнению вида [c.487]

Большая часть уравнений, приведенных в тексте, записана в прямоугольных, цилиндрических или сферических координатах. Заметное исключение составляют уравнения пограничного слоя, для вывода которых необходимо было использовать параллельные координаты, и решение обтекания эллипсоида, для которого были введены эллипсоидальные координаты. Унифицированная форма всех этих уравнений может быть дана в криволинейных ортогональных координатах. [c.376]

Экспериментально установлено, что вверх по течению от точки, в которой возникает каверна, распределение давления на носовой части тела с цилиндрической средней частью практически не меняется [68]. Эти эксперименты охватывали широкий диапазон форм носовой части тела — от остроконечных плоских до оживальных, эллипсоидальных и тел вращения, разрезанных пополам. Как и следовало ожидать, каверна возникает на носовой части тела, в точке, где отношение степени разрежения к скоростному напору равно измеряемому значению К для каверны данной длины. Эти соображения позволяют рассчитать увеличение сопротивления носовой части тела при наличии каверны по распределению давления, измеренному в случае, когда каверна отсутствует. На фиг. 5.10 приведены результаты, полученные в описанных измерениях. На ней представлено семейство оживал, включая полусферу Я=012. Кривая на фиг. 5.11 рассчитана по результатам измерений для полусферы. При этом была выбрана система координат, позволяющая представить распределение осевой составляющей силы сопротивления. Суммарная площадь под кривой, умноженная на 2я, равна коэффициенту сопротивления Св, определяемому соотношением [c.200]

Многослойная структура с полостью или упругим включением канонической формы. Рассмотрим случай, когда полость (упругое включение) целиком расположено в одном из элементов многослойной структуры и имеет границу, представляющую собой координатную поверхность в ортогональной криволинейной системе координат (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной). В этом случае при исследовании задачи о динамическом воздействии плоского жесткого штампа на поверхность пакета слоев или многослойного полупространства с полостью или включением целесообразно использовать принцип суперпозиции. Это позволяет точным образом свести краевую задачу динамической теории упругости к системе интегро-функциональных уравнений, при решении которой можно использовать, в зависимости от расположения неоднородности, различные методы анализа. [c.311]

Последующее введение эллипсоидальных координат позволило построить решения поставленных задач в замкнутом виде и получить компактные формулы, выражающие смещение штампа от силы, действующей на него, и электрического потенциала. [c.596]

Для того чтобы убедиться в симметричности этого конуса, необходимо уравнение (5.25) записать в локальной касательной ортогональной системе координат, связанной с точкой жо, Уо, о- Декартовы координаты связаны с эллипсоидальными , ц, и посредством соотношений [c.270]

Для аналитической формулировки фазовых условий приведем выражения для элементов длины различных линий в эллипсоидальных координатах. Квадрат элемента длины в произвольном случае имеет вид [c.274]

Соотношения (5.43) и (5.44) представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, определяющие траекторию материальной точки (или волнового пакета), т.е. луча в эллипсоидальной системе координат. Умножая (5.43) на т 1 и вычитая из него (5.44), получим [c.282]

В эллипсоидальных координатах 77, ( уравнение (5.47) имеет вид [c.284]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Для задачи о пространственной полости в форме вытянутого эллипсоида вращения, согласно рис. 9.13, применимы сфероидальные или эллипсоидальные координаты > [c.295]

Решение строится с помощью формул Папковича и Нейбера в эллипсоидальных координатах (9.55) при применении основных сфероидальных гармонических функций. Результаты при этом представляются в виде громоздких формул и получены лишь в численном виде. [c.296]

Строение внешних электронных оболочек атомов главных подгрупп полностью определяет кристаллическую структуру соответствующих элементов. Щелочные металлы, ато мы которых пои образовании кристалла вследствие низкого значения первого ионизационного потенциала легко теряют единственный слабо связанный валентный -электрон, образуют положительные однократно заряженные ионы с полностью заостренными р -подоболочками. Взаимодействие этих положительных ионов с электронным газом, образующимся из отделившихся х-электронов, обусловливает металлическую связь, сближающую ионы друг с другом. Орбитальное взаимодействие р -под-оболочек соседних ионов или, иначе говоря, перекрытие эллипсоидальных р-облаков своими внешними концами приводит вследствие ортогональности р-орбит, располагающихся по трем осям прямоугольных координат, к организации таких ионов в простую кубическую решетку. Внутри этого элементарного куба остается пространство, достаточное для размещения в нем еще одного иона, и таким образом, образует- [c.397]

Простым примером может служить задача о ньютоновых орбитах, т. е. задача о плоском движении частицы под действием притяжения к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Разделение переменных можно осуществить, воспользовавщись полярными координатами с началом в притягивающем центре ( 16.9). Тот же самый результат мы получаем, если используем параболические координаты. (См. 17.9, где рассмотрен случай движения в поле притяжения к центру с наложенным на него однородным полем. В этом случае, как мы видели, система допускает разделение переменных в параболических координатах. Ясно, что это свойство сохраняется и при отсутствии однородного поля.) Имеется еще и третья возможность разделения переменных — выбор конфокальных (эллипсоидальных) координат. В самом деле, чтобы получить задачу о ньютоновом притяжении к одному центру, достаточно в формулах 17.10 положить т = 0. [c.327]

Лиувиллевы системы на плоскости также классифицированы лиувиллевыми могут быть только эллипсоидальные, параболические, полярные и декартовы координаты. [c.190]

В работе [68] приведены системы координат, в которых для уравнения (3.2) можно получить уравнения (3.4) с разделенными переменными. Это прямоугольная, круговая цилиндрическая, сферическая, коническая, параболическая, эллиптическая цилиндрическая, параболическая цилиндрическая, вытянутая и сплющенная сфероидальные, эллипсоидальная и параболои-дальная координатные системы. [c.48]

Поликристаллы. Рассмотрим, например, однофазные поликристаллы, состоящие из разориентированных анизотропных пьезоактивных монокристаллов или зерен. Фрагмент реализации полидисперсной модели структуры поликристалла из эллипсоидальных зерен изображен на рис. 2.12, где — локальные или кристаллографические оси координат монокристалла. Все ориентации локальных осей в объеме V равновероятны, поэтому поликристалл будет характеризоваться изотропными тензорами упругих (С ), пьезомеханических (е ) и диэлектрических (Л ) свойств, коэффициентов температурных напряжений [ ) и вектора пироэлектрических постоянных (тг ). В силу изотропии имеем равенства е = О и тг = 0. [c.53]

Движение жидкой массы под действием взаимного притяжения ее частиц с меняющейся эллипсоидальной граничной поверхностью в первый раз было исследовано Дирихле ), Положив в основу метод Лагранжа, изложенный в 13, он подверг исследованию целый класс движений, при которых перемещения выражаются как линейные функции координат. Эти исследования на той же основе были продолжены Дедекиндом ) и Риманом ). Позднее Гринхилль ) и другие авторы показали, что некоторые части этой проблемы с большим успехом могут быть исследованы при помощи метода Эйлера. [c.906]

Система (5.45) представляет собой неявное уравнение прямой в эллипсоидальных координатах, которая касается поверхностей = onst и [c.282]

Растяжение круглого стержня, содержащего малую эллипсоидальную полость, исследовано К. В. Соляником-Красса (1958) с использованием эллипсоидальных координат. Н. А. Фореман (1958) решила задачу о концентрации напряжений в растянутом стержне круглого поперечного сечения в месте изменения толщины решение получено в форме определенных интегралов, которые затем вычисляются приближенно. [c.23]

Обобщеиные моды Гаусса-Лагерра. В [7] было показано, что в однородной среде с пожазателем преломления пд = onst существует важный класс световых пучков с волновыми фронтами в форме эллипсов вращения. Там же введена система вырожденных эллипсоидальных координат сжатого эллипсоида вращения [c.408]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...