Конечно-разностный алгоритм

Конечно-разностный алгоритм [c.88]

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ [c.91]

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ 97 [c.97]

Общая структура конечно-разностного алгоритма. Уравнения ме- [c.167]

Приведенный алгоритм последовательных приближений можно реализовать различными способами, в частности с помощью ЭВМ. Поскольку трудности численной реализации этого алгоритма, по-видимому, такого же порядка, как и конечно-разностного алгоритма, то основная цель настоящего подхода заключается в том, чтобы получить решение в виде алгебраических формул. С этой целью рассмотрим первое приближение. При решении сложных задач пространственного пограничного слоя метод последовательных приближений в его аналитическом варианте будет оправдан в том случае, если он дает решение, близкое к искомому, уже в первом приближении. [c.154]

Пятое правило. При получении конечно-разностных аналогов, выборе алгоритма и написании программ расчета на ЭВМ допускается использование только широко апробированных опубликованных рекомендаций. [c.200]

Изменение во времени разностей температур в характерных сечениях ротора турбины К-300-240 ЛМЗ, полученных экспериментально, приведено на рис. 1.12. Практически полное совпадение результатов получено при использовании трех последующих разностных и конечно-элементных алгоритмов и программ. [c.61]

Вычислительный алгоритм, описанный в работе [1], реализован в виде программы для ЭЦВМ, в основе которой лежит конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Он позволяет ио заданным Q и Н рассчитать частоту и и амплитуду перемещения А рабочего органа. Подачу Q определяют для ряда значений /4 и со и исходя из экономических или из конструктивных соображений выбирают оптимальные параметры Л и со. Программа позволяет определить характер зависимости подачи от Л, со и Я. [c.338]

В задачах устойчивости оболочек применение этих методов сдерживалось высоким порядком систем алгебраических уравнений, что обусловливается значительной изменяемостью функций, описывающих как исходное, так и нейтральное состояние. Возможности эффективного применения конечно-разностных методов появились в последние годы в связи с внедрением в практику исследований ЭВМ. Эти методы обладают несомненным достоинством по сравнению с другими методами. Они позволяют стандартным образом решать задачи устойчивости при различных граничных условиях, различных нагрузках, в том числе полосовых и локальных. При этом не возникает затруднений и с учетом действительного характера докритического состояния. Ниже дается изложение одного эффективного алгоритма решения задач конечно-разностным методом [6.13]. Этот алгоритм основан на представлении дифференциальных уравнений устойчивости в матричной форме и решении алгебраических разностных уравнений матричным методом исключения по Гауссу. Алгоритм приводит к простым рекуррентным зависимостям, позволяющим стандартно и с большой точностью решать широкий круг задач устойчивости оболочек при осесимметричной нагрузке. [c.88]

Конечно-разностная аппроксимация уравнений. Изложение алгоритма дадим применительно к следующей системе уравнений устойчивости оболочек [c.89]

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА [c.59]

Алгоритм численного решения уравнения вида (5.45) заключается в следующем [2]. Стандартным итерационно-интерполяционным методом исходное уравнение сводилось к системе алгебраических конечно-разностных уравнений с трехдиагональной матрицей. Затем полученная система уравнений разрешалась методом прогонки. Сечения упругих соударений, возбуждения и ионизации задавались таблично. [c.164]

Очень важно правильно выбрать значение параметра верхней релаксации ш. Очевидно, = 1 для обычного итерационного алгоритма без верхней релаксации. Ясно также, что выбор слишком большого значения параметра ш означал бы полное пренебрежение конечно-разностным методом. Для каждой задачи существует своя оптимальная величина ш, при которой итерации сходятся быстрее всего. Можно показать [116], что это оптимальное значение зависит только от конфигурации электродов и размера ячейки (обычно оно растет с уменьшением размера ячейки). Оно не зависит от начального приближения для потенциала и номера итерации к. Интересно, что существует теоретическая возможность определить точное значе- [c.153]

Вообще говоря, выбор между вариантами замены дифференциальных уравнений конечно-разностными зависимостями (с последующим решением системы линейных алгебраических уравнений) и замены производных в функционалах конечными разностями с применением затем методов поиска экстремума весьма зависит от того, на каких ЭЦВМ предполагается реализовать счет и какие отлаженные подпрограммы для решения систем линейных алгебраических уравнений и поиска экстремума имеются, каковы быстродействие и объем оперативной и внешней памяти машины. Здесь специфические вопросы решения линейных алгебраических систем и поиска экстремума не рассматриваются, хотя многие из этих методов имеют свои особенности из-за специфики, которую накладывает несжимаемость. Ограничимся приведением примеров, в которых применены отработанные алгоритмы. [c.196]

Оценка требуемой точности решения. Вообще говоря, чем выше порядок точности метода, тем более точным будет полученный результат. Это утверждение справедливо лишь до некоторой степени, так как конечно-разностные аналоги производных по мере повышения порядка аппроксимации ведут себя все хуже и хуже Поэтому погрешность метода при переходе от пятого порядка к более высоким порядкам точности (что к тому же связано и с дополнительными громоздкими вычислениями) практически не убывает. Поскольку обычно достигается некоторый компромисс между объемом и точностью вычислений, то следует уделять внимание как выбору порядка точности метода, так и выбору величины шага. Поэтому большое распространение получили алгоритмы, в которых автоматически изменяется шаг интегрирования или порядок точности применяемого метода. [c.96]

Л 300 МПа) они приводят к уменьшению прогиба на 15—20 %. Кроме того, деформирование внутренней оболочки начинается раньше, из-за увеличения скорости звука в нелинейной жидкости по сравнению с линейным случаем. Влияние нелинейной жидкости оказалось более существенным для внутренней оболочки, чем для внешней. Причем влияние нелинейности уравнений Тэта менее значительно для деформаций конструкции, чем влияние конвективных членов в уравнениях движения и неразрывности, которые неявно присутствуют в указанных уравнениях и проявляют себя за счет перестройки конечно-разностной сетки в алгоритме Уилкинса. [c.116]

Выбор метода исследования. Выбор конечно-разностной схемы интегрирования уравнений (У.64) определялся характером изучаемой задачи. Особенность поставленной задачи связана с возникновением, движением и взаимодействием ударных волн, причем установление процесса колебаний пузырьковой жидкости может проходить в течение длительного времени. Отсюда вытекает ряд требований к конечноразностному алгоритму. Последний должен быть одно- или двухшаговым для обеспечения простоты, скорости и экономичности расчета обеспечивать малую численную диссипацию и дисперсию при больших временах расчета описывать ударную волну как резкий разрыв и не давать при этом осцилляций перед скачком и за ним иметь не менее, чем второй порядок аппроксимации. [c.144]

На основе схемы А. А. Самарского в работе построена конечно-разностная аппроксимация уравнений энергии и модифицированного закона Фурье. Разностные уравнения обладают свойствами консервативности и однородности. Алгоритм [181] получается из описанного ниже, если приравнять коэффициент релаксации тепла нулю. [c.172]

Решение уравнений тепловой части алгоритма методом Ньютона — Рафсона. Конечно-разностная аппроксимация уравнений энергии и теплового потока с дополнительными соотношениями представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений высокого порядка. Число уравнений можно существенно уменьшить, если в [c.173]

После описания конечно-разностной схемы необходимо представить алгоритм решения связанной термомеханической задачи. Решение начинается с того, что массивам присваиваются начальные значения, вычисляются необходимые константы, коэффициенты уравнений. После этого реализуется непосредственно расчет. В алгоритме предусмотрена возможность использования при расчетах волн напряжений и тепла различных шагов по времени. Это связано с необходимостью экономии машинного времени, так как величины шагов, обеспечивающих [c.175]

Алгоритм расчета. Более подробно остановимся на выполнении динамической части в силу ее сложности. Расчет проводится последовательно для каждой конечно-разностной ячейки в отдельности. [c.177]

Алгоритм решения приведенных выше уравнений подробно описан в работе [196], здесь ограничимся весьма кратким его описанием. Задача решалась конечно-разностным методом при разбиении расчетной области на четырехугольную сетку. Относительный объем в уравнении сохранения массы отождествлялся с объемом ячейки сетки, а производные в уравнениях движения вычислялись по положению ближайших к рассматриваемому узлу четырех узлов сетки. При этом скорости и перемещения рассчитывались для узлов сетки, а плотность, напряжения, деформации и параметры разрушения—для центра ячейки. Для интегрирования по времени использовалась явная схема. Подавление счетных осцилляций осуществлялось с использованием искусственной вязкости в виде суммы квадратичной и линейной объемной вязкостей [196] [c.210]

В книге подробно обсуждаются конвективные уравнения и граничные условия, рассматриваются вопросы, связанные с выбором сетки, конструированием конечно разностной схемы, решением разностной задачи Широко представлены тестовые испытания алгоритмов на задачах естественной конвекции Приводится апробированная программа для решения плоских стационарных задач конвекции в прямоугольных полостях при граничных условиях 1, 2 и 3 города для температуры [c.5]

Точность результатов, получаемых при конкретном решении задач устойчивости оболочек вращения с помощью изложенного алгоритма, существенным образом зависит от количества узлов N, использованных в конечно-разностной схеме. В связи с этим возникает два вопроса. [c.192]

Устойчивость моментных форм равновесия. Для исследовани влияния моментности исходного состояния и граничных условий используем конечно-разностный алгоритм (гл. VI). Поместим начало продольной координаты в середине оболочки. Прогиб исходного состояния имеет вид (1.4) гл. X. [c.183]

С помощью деформационной теории пластичности Ю, Н. Шевченко [261, 262] рассмотрел вращающиеся диски в квазистатических температурных условиях. Он разработал также конечно-разностный алгоритм для определения напряжений и толщин [265]. Р. Г. Терехов [277] описал эксперименты, проведенные на дисках с целью получения данных, подтверждающих деформационную теорию. Наблюдались заметные отклонения от требования пропорционального нагружения. Различия между теорией и экспериментом увеличивались с возрастанием пластической деформации. М. Г. Кабелевский [109, ПО] отметил большие различия между расчетными и экспериментально определенными величинами деформаций. Эксперименты проводились на дисках, вращающихся со скоростями от 5000 до 12 500 об/мин, падение температуры вдоль радиуса составляло 800 С. Е. Р. Плоткин [228] экспериментально исследовал пластические зоны в лопастях газовых турбин. Эксперименты, проведенные по термопластичности, относятся преимущественно к частным приложениям, а не к проверке определенной концепции. [c.173]

Одна часть параметров конечно-разностного алгоритма относится к центрам, а другая — к границам. Целыми нижними индексами будем выделять дискретные величины первого указанного вида, а полуце- [c.168]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Для решения системы нелинейных уравнений параболического типа (1.8). .. (1.11) с краевыми условиями (1.12). ... .. (1.14) может быть применен метод сеток с использованием явной схемы, согласно которому система уравнений приводится к безразмерному виду и записывается в конечных разностях. Вид конечно-разностных аналогов исходных уравнений и метод их решения применительно к рассматриваемой задаче представлены в [9]. Алгоритм решения этой задачи бьш реализован в виде программы расчета на БЭСМ-4М. При расчете задаются геометрические размеры пучка, параметры потока теплоносителя на входе в пучок, распределение тепловыделения (теплоподвода) у по длине и радиусу пучка и физические свойства теплоносителя. Для замыкания системы уравнений из эксперимента определяются эффективные коэффициенты турбулентной теплопроводности Хдфф, вязкости эфф п коэффициент гидравлического сопротивления % в виде зависимотей от критериев подобия, характеризующих процесс [39]. [c.16]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерл<ат итерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Санкар и By [21-] описали численный алгоритм решения данной задачи, в котором для уравнения переноса завихренности использовалась конечно-разностная схема, а для кинематического уравнения завихренности — ПМГЭ [см. гл. 13, где объясняется также, почему на самом деле нет необходимости в использовании конечноразностной схемы для уравнения переноса завихренности, так как подобные задачи с начальными данньши для параболического уравнения (уравнения диффузии) могут быть столь же успешно решены МГЭ]. [c.410]

Полученные в предыдущей главе уточненные уравнения теории оболочек очень сложны, что исключает возможность их аналитического исследования. Поэтому целесообразнее применять численные методы. Для численного исследования оболочек с быстро изменяющимися параметрами используем метод конечных разностей. Алгоритм разностной аппроксимации уточненных соотношений теории оболочек и схема его реализации на ЭВМ БЭСМ-6 описаны в главе 5. [c.48]

Таким образом, по описанному алгоритму вычисляются и рассылаются в матрице коэффициенты конечно-разностных уравнений теорнн оболочек. [c.179]

В основе предлагаемого численного алгоритма решения уравнений нелинейной динамики балок лежит модифицированная конечно-разностная схема типа крест . От непрерывной системы — балки (пластины) — производится переход к многопараметрической или конечно-разностной модели в два этапа. Первый этап состоит в конечно-разностной аппроксимации дивергентных уравнений движения в усилиях и моментах (3.1.1), что эквивалентно использованию интегро-интерполяционного подхода в аппрокси-мационной записи уравнений сохранения импульса при разбиении балки на К элементов-звеньев. Цроизводные по 0 аппроксимируются по двум значениям в соседних звеньях и относятся к соединениям звеньев — узлам [c.59]

На основе приведенных конечно-разностных соотношений и алгоритма peiaflHsanHH явной однородной схемы расчета разработана программа на языке ФОРТРАН с выводом графической информации- с помощью сервисных подпрограмм ГРАФОРа [86]. Расчеты дияамич еского деформирования круговых пластин, защемленных по внешнему контуру при центральном и кольцевом распределе-лении заданного начального импульса скоростей и соударений с жесткой преградой, дают сходные результаты, рассмотренные в предыдущем параграфе. В то же время осесимметричное деформирование имеет свои особенности. На рис. 8, а представлены результаты расчета изменения формы меридиана круглой пластины радиусом 0,5, толщиной 0,01 м из алюминиевого сплава, нагруженной локализованным импульсом начальной скорости [c.75]

Впервые такая задача рассматривалась в [11-13] для упругого полупространства, взаимодействующего без трения со штампами различной формы (пирамида, конус, параболоид). После линеаризации по и правой части условия (2) и замены в нем перемещений и, V ш. известными выражениями через контактное давление р, получается интегральное уравнение первого рода относительно р х). Решение этого уравнения, при условии равновесия и соотношениях р х) О, ж а, р а) = О, строится либо с помощью конечно-разностной аппроксимации интегрального оператора, либо методом последовательных приближений с применением регуляри-зующего алгоритма. Проведенный анализ показывает, что уточненная постановка задачи приводит к уменьшению несовместности контактных деформаций. [c.251]

Уравнение (3.8) решаем итерационным методом Пьютона, аппроксимируя производную конечно-разностным отношением и принимая в качестве начального приближения длину Ь границы АС при плоской деформации. Итерационный процесс Ньютона приводит к решению уравнения (3.8) с точностью порядка 10 за 2-3 шага, что свидетельствует о высокой эффективности численных алгоритмов решения гиперболических задач теории идеальной пластичности [5]. [c.59]

Более широкому применению этого простого алгоритма препятствует тот факт, что линейные алгебраические системы, полученные непосредственной заменой дифференциальных уравнений (394) конечно-разностными, весьма плохо решаются методом Гаусса. Часто получаются удовлетворительные результаты по перемещениям ы и ш и резко колеблющиеся от точки к точке значения функции гидростатического давления s. В литературе [56], [77] можно найти и другие методы решения получаемой системы линейных и алгебраических уравнений. Д. А. Дирба [28 ] решила задачу сжатия длинного амортизатора прямоугольного поперечного сечения, составляя уравнения в конечных разностях и применяя для решения линейной системы метод дробных шагов. Применялась сетка с 750 точками для четверти амортизатора. Машинное время при 20 итерациях составило 6 мин на GE-400. Однако использование метода дробных шагов для решения других задач не всегда приводит к успеху, потому этот алгоритм рекомендовать как универсальный пока нельзя. [c.198]

В последующих трех параграфах излагается гибридная разностная схема, являющаяся обобщением этих двух алгоритмов и предназначенная для расчета связанной задачи нагружения многослойного препятствия импульсом излучения с учетом плавления и испарения наружного слоя [60]. Причем в предлагаемом виде конечно-разностная методика позволяет учитывать и вязко-пластическое поведение материала, а распространение алгоритма А. А. Самарского с параболического уравнения теплопроводности на гиперболическое дает возможность численно изучать инерционность распространения тепла. Объединение обоих алгоритмов в связанной задаче и включение в общую схему расчета роста микроповрежденности достигается с помощью итерационной процедуры. [c.167]

В результате такого расположения матрица коэффициентов конечно-разностной системы получается девятидиагональной, за исключением строк, в которых записываем условия для и и ( и+ ) Эта система неудобна не только тем, что в верхнем левом и нижнем правом углах матрицы нарушается девятидиа-гональность, но и тем, что порядок матрицы меняется от 2(ЛГ+5) до 2(ЛГ+3) в зависимости от выбора граничных условий на торцах а = о и а = ак, что создает дополнительные трудности при реализации алгоритма на ЭВМ. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...