Матрица трехдиагональная

Таким образом, решаемая система уравнений является линейной, а ее матрица — трехдиагональной [c.215]

Для решения систем ЛАУ с трехдиагональными матрицами коэффициентов используют разновидность метода Гаусса, называемую методом прогонки. Нетрудно заметить, что в трехдиагональных матрицах при исключении очередной неизвестной vt- из системы уравнений пересчет по (5.4) следует производить только в отношении диагонального элемента ац и свободного члена t-ro уравнения hi. Обозначим преобразованные по (5.4) значения ац и bi через Г( и qi соответственно. Тогда прямой ход по методу Гаусса сводится к расчету коэффициентов г,- и qi, i = 2, [c.231]

Очевидно, матрица системы (3.22) является симметричной трехдиагональной для ее обращения существуют экономичные устойчивые схемы (типа прогонки). [c.135]

При ai,=a22 =. .. = a = 1 матрица называется единичной и обозначается через Е. Другим частным случаем квадратной матрицы является трехдиагональная матрица [c.22]

Метод Гаусса широко используют в случае матрицы А общего вида. Для уравнений со специальными матрицами существуют более экономичные методы. Один из них — метод прогонки — применяют для решения системы с трехдиагональными матрицами А. Он изложен в предыдущем параграфе. Метод прогонки — частный случай метода Гаусса исключения неизвестных при решении системы (1.55). В прямом ходе метода прогонки уравнения приводятся к виду (1.57), в результате матрица системы будет треугольной. Обратный ход метода прогонки такой же, как и в методе Гаусса. [c.26]

Матрица этой системы является матрицей ленточного типа, содержащей достаточно много нулевых элементов. Эта матрица характеризуется тем, что все ее ненулевые элементы располагаются вблизи главной диагонали, а коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линией, которая параллельна главной диагонали, равны нулю. Матрица системы трехдиагональная, если используются двумерные симплекс-элементы. В случае квадратичных элементов и элементов более высокого порядка матрица системы содержит большее число ненулевых элементов. Матрица системы является хорошо обусловленной. [c.203]

Трехдиагональный вид матрицы позволяет организовать вычисления по методу Гаусса так, чтобы не проводить операции с нулевыми элементами. Тем самым объем вычислений удается значительно уменьшить. [c.97]

Модификация метода Гаусса для системы уравнений с трехдиагональной матрицей называется методом прогонки. Рассмотрим этот достаточно простой алгоритм решения системы уравнений (3.56)— [c.97]

Перепишем систему (5.27) — (5.31) в каноническом виде (3.57, принятом в 3.4 для систем с трехдиагональной матрицей [c.166]

Каждое уравнение (8-36) связывает значения неизвестной функции в трех соседних пространственных точках. Поскольку значения у на границах заданы, уравнения (8-36) для всех внутренних точек образуют полную систему из т—1 уравнений с т—1 неизвестными. Характерной особенностью таких систем является то, что матрица их коэффициентов содержит элементы, отличные от нуля, только на трех главных диагоналях (трехдиагональная матрица). [c.130]

Т 2 , и все п уравнений должны решаться совместно. Поскольку сисгема уравнений (2.37) имеет трехдиагональную матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, каждое уравнение [c.90]

Матрица этой системы имеет трехдиагональный вид, поэтому система может быть решена с применением очень эффективного алгоритма [36], что значительно упрош,ает расчеты по сплайнам. [c.78]

Система уравнений движения (25.1) записана в квазилинейном виде, причем матрицы В (у, у), С (у, у) и вектор-функция 5 (у, -у) характеризуют упруго-диссипативные свойства звеньев и соединений. Для рассматриваемой цепной я-массовой механической системы матрицы В у, у), С у, у) являются трехдиагональными (см. п. 16, 33). [c.148]

Согласно (12.1) матрицу Во = [6,j] можно рассматривать как квазиупругую матрицу 0-узлового графа с опорными соединениями, роль которых играют соединения соответствующего Г -графа, инцидентные его инерционным узлам. Для моделей Г-класса с конфигурацией 0-узлового графа в виде простой цепи матрица Во является симметричной трехдиагональной, причем ее отличные от нуля элементы определяются по формулам [c.197]

Ва. Са — Трехдиагональные (и + 1) X (/г + 1)-матрицы с элементами [c.320]

В, С — трехдиагональные п х л)-матрицы с элементами, определяемыми по формулам (12.68) и (12.69) для г < А. Остальные элементы, если k ф , определяются следующим образом [c.325]

Матрица А была бы в первом случае континуальной (трехдиагональной), в другом случае — полной. Фальк [76] показал, что всегда можно произвести такое преобразование координат у, при котором полная матрица А переходит в континуальную. Это означает, что при наличии вспомогательных членов можно применить преобразование координат и тем самым привести ее к системе с основными членами. Влияние вспомогательных членов при крутильных колебаниях с одним и с двумя узлами незначительно. Поскольку достаточно трудно определить вспомогательные коэффициенты жесткости, то предложение Р. Граммеля не нашло практического применения. [c.294]

Однако даже при любом выборе а, и ai+ очевидно, что s(xi)=yi и s(xi+i)=yi+i, т. е. S х) действительно интерполирует узловые значения функции. Из условий гладкой стыковки 5(лг) и ее двух производных во внутренних узлах интервала Ixi, х ], а также из единственности кубических парабол, проходящих через четыре первых и четыре последних узла, получается система линейных уравнений для определения значений ai(i=l, 2,,.., п) [98]. Матрица системы является трехдиагональной симметричной, при любом выборе Xiустойчивость определения значений а,-. Окончательные выражения для коэффициентов кубического сплайна имеют вид [c.183]

Матрица системы является трехдиагональной и симметричной. Ее компоненты вычисляются по следующим формулам [c.194]

В приведенных вариантах алгоритма производится обращение к процедуре решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной симметричной матрицей. Текст ее, несколько измененный по сравнению с опубликованным ранее , приводится ниже. [c.216]

Матрица коэффициентов при неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений (21.9) после исключения Vo и v является симметричной и трехдиагональной [c.480]

Примечание. Одним из широко известных методов разреженных матриц является метод прогонки, используемый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов в системе алгебраических уравнений. [c.118]

Для симметричной трехдиагональной матрицы существует явное выражение для компонент собственного вектора х, соответствующего собственному значению X, [c.83]

Матрица называется разреженной, если в ней число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов. В противном случае матрица называется плотной (или заполненной). Матрица А называется ленточной с полушириной ленты, равной I, если а,у = О для 1 i-j > I. Все ненулевые элементы такой матрицы расположены па s = 21 + 1 ближайших к главной диагоналях матрицы число называют шириной ленты. При s т ленточная матрица является разреженной. Частным случаем ленточной матрицы при = 3 является трехдиагональная матрица [c.125]

Y = onst. Так, для моделей переключательных электронных схем y 26, а для распределенных моделей с трехдиагональной матрицей коэффициентов при применении метода прогонки [c.233]

Для решения разностных уравнений, которые являются линейными алгебраическими уравнениями с трехдиагональной матрицей, в направлении используют прогонку по лучам т] = onst, а в направлении т] — итерационную схему по всему временному слою. Чтобы реализовать такую схему, члены, аппроксимирующие Ф, В-, считают известными с предыдущей [c.141]

Мы получили систему уравнений трехдиагональной структуры. Термин не требует разъяснений и говорит сам за себя. Вообще, диагональные матрицы (таблицы) коэффициентов при раскрытии статической неопределимости получаются для систем, имеющих однотипные, повторяющиеся элементы. Такими элементами в данном случае являются пролеты многоопорной балки. В более сложных задачах системы уравнений могут получиться не только трех-, но и пяти-, семи- или девятидиагональными. Эти системы обладают относительной простотой и особенно удобны (при большом числе неизвестных) для машинного счета. Именно поэтому в последние годы получили развитие приемы расчета, основанные на предварительном разбиении сложных конструкций (типа оболочек с ребрами) на множество однотипных элементов, наделенных определенными свойствами. Условия совместной деформации элементов пишутся с таким расчетом, чтобы матрица обладала диагональными свойствами. Это позволяет получить на машине решение даже при числе неизвестных, измеряемом тысячами. [c.241]

В главах 3 и 4 будут рассмотрены еще две подпрограммы SYSTRD—для решения систем с трехдиагональной матрицей и МСНВ — для решения систем уравнений с ленточной симметричной матрицей методом квадратного корня. [c.21]

Разностные уравнения (5.27) — (5.31) связывают значения сеточной функции в двух соседних сечениях по оси z с номерами (т —1) и т. При известных значениях Un,m-i ( . Л г) эти уравнения образуют систему N уравнений относительно значений сеточной функции в сечении z z - Система уравнений имеет трехдиагональную матрицу и может быть решена методом прогонки, которая проводится поперек трубы . Таким образом, построенная разностная схема аналогична неявной схеме для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, с тем отли-чием, что роль временных слоев играют поперечные сечения 2 . В первом сечении (т = 1) температуры задаются граничным условием (5.32), а далее последовательно для каждого сечения решается методом прогонки система разностных уравнений (5.27)—(5.31) относительно неизвестных (п = 1,. .., Nr) и определяются тем- [c.165]

Анализ свойств симметричных трехдиагональных матриц показывает, что элементы верхнего треугольника симметричной (г X г)-матрицы Z = можно определить следзчощпм образом [c.198]

В настоящее время наиболее эффективный в вычислительном отношении алгоритм решения проблемы собственных значений симметричных матриц произвольной структуры базируется на методе Хаусхолдера ортогонального подобного приведения анализируемой матрицы к трехдиагональному виду. Трехдиаго-нализация (п X га)-матрицы А осуществляется на основе ненте-рационной вычислительной процедуры, состоящей из г — 2 шагов последовательных преобразований подобия исходной матрицы А. На каждом шаге в качестве матриц преобразования используются ортогональные матрицы отражения Р следующего вида [95] [c.228]

Целесообразность подобного приведения динамической матрицы А к трехдиагональному виду обусловлена тем, что проблема собственных значении трехдиагональных матриц решается исключительно эффективно при помощи численно устойчивых алгоритмов простой структуры [95]. Предположим, что динамическая матрица А исследуемой модели подобно преобразована по Хаусхолдеру в симметричную трехдиагональную матрицу С. Информационно существенное содержание (га X и)-матрицы С характеризуется ее п диагональными элементами jf,- и п — I над-диагональными элементами i+i [c.228]

Известно, что совокупность (14.8) главных миноров симметричной трехдиагональной матрицы обладает свойством последовательности Штурма [95]. Это означает, что если для некоторого = v определена совокупность величин 7l/o(v), Mi(v),. .., МЛу), то число s(v) перемен знаков у членов этой последовательности равно числу собственных значений па отрезке Яе [—оо, v]. В общем случае, если для двух значений Я ( = Vi и Я = V2, V2>Vi) определены знаковые характеристики s(vj и (vj), то полусегменту принадлежит slva) — s(vi) собственных значений матрицы С. Свойство Штурма носледовательности (14.8) главных миноров позволяет построить простую дихотомическую схему для локализации собственных значений трехдиагональной матрицы С. [c.229]

Для численного решения системы (5) применялся метод конечных разностей, причем пр-именялась неявная разностная схема и получающиеся линейные системы с трехдиагональной матрицей решались методом прогонки. [c.217]

Метод вращений имеет несколько вычислительно-ориентированных модификаций, сокращающих непроизводительные затраты машинного времени на поиск наибольшего по модулю внедиагонального элемента (циклический метод вращений, метод вращений с барьерами [22]) или уменьшающих влияние ошибок округления [106]. Метод гарантирует точность, сравнительную с точностью вычислительной машины, на которой реализован алгоритм. Для этого требуется от 6 до 10 циклов или от Зга до вращений. Метод прост и компактен. Этот метод неэффективен при использовании двухступенчатой памяти. По затратам машинного времени он уступает методам, основанным на предварительном приведении к трехдиагональной форме, поскольку не использует преимуществ симметричных ленточных матриц. [c.81]

Методы, основанные на приведении симметричной матрицы к трехдиагоиальной форме. Эти методы позволяют использовать свойства симметричных трехдиагональных матриц [c.82]

В метода Хаусхолдера приведение к трехдиагональной форме осуществляется при помощи матриц отражения Р = Е — 2ww , w fw = 1. Процесс приведения требует приблизительно 2)г /3 умножений и около п извлечений квадратных корней. [c.83]

Для вычисления отдельных собственных векторов трехдиагональной матрицы эффективен метод обратной итерации [106]. Если требуется вычислить все собственные векторы, то наиболее эффективным окажется применение методов LR- и QR-алто-ритмов к трехдиагональной матрице. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...