Метод дробных шагов

Общая идея метода дробных шагов, проиллюстрированная на приведенном выше примере, заключается в том, чтобы оператор перехода от п к 4-1 приближенно представить как произведение более простых операторов, реализуемых на вспомогательных промежуточных переходах. Эта идея позволяет создавать экономичные сеточные аппроксимации. Вместе с тем необходимо отметить, что фактическая проверка близости сеточной схемы и дифференциального уравнения может вызывать [c.136]

Методы дробных шагов (методы расщепления). Для численного решения многомерных уравнений нестационарной теплопроводности разработана группа методов, позволяющих использовать преимущества неявных схем, называемых методами дробных шагов или методами расщепления [96]. [c.96]

Удовлетворительное совпадение численного и контрольного аналитического решений свидетельствует о пригодности метода дробных шагов для данной задачи. [c.97]

Лля того, чтобы перейти от т-го слоя к т+1-му в схеме (6.21), мы ввели промежуточный слой га+ . Разностная система (6.21) эквивалентна двум разностным системам (6.23), (6.24), но в последнем случае в левых частях стоят одномерные операторы. Поэтому, чтобы перейти от т-го слоя к m + -му слою, нужно решить разностную систему (6.24) хотя бы методом прогонки по переменной X, а затем,. чтобы перейти от m + j-ro слоя к m + 1-му, решить систему (6.23) методом прогонки по переменной у. Описанный метод имеет много названий метод переменных направлений, метод дробных шагов, метод продольно-поперечной прогонки и т.п. [107]. [c.202]

Н. Н. Яненко [1967] разработал метод дробных шагов, в котором многомерное уравнение расщепляется на последовательность одномерных уравнений первые результаты он опубликовал в ДАН СССР, 1959, т. 125, № 6. Метод расщепления был также развит советскими математиками [c.139]

Решение задачи о течении несжимаемой жидкости находится как предел решения нестационарных уравнений, содержащих член, соответствующий искусственной сжимаемости и стремящийся к нулю по мере приближения к стационарному состоянию. Аналогичную идею использовали в методе дробных шагов Владимирова, Кузнецов и Яненко [1966]. Заметим здесь вкратце, что в общем случае для расчета течения несжимаемой жидкости не следует брать полные уравнения для сжимаемой жидкости и просто полагать в них число Маха малым (более подробно этот вопрос будет освещен в разд. 5.1). Не рекомендуется также применять следующее уравнение для давления ВР дР, дР, , ,дР дР, д иР), д 0Р) [c.305]

Метод, основанный на применении дробных шагов, разобранный в предыдущем параграфе, относится к методу временных шагов , т.е. к ме тоду разбиения временного интервала на шаги и последовательного решения на каждом таком шаге задачи теории упругости. [c.320]

Второй шаг доказательства строгой эргодичности сдвигов тора состоит в демонстрации того, что эргодичность относительно меры Лебега влечет строгую эргодичность. Специальное свойство меры Лебега состоит в том, что она инвариантна относительно всех сдвигов. Естественный контекст, в котором применимы соображения такого рода, — преобразование умножения на элемент в компактных абелевых группах (см. конец 1.3). Однако метод, использованный в доказательстве, имеет и другие приложения (см. упражнения 4.2.3-4.2.7, где этот метод используется для доказательства равномерности распределения дробных частей полиномов). [c.157]

Условие устойчивости (5.29) является весьма жестким оно, как правило, не соответствует естественным требованиям точности. В случае двух (и более) пространственных переменных применение неявных схем вызывает большие трудности, связанные с решением системы уравнений на верхнем слое. Это обстоятельство послужило одним из стимулов развития группы родственных между собой eтoдoБ (метода переменных направлений, метода дробных шагов, метода расщепления и др.). [c.135]

Рассмотрим теперь неявную аппроксимацию (5.30), (5.31), построенную по методу дробных шагов. Выражение (5.32) для модуля перехода показывает, что скорость затухания возмущений во всем спектре частот o)i, 0)2 может быть сколь угодно большой при достаточно большом т. Однако с увеличением т возрастают и погрешности аппроксимации, связанные с представлением оператора перехода от п к п+ в виде произведения операторов, соответствующих полушагам . В предельном случае (t= 00) получаем два слоя ( целый и полуцелый ), не имеющие ничего общего с искомым решением и не похожие друг на друга. Возникает естественная идея варьирования t сначала, когда преобладают возмущения, связанные с ошибками начального слоя, гасить эти возмущения быстрее, а затем, когда начинают все бо Еьшую роль играть погрешности аппроксимации, постепенно уменьшать г. На основе идей такого рода построены эффективные алгоритмы для решения стационарных сеточных краевых задач. [c.137]

Для тачного расчетного определения температурного поля в стенке трубы, возникающего в цикле водной очистки, Т. М. Лаус-маа и Р. В. Тоуартом представлена трехмерная модель расчета изменяющегося со временем температурного поля в стенке трубы с учетом зависимости теплофизических свойств металла от температуры [173]. Расчет включает решение нелинейного параболического дифференциального уравнения теплопроводности методом дробных шагов на ЭВМ. Этот расчет можно использовать и для оценки точности разных более простых формул и способов определения температурного поля. [c.206]

Более широкому применению этого простого алгоритма препятствует тот факт, что линейные алгебраические системы, полученные непосредственной заменой дифференциальных уравнений (394) конечно-разностными, весьма плохо решаются методом Гаусса. Часто получаются удовлетворительные результаты по перемещениям ы и ш и резко колеблющиеся от точки к точке значения функции гидростатического давления s. В литературе [56], [77] можно найти и другие методы решения получаемой системы линейных и алгебраических уравнений. Д. А. Дирба [28 ] решила задачу сжатия длинного амортизатора прямоугольного поперечного сечения, составляя уравнения в конечных разностях и применяя для решения линейной системы метод дробных шагов. Применялась сетка с 750 точками для четверти амортизатора. Машинное время при 20 итерациях составило 6 мин на GE-400. Однако использование метода дробных шагов для решения других задач не всегда приводит к успеху, потому этот алгоритм рекомендовать как универсальный пока нельзя. [c.198]

Эта концепция похожа на расщепление, ранее использованное Пис-меиом и Ракфордом [1955] в неявной схеме метода чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), но ие эквивалентна ему. В монографии Яненко [1967] рассматриваются и другие методы дробных шагов по времени. [c.126]

В шестой главе описана также свободно-лагранжева модель, которая в отличие от предыдугцих строится пе на основе принципа Гамильтона, а на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса. Использование этого нринцина дает ряд нреимугцеств. В частности, появляется возможность вернуться к идее системы свободных частиц, не связанных никакой сеткой. Метод но-сути состоит из двух дробных шагов, где первый представляет собой свободное движение частиц, в ноле внешней силы, а второй является проектированием в 2 предварительно найденных ско-эостей частиц на некоторое конечномерное подпространство Н гладких соленоидальных функций. Это позволяет с малыми затратами получать гладкие численные решения в области гладких [c.15]

Аз (5.18) следует анироксимация. С помош,ью метода Фурье нетрудно доказать, что схема дробных шагов (5.17) абсолютно устойчива. [c.39]

Нами применен метод Бокса — Уильсона — метод поиска оптимальных условий ведения процесса с последующим изучением околооптимальной области. Первая часть эксперимента сводилась к поиску околооптимальной области. Поиск осуществляется по методу градиента, но направление градиента выполняется не с помощью пробных шагов, а с помощью полного или дробного факторного эксперимента (ПФЭ, ДФЭ). Такое сочетание движения по градиенту с факторным экспериментом позволяет в условиях случайных возмущений проводить поиск оптимально и попутно получать информацию о взаимодействии факторов. [c.55]

Уравнение (286) записано при условии, что константы скорости прямой и обратной реакции одинаковы и равны величине к. Это приводит к тому, что, когда система переходит в равновесие, доля релаксаторов и нерелаксаторов становится одинаковой и равной 0,5. Уравнение (286) интегр1фуется до юнца только в отдельных частных случаях, например, при и = 2. В общем случае, когда п является дробной величиной, интегрирование можно произвести только численными методами. С целью нахождения зависимости степени превращения а от времени / в работе [44] применили численный метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования. По найденным значениям величин а, которые были рассчитаны при различном малом шаге по /, определялись с помощью ЭВМ значения интеграла от переменной части ядра [c.302]

Метод эталонных задач позволяет сделать следующий шаг и получить не только главный член асимптотики, но и все последующие. В главе 10 основное внимание уделяется построению асимптотических разложений для функции Грина в пограничном слое, примыкающем к отражающей поверхности 5. На поверхности 5 может быть поставлено любое из краевых условий (3) —(5), при этом без каких-либо специальных предположений относительно ц М) в случае смешанного краевого условия. Наиболее подробно рассматривается случай условия Дирихле. Построенные в главе 10 разложения представляют собою достаточно простые формальные ряды по дробным степеням волнового числа к. Однако за пределами пограничного слоя эти разложения в исходной форме неприменимы. Для получе- Ния формул, пригодных за пределами пограничного слоя, требуется выполнить переход от координат пограничного слоя к так называемым эвольвентным координатам. На этом пути получены и выписаны асимптотические формулы, справедливые с погрешностью 0(й"2/з) дд любом расстоянии от границы препятствия. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...