Осесимметричные задачи. Решение в перемещениях

Осесимметричные задачи. Решение в перемещениях [c.99]

Заметим, что функция ф (4.99) и формулы (4.100) дают более богатый набор осесимметричных полей напряжений, чем в задаче Ля-ме. Любопытным является вопрос, почему решение в перемещениях дало единственное осесимметричное поле напряжений (задача Ляме), а решение в напряжениях — множество таких полей. Ответ состоит в том, что в первом случае осесимметричными являются как поле [c.116]

Для—решения этой задачи воспользуемся формулами для напряжений (6.35), полученными из общего решения осесимметричной задачи в перемещениях. Так как наша задача относится к случаю плоской деформации, то уравнения для напряжений должны включать упругие постоянные и VJ согласно формулам Рис. 35 (5.6), т. е. иметь такой вид [c.102]

Решение задачи в перемещениях. Заменив в уравнениях равновесия наг[ряжения их выражениями через деформации по соотношениям (19.29), а деформации — через перемещения по соотношениям (19.28), получим уравнения равновесия в перемещениях. Ограничимся получением этих уравнений для случая осесимметричной деформации. В этом случае у О и все производные по ф от скалярных функций тоже нули. Тогда [c.454]

Перемещения валопровода, вызываемые развитием трещины лри циклических симметричных и неосесимметричных нагрузкаХ Задача состоит в определении прогиба вала б, выражаемого через угол поворота его оси Аф, вызываемого развитием трещины под действием циклически изменяющихся номинальных напряжений. В общем случае для этого требуется решение серии трехмерных задач упругости при различных глубинах, углах раскрытия и формах трещины. Ввиду сложности и трудоемкости такого пути решения задачи был найден иной, более простой, но практически равноценный метод, основанный на численном решении двумерной осесимметричной задачи для тела с трещиной. [c.171]

Рассмотрим применение кольцевого элемента для решения задач устойчивости оболочки вращения при осесимметричном нагружении. Будем считать, что начальное напряженное состояние оболочки определяется решением задачи статики в линейной постановке, а перемещения в начальном состоянии тождественны нулю. Такие предположения соответствуют модели напряженного, но недеформиро-ванного тела в докритическом состоянии. Нагрузки будем считать мертвыми , т. е. не изменяющимися при переходе системы в смежное состояние. В этом случае решение задачи устойчивости можно получить из вариационного условия (3.29), соответствующего для упругих систем вариационному критерию в форме Брайана. Выделим из оболочки отдельный кольцевой элемент. С учетом работы сил реакций отброшенных частей на дополнительных перемещениях первого порядка малости запишем условие смежного равновесного состояния [c.145]

Для решения воспользуемся формулами напряжений (7.35), полученными из общего решения осесимметричной задачи в перемещениях. Так как рассматриваемая задача относится к случаю плоской деформации, то указанные формулы должны включать упругие постоянные El и Vj. Согласно обозначениям (6.6), имеем [c.105]

На основе ВРМ нами разработана частная методика решения осесимметричных задач теории упругости, которая кратко рассмотрена в настоящей работе, и составлена программа на ЭВМ (17, 18]. В предложенном методе задача теории упругости формулируется в перемещениях, что дает возможность рассматривать многосвязные области без необходимости Удовлетворять условиям однозначности перемещений на контурах и облегчает выполнение граничных условий, которые могут быть поставлены как в напряжениях, так и в перемещениях. Методика иллюстрируется примером расчета термоупругого напряженного состояния патрубка корпуса энергетической установки. [c.103]

На рис. 5.3 показана типовая структурная схема расчета диска с помощью МКЭ. Выбор размеров сетки элементов влияет на точность решения. Уменьшая размер сетки в осесимметричной задаче, мы приближаемся к точному решению. Однако увеличение числа узлов резко увеличивает потребную память и время счета. Поэтому к выбору густоты сетки следует подходить рационально. В местах резких градиентов (изменений нагрузки, температурного поля, геометрических параметров) сетка должна быть более густой. Обычно используют следующий прием. Проводят расчет всего диска с достаточно крупной сеткой, а затем выделяют области, требующие уточненного расчета. На внутренней границе задают граничные условия (силы или перемещения), найденные из предыдущего общего решения. Такой прием используют для расчета в местах концентрации напряжений. Этот подход позволяет, в частности, сочетать МКЭ с другими более простыми ме- [c.164]

Полиномиальные решения задачи о равновесии цилиндра. В п. 7.1. представлены формулы, выражающие напряжения и перемещения в цилиндре, подверженном аксиально-симметричной деформации и деформации изгиба, через гармонические функции двух видов — осесимметричные (зависящие от х, и произведения функций от х, на В этом пункте дается построение этих решений в форме однородных полиномов от х, Z, для сплошного цилиндра и с членами, содержащими надлежащие особенности на оси z (при л = 0), в случае полого цилиндра. [c.339]

Решение осесимметричной задачи аналогично рассмотренному выше решению плоской, так как с математическом точки зрения обе эти задачи являются двумерными. В осесимметричной задаче, ввиду симметрии, напряжения и деформации в любом осевом сечении полностью определяются двумя компонентами перемещений. Если осевое сечение тела разбить на треугольные элементы, то указанные перемещения могут быть описаны с помощью тех же функций формы, что и в плоской задаче. Отличительной осо- [c.73]

В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесимметричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратносимметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [c.13]

Для решения обеих задач, внутренней и внешней, используем функции перемещения Буссинеска. Для решения осесимметричной задачи, как мы убедились в 5.5, достаточно двух гармонических функций х Перемещения Нг, Пг в цилиндрических координатах были связаны в упомянутой точке с функ- циями г и X следующими зависимостями [c.278]

Приведем несколько простых примеров решения двумерных задач термоупругости. Начнем с наиболее простого примера, а именно нагревания полого цилиндра осесимметричным образом ). Для определения перемещения иг применим формулу Майзеля (42). Обозначим через V радиальное перемещение, вызванное действием единичной радиальной нагрузки, приложенной к цилиндрической поверхности р = г. Для определения этого перемещения нужно решить уравнение в перемещениях [c.507]

В формулах, выражающих перемещения и внешние силы через аналитические функции ф( и г1 ( ), последние входят под знаком интеграла. Это обстоятельство затрудняет применение для решения осесимметричных задач большей части тех методов, которые обычно используются при решении плоских задач (конформные отображения, приведение к интегральным уравнениям Мусхелишвили [c.416]

Наиболее просто использовать приближенные кинематические методы в осесимметричных задачах, поскольку распределения приращений перемещений здесь часто могут быть представлены в виде функций одной координаты (диск, круглая пластина, труба), иногда с применением дополнительных параметров, которые определяются в ходе решения путем минимизации искомых нагрузок. В задачах этого типа иногда удается с помощью элементарного метода получить точные решения, удовлетворяющие не только кинематическим (реализация некоторого механизма прогрессирующего формоизменения), но и статическим (отсутствие точек, в которых напряжения в течение цикла превышали бы а ) условиям. [c.331]

Рассмотрим случай осевого растяжения силой F — qnR цилиндра единичного радиуса Л = 1 с кольцевым разрезом (рис. 19.1). Найдем приближенное решение данной задачи в предположении, что поверхность разреза свободна от нагрузки, а на боковой поверхности цилиндра равны нулю касательные напряжения и радиальные перемещения. Данная задача является осесимметричной, и напряженное состояние в окрестности разреза можно получить из рассмотрения полубесконечного цилиндра [c.151]

Решение системы уравнений (ЮЛ) и (10.2) относится к статической задаче безмоментной теории оболочек вращения при осесимметричной нагрузке. Чтобы найти деформации и перемещения в оболочке, к этим уравнениям следует добавить геометрические и физические уравнения. Здесь ограничиваемся исследованием только статической стороны задачи. [c.207]

Ряд методов приближенного решения нелинейных задач изгиба пластин рассмотрен в книге [34]. Наиболее полно исследована задача осесимметричного изгиба круглой пластины при больших перемещениях. В этом случае порядок системы диф- [c.118]

Соотношения (9.45) и (0.46) справедливы также для произвольной оболочки вращения как при осесимметричной, так и при несимметричной деформации. Асимметрия вносит некоторые усложнения в расчет. Прежде всего появляется еще одна составляющая вектора перемещения V. И кроме того, каждый из компонентов вектора — функция двух переменных s и ср. Решение задачи отличается тем, что необходимо разделить переменные по координатам s и ф, представив составляющие по Ф в виде периодических тригонометрических функций. [c.266]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Линеаризованные уравнения. Наложим на рассматриваемую деформацию малую дополнительную деформацию. Дополнительное перемещение ew = Для упрощения вычислений предположим, что дополнительная деформация осесимметрична. Решение задачи для общего случая дано в работе [9]. Примем такие обозначения [c.73]

В работе используются такие уравнения теории тонких оболочек, которые позволяют решать различные задачи, связанные с осесимметричным и несимметричным нагружением оболочечных конструкций. Принятый в работе высокий порядок функций формы позволяет использовать при решении задач сравнительно малое количество больших элементов. При этом легко находятся достаточно точные значения напряжений и перемещений всюду, включая и точки концентрации напряжений. [c.107]

Базовое общее решение осесимметричных краевых задач. Осесимметричные краевые задачи для многослойного полупространства или плиты решаются в безразмерных переменных р = г/а, 1 = г/Н, где а — характерная величина, например, длина радиуса круговой области контакта, принятая за линейную единицу измерения. Величина отношения X = Н/а является характерным параметром задачи. Конструкция многослойного полупространства (плиты) характеризуется геометрическими параметрами t = Н-/Н, определяющими границы слоев Ь = и упругими параметрами 6 = Е /Е , Хг = Ь )- Напряжения и перемещения в слое с порядковым номером г = 1, ТУ + 1 обозначаем через [c.214]

Деформированное состояние оболочки компенсатора определялось на основе метода [140] решения задачи о длительном циклическом нагружении данной конструкции. Задача решалась в ква-зистациоиарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ Минск-32 системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Решение линейной краевой задачи производилось на основе метода ортогональной прогонки [52]. Рассматривалась только физическая нелинейность. Учет геометрической нелинейности при расчетах сильфонов, работающих как компенсаторы тепловых расширений в отличие от сильфонов измерительных приборов [193], обычно не производится [32, 150, 222], как не дающий существенного уточнения при умеренных перемещениях. Предполагалось, что все гофры сильфона деформируются одинаково. Поэтому расчет производился только для одного полугофра. Эквивалентный размах осевого перемещения полугофра, вызывающий те же деформации, что и полное смещение концов сильфона, определялся по формуле [c.200]

Для описания перемещений в окружном направлении используют тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяют с помощью дополнительных узловых точек. Число узловых точек зависит от необходимой точности решения и формы лопаток. При изогнутых лопатках число узловых точек, очевидно, должно быть большим. Перемещения в меридиональных треугольных сечениях описываются с помощью полинома. Если для осесимметричной задачи линейный полином (см. гл. 5) оказался достаточным, то здесь для увеличения точности решения следует брать полиномы более высоких порядков. В работе [122] такое решение предложено для колеса с радиальными лопатками. На рис. 6.16 показан секторный элемент с пятью узловыми плоскостями и шеститочечными треугольными сечениями. [c.198]

Как и плоскую задачу термоупругости (см. 6.2), осесимметричную задачу при постоянных значениях Ghvh /г = /г = 0 можно сформулировать через потенциал перемещений и представить искомое поле перемещений в виде суммы частного решения, учитывающего неравномерное распределение температуры, и решения изотермической задачи теории упругости [5]. Но в случае сложной формы тела с переменными термоупругими характеристиками материала методы аналитического решения задачи практически неприменимы и целесообразно ориентироваться на численные методы решения. [c.242]

В качестве примера решения задачи н. д. с оболочечных систем с учетом физической нелинейности рассмотрим осесимметричное деформирование двух сопряженных через распорный шпангоут оболочек произвольной формы при конечных прогибах [48]. Граничные условия для оболочек заданы в перемещениях. Приманены соотношения деформационвой теории с учетом сжимаемости материала, принята гипотеза Кирхгофа—Ляна. [c.223]

В шестой главе на основе представления общего решения уравнений теории упругости в перемещениях в форме П. Ф. Пап-ковича исследуются осесимметричные задачи термоупругости для цилиндра и полой сферы при заданных температурных полях (стационарных или нестационарных). Функциональный произвол в представлении общего решения здесь используется так, чтобы наиболее просто удовлетворить граничным условиям. [c.9]

Задача ставится следующим образом. На полупространство действует осесимметричная нагрузка р г, /), направленная по оси г. Требуется найти поле перемещений и температуру. Частным случаем представленного ниже решения является соответствующий результат классической эластокинетики. Будем предполагать, что в рассматриваемой области г О нет тепловых источников и массовых сил. В этом случае исходные уравнения задачи однородны. В цилиндрических координатах (г, г) эти уравнения имеют вид [c.150]

Для решения осесимметричных задач довольно удобным становится метод Майзеля. В цилиндрической системе координат (г, ф, 2) для плоского деформированного состояния отличны от нуля перемещение иг, деформации Егг, 8фф и напряжения Огг, Стфф, Огх. Перемещение иг г) дается формулой [c.507]

Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями теории оболочек привела В. В. Новожилова (1946) к установлению уравнения в комплексной форме, где неизвестными являются комплексные перемещения. Этот способ применим только для линейных задач равновесия но при их решении он имеет явные достоинства. Уже в первой стадии разработки соответствующей теории были определены несущественные члены в разрешающих уравнениях. Введение комплексных функций позволило понизить вдвое порядок дифференциальных уравнений, что сделало систему уравнений более обозримой. Это имеет большое значение при решении задач с переменными коэффициентами. Например, при рассмотрении осесимметричной или обратносимметричной нагрузки для оболочек вращения задача сводится к уравнению второго порядка, где легко разобраться в осложнениях, вызванных наличием точек поворота. Типичным представителем такого случая является тороидальная оболочка (Е. Ф. Зе-нова, В. В. Новожилов, 1951 В. С. Чернина, 1955), Это замечание относится, однако, к любой оболочке неположительной кривизны в других случаях метод приводит просто к упрощению качественного анализа и нужных при решении выкладок (Р. Л. Малкина, 1954). Любопытно отметить, что существуют задачи, для которых краевые условия могут быть сформулированы в терминах комплексных усилий или перемещений,— в этом случае отпадает необходимость отделения вещественных и мнимых частей до получения решения (в аналитической форме). Задачи этого типа указаны в монографии К. Ф. Черных (1962, 1964), где излон ены все основные результаты, связанные с представлением соотношений теории оболочек в комплексной форме. Отметим из них следующие. [c.242]

Впервые к решению осесимметричных задач метод конечных элементов был применен Графтоном и Строумом [1]. В качестве элементов они рассматривали простые усеченные конусы и использовали метод перемещений. Более строгий вывод матриц жесткости проведен в работах [1—3], а предложенное Графтоном и Строумом [1] обобщение метода на случай несимметричной нагрузки подробно описано в работах [4—6]. [c.259]

Отмеченные упругие свойства мгпе-риала 40 в системе осей 1 23 следует учитывать при описании поведения материала в конструкции, работающей в условиях плоской задачи или кручения. Решение плоской задачи, полученное прн осесимметричном нагружении в координатах 2 3, следует использовать для расчета перемеще 1ии вдоль оси 1 вследствие поперечного сдвига. При решении задачи о кручении моментом, направленным вдоль оси 1, необходимо затем определить перемещения в плоскости 2 3. При совместном действии нагрузок в плоскости 2 3 и перпендикулярно ей задача кручения и плоская задача не разделяются. [c.193]

На основе изложенного метода теоретического исследования была составлена программа для вычислительной машины системы FA OM 230-75, на которой вначале была исследована сходимость решений, а собственные значения и собственные векторы задачи определялись энергетическим методом. Для сплошной цилиндрической оболочки частоты колебаний удовлетворительно сходились при использовании трех членов (р = О, 1, 2) в ряде для перемещений (7). Однако для оболочки с большими вырезами Для получения сходимости. результатов требовалось большее число членов, и представленные здесь результаты были получены при использовании 9 членов ряда. Как показано на рис. 4, 5 и 12, между теоретическими и экспериментальными данными для сплошных цилиндрических оболочек было достигнуто хорошее совпадение. На этих же трех рисунках нанесены результаты, полученные с помощью метода конечных элементов и расчетов на вычис. лительной машине по программе, основанной на книге Зенкевича [10]. В конечно-элементном представлении оболочка разбивалась на десять осесимметричных оболочечных элементов, включающих четыре узловых параметра. Полное описание этой конечно-элементной схемы дано в работе [II]. [c.284]

Пусть В цилиндрической системе координат г,(р,г) задан цилиндр г К, г Ь из нелинейного упругого изотропного материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при 2 а жесткого бандажа. Трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус К-6, (5 > 0. В работе [47] для добавочной деформации получены линеаризованные уравнения и выписаны соответствующие граничные условия. Известным приемом полученная краевая задача была сведена к парному ряду-уравнению вида (33), в котором nQ = 0, К2 = К, а К(и) — известная функция [47]. Решение парного ряда, как и в предыдущей задаче, было получено путем сведения его к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Был проведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп — цилиндр Р для материала Муни. Анализ расчетов показывает, что с увеличением параметра предварительного напряжения в сторону растяжения жесткость Р увеличивается. Существует также такое сочетание геометрических параметров, при которых жесткость Р возрастает и с увеличением предварительного сжатия (с уменьшением Л при Л < 1). [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...