P решение линейных краевых задач, численное

Численное решение линейной краевой задачи (7.1)-(7.3) получим с помощью метода ортогональной прогонки. Разобьем [c.128]

В этом параграфе разработан метод численного решения линейных краевых задач устойчивости и свободных колебаний слоистых оболочек вращения, объединяющий в себе метод Бубнова — Галеркина для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с обобщенной формой метода инвариантного погружения. Изложение метода строится на примере задачи устойчивости и сопровождается указаниями на модификации, необходимые для перехода к задаче [c.205]

Такие условия сформулированы в [143]. Отметим лишь, что выполнение этих условий предполагает наличие начального приближения достаточно близкого к точному решению. В задачах механики оболочек таким приближением служит решение линеаризованной задачи (7.5.3), а численное решение линейных краевых задач (7.5.11), как будет показано в гл. 8, эффективно осуш,ествляется методом инвариантного погружения. [c.224]

Результаты решения линейной краевой задачи (2.13) использовались при численном интегрировании нелинейной краевой задачи (2.11) в качестве начальных условий [c.46]

Наиболее распространенным приемом численного решения линейной краевой задачи является метод комбинаций решений, позволяющий свести решение краевой задачи к последовательному решению задач Коши. Во многих случаях этот классический способ позволяет получать достаточно точные результаты. [c.64]

РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ [c.82]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Использование численных методов предполагает наличие уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние данной конструкции при линейной связи напряжений и деформаций (с учетом температурных градиентов) или конечно-разностный аналог этих уравнений методов решения нелинейных краевых задач [c.176]

Сказанного достаточно, чтобы приступить к изложению алгоритма численного решения поставленной задачи. Решая в первом приближении линейную краевую задачу (7.1)-(7.3) в предположении, что все компоненты вектора тождественно равны нулю, находим вектор решений, описывающий напряженно-деформированное состояние геометрически линейной оболочки типа Тимошенко. После решения краевой задачи [c.129]

Использование метода Бубнова—Власова для Сведения двумерных линейных краевых задач относительно приращений неизвестных к одномерным позволило свести определение приращений к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В работах [281, 287, 36] решение получено путем усреднения зтих коэффициентов. Точность такого приема была оценена численно на основе сравнения с решением методом типа прогонки [13]. Различные варианты метода прогонки использовались в работах [13, 8, 222, 11 183, 12]. Прогонка осуществлялась методом начальных параметров с использованием метода Рунге—Кутта. Вопр Ьсы сходимости метода последовательных нагружений в сочетании с методом Бубнова—Власова для сведения двумерных линейных пошаговых задач к одномерным обсуждались в работах [222,10,7,263,223]. [c.185]

Разрешающая система уравнений для конструкции, состоящей из Л/оболочек, составляется из Л/систем(II. 19). К граничным условиям на торцах конструкции присоединяется N — 1 условие сопряжения оболочек (11.23). Сформулированная нелинейная краевая задача может быть сведена к системе нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений и к задаче Коши для начального вектора. Однако в силу жесткости задачи Коши подобный алгоритм решения нелинейных задач неустойчив. Более эффективно применение итерационного процесса, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача в сочетании с устойчивым численным методом прогонки [30, 90, 134, 1861. В практике решения [c.36]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Итак, исследование свободных колебаний конической ортотропной слоистой композитной оболочки сведено к интегрированию линейной краевой задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение этой задачи получено по методу, разработанному в параграфе 7.3 при использовании ортонормированной координатной системы [c.252]

Заключение. Задача об исследовании движений вязкой теплопроводной жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн между двумя нагретыми вращающимися цилиндрами сводится к изучению автономной динамической системы четвертого порядка, коэффициенты которой находятся численно, путем решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.108]

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага нагружения изложено в 2.3. Возможны различные варианты нагружения стержня а) пропорциональное увеличение нагрузок б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружения, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одиу нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи. [c.123]

Вначале рассмотрены основные методы численного анализа интерполирование, численное интегрирование и дифференцирование. решение линейных и нелинейных уравнений и систем, решение начальных и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти сведения позволят изучать материал последующих глав, не обращаясь к дополнительной литературе. [c.3]

Годунов С. К. О численном методе решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.— Успехи мат. наук, 1961, т. 26, № 23. [c.280]

С. К. Годунов предложил метод ортогонализации, который позволяет получать численное решение краевых задач для линейных дифференциальных уравнений, когда наряду с убывающими имеются и быстровозрастающие решения [28]. [c.460]

Имеется большое количество разнообразных численных методов решения уравнений типа (9.2) [6, 13 и др.], из которых для реализации на ЭЦВМ наиболее удобен метод Рунге—Кутта. Отметим, что для распространенных ЭЦВМ обычно имеются стандартные программы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым уравнение (9.2) приводится обычным приемом [90]. Однако предварительно рассматриваемую краевую задачу необходимо свести к задаче с начальными условиями (задаче Коши). Этот во- [c.66]

Методы численного решения линейных уравнений, аналогичных уравнению (8.62), подробно изложены в гл. 2, но в гл. 2 рассматривались уравнения четвертого порядка, а уравнение (8.62) — двенадцатого порядка. Основная особенность уравнения (8.62) заключается в том, что элементы матрицы В содержат неизвестный параметр к (безразмерную частоту). Последний находят из условия, что решение уравнения (8.62) должно удовлетворять краевым условиям задачи (шесть условий при е = 0 и шесть при е = 1). Точное решение уравнения (8.62) даже для случая, когда элементы матрицы В — постоянные числа, получить очень сложно, поэтому используют численный метод определения частот. [c.185]

Годунов С. К. О численном решении краевых задач для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — В кн. Успехи математических наук, вып. 3/99, т. XVI, Изд. АН СССР, 1961, с. 171—174. [c.449]

Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. // Успехи математических наук. - 1961. - т. XVI. - Вып. 3. - с. 171-174. [c.551]

Вопрос о разрешимости краевой задачи исследуется всякий раз отдельно (даже в линейном случае). Численные методы решения задачи Коши и краевой задачи (4.21)—(4.23) для линейного уравнения приведены в п. 5.1.12. [c.102]

Схема циклов нагружения (рис. 2.1.3) может быть построена и на основе численного решения линейных и нелинейных краевых задач - методами конечных элементов, конечных разностей, интегральных уравнений. В этом случае по результатам численного анализа для заданного режима эксплуатационного нагружения получают непосредственно распределения и величины местных упругих или [c.82]

В последнее время значительное развитие получили численные методы решения краевых задач (в частности, метод конечных элементов), позволяющие решать плоские и трехмерные задачи для линейно-упр 117, [c.7]

Рассмотрим результаты численного решения задачи о закритическом деформировании волокнистого композита тетрагональной периодической структуры с упругими волокнами и упругопластической маг трицей при нагружении в поперечной плоскости. Краевая задача для ячейки периодичности, состоящая из уравнений равновесия (9.43) при отсутствии массовых сил, геометрических соотношений (9.42), определяющих уравнений (9.20) для матрицы при активном нагружении (Х = 1) и линейных соотношений связи приращений напряжений и деформаций для волокна и при разгрузке матрицы (х = 0), а также граничных условий [c.261]

Исходя из решения плоской задачи, предложенного в 163, 641, и изложенного здесь решения антиплоской задачи, численно построены все напряженно-деформированные состояния и Q( apH) (ддя Q( B) задачу надо уточнить, так как в соответствующей плоской задаче не соблюдено согласование граничных условий). Как уже говорилось, составляя линейные комбинации из (29.23.12), можно построить краевые напряженно-деформированные состояния вблизи свободного, жестко заделанного и шарнирно опертого краев произвольной изотропной оболочки. Результаты вычислений представлены в таблицах, в которых помещены только асимптотически главные- напряжения данного состояния, т. е. 3 2, Sgs, S13 для плоской задачи и 5] 2. 23 — для антиплоской задачи. [c.465]

Структура исходных уравнений нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек довольно сложна, получить аналитическое решение уравнений (1.42), (1.43) непросто, позтому будем ориентироваться на их численное решение на ЭВМ, В последние годы самое широкое распространение и признание получила методика решения задач прочности оболочек вращения, согласно которой исходная система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции в геометрически линейной постановке, сводилась к решению краевой задачи для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот прием в сочетании с методом ортогональной прогонки оказался настолько плодотворным, что проблема расчета осесимметричных оболочек вращения в классической постановке оказалась в основном завершенной [ 1.16]. [c.23]

Г о д у и о в С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений//Успехи мат. наук. - 1962. -Т. 16.№6.-С. 171-174. [c.205]

Применение дискретно-континуальной расчетной схемы для тонкостенных оболочечных конструкций определяет основной метод решения задач статики и динамики тонкостенных осесимметричных и призматических конструкций. При численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений применяют метод ортогональной прогонки Годунова [6]. [c.143]

Деформированное состояние оболочки компенсатора определялось на основе метода [140] решения задачи о длительном циклическом нагружении данной конструкции. Задача решалась в ква-зистациоиарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ Минск-32 системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Решение линейной краевой задачи производилось на основе метода ортогональной прогонки [52]. Рассматривалась только физическая нелинейность. Учет геометрической нелинейности при расчетах сильфонов, работающих как компенсаторы тепловых расширений в отличие от сильфонов измерительных приборов [193], обычно не производится [32, 150, 222], как не дающий существенного уточнения при умеренных перемещениях. Предполагалось, что все гофры сильфона деформируются одинаково. Поэтому расчет производился только для одного полугофра. Эквивалентный размах осевого перемещения полугофра, вызывающий те же деформации, что и полное смещение концов сильфона, определялся по формуле [c.200]

Андреев А.Н. О численном решении линейных краевых задач устойчивости слоистых оболочек врап1ения // Прикл. механика. — 1989. — Т. 25, № 8. — С. 60—66. [c.275]

Этим соотношением можно руководствоваться и для произвольных оболочек вращения, понимая под L длину образующей оболочки. Однако при этом необходимо помнить, что неравенство (5.29) приближенно. В частности, исследования показали, что устойчивость численного решения зависит от выбора поверхности приведения в оболочке. Наиболее устойчивое решение получается в случае, когда в качестве поверхности приведения принимается нейтральная поверхность. Отмеченное обстоятельство не является решающим и при практических расчетах число точек ортогонализации при решении линейной краевом задачи можно выбирать согласно неравенству (5.29). При этом необходимо учитывать, что процедура рассчитана на использование лишь оперативной памяти, поэтому суммарное число точек М ограничено. Практика показала, что максимальное число точек ортогонализации для ЭВМ БЭСМ-6 не должно превышать 300—320. [c.133]

Выше отмечалось, что точного аналитического решения трехмерные краевых задач для линейно-унругих и упругонластических тел с тре щинами в настоящее время нет. Поэтому для решения таких задач используются различные приближенные и численные методы. Обзор по решению трехмерных задач для тел с трещинами приведен в работах 187, 1281. [c.13]

Численное решение геометрически нелинейной задачи было получено с помощью процедуры TASOR при М = 40, ML = = 1, PLO = 5, EPS = 10- TIM(1) = ТШ(2) = 1, UM(1) = 1, UM(2) = — = UM(6) = 0. Порядок ввода других параметров процедуры очевиден. По сравнению с п. 10.1 значения параметров М и PLO увеличены, что, как уже отмечалось, объясняется плохой обусловленностью линейной краевой задачи (2.52), (2.44). [c.220]

Следует отметить, что применение метода продолжения решения непосредственно к зфавнениям краевой задачи не связывает его численную реализацию с каким-либо конкретным способом алгебраизации исходной задачи и открывает возможности использования самых различных методов для решения пошаговых линейных краевых задач. [c.184]

При решении контактной задачи в качестве исходного приближения выбирается решение линейной бесконтактной задачи. Эффективность подобного подхода при решении контактных задач нелинейной теории оболочек продемонстрирована в работах [121,127, 1291. Линейные краевые задачи решаются методом ортогональной прогонки С. К. Годунова. Коэффициенты матрицы [С] и вектора [D] (11.27) получаем численным интегрированием по формулам Ньютона — Котеса четвертого порядка. Уравнения (11.24) — (11.29), дополненные граничными условиями (П. 12) и условиями сопряжения (11.23), полностью определяют НДС осесимметрично нагруженной конструкции из оболочек вращения на п-т приближении итерационного процесса. Если необходимо получить ряд решений при пошаговом изменении нагрузки q, то начальное приближение для находим экстраполяцией по решениям для. ... .. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда модуль максимального относительного расхождения компонент yt вектора решения Y для каждой точки ортогона-лизации меньше наперед заданного значения [c.39]

Определяемый системой уравнений (16.13) вектор Y дает приближенное решение исходной краевой задачи. Для его нахождения можно использовать один из численных методов [20]. В модельных задачах при небольшом числе разбиений N 100) будем применять встроенную Math AD-процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений AY = F, основанную на обращении матрицы А по методу LU-разложения (Y = A- F). [c.512]

Гл. I, Методы численного анализа достаточно полно изложены в [3, 6, И, 12, 15, 22, 29, 31, 36]. Современные методы решения систем линейных алгебраических уравнений содержатся в [31, 36] и книге Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры (М., 1977), а краевых задач — в [3, 29] и книге Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений (М., 1986). [c.227]

Методам и средствам решения этих задач и посвящена настоящая книга. В гл. 1 дана характеристика проблемно-ориентированного комплекса алгоритмов, программная реализация которого позволила получить необходимые решения краевых задач нестационарной теплопроводности, упругости, пластичности, задач оиределения ресурса на стадии возникновения и развития макротрещин, а также диагностирования дефектов по изменению электромеханических характеристик. В алгоритме сочетаются численные методы решения линейных и линеаризованных систем уравнений высокого порядка (10 и более) с приближенными аналитическими методами. -КоаеЕые словия определены экспериментально [c.17]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Заметим, что форма (1.40) есть аналитическое решение линейной задачи, а схема решения краевой задачи (1.46) — численное определение начальных и, если требуется, конечных параметров. Теоретически определение граничных параметров линейной системы из уравнения (1.46) можно выполнить аналитически, но целесообразней применять численный метод исключения Гаусса, т.к. трудности аналитического решения резко увеличиваются с ростом порядка матригцз А. Поэтому данное сочетание задачи Копти и численного решения краевой задачи позволяют определить предложенный одномерный вариант МГЭ как численно-аналитический метод решения дифференциальных уравнений независимо от физического содержания задачи. Если требуется решить задачу для линейной системы, состояние каждого элемента которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то всегда можно применить предложенный выше алгоритм. Если состояние элементов описывается дифференциальными уравнениями в частных производных(пластинчатые и оболочечные системы), то для применения одномерного варианта МГЭ нужны дополнительные преобразования, сводящие дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальных уравнениям. В математике, как известно, возможность понижения мерности исходной задачи существует. В механике такую процедуру выполняет вариационный метод, предложенный с разных позиций вьщающимися советскими учеными академиком Л.В. Канторовичем и членом-корреспондентом АН СССР В.З. Власовым, который носит их имя. [c.390]

Систему трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (7.5) можно решить на ЭВМ с помощью численных методов. Для решения задачи реализуем стандартную подпрограмму DLBVP [184], которая сводит решение краевой задачи к решению задачи Коши, где модифицированным предиктор-корректор методом Хэмминга четвертого порядка решают дополнительные задачи Коши и определяют перемещения Uz, 0, Ч " завершающей задачи Коши. Интеграл вычисляется по интегральной формуле Эрмита четвертого порядка. Выбираем начальный шаг интегрирования Ды=0,01 м и задаемся допустимой погрешностью вычислений е=МО- [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...