Решение однородной линейной краевой задачи

РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ [c.80]

В. И. Моссаковский и М. Т. Рыбка (1964, 1965) рассмотрели упомянутую выше задачу Р. А. Зака для случая неоднородного хрупкого материала, состоящего из двух склеенных полупространств с различными упругими свойствами. В плоскости склейки имеется круглая в плане трещина под действием однородных напряжений, приложенных на бесконечности и перпендикулярных границе раздела полупространств. С помощью задач теории потенциала авторы получают решение сведением проблемы к линейной краевой задаче теории аналитических функций. [c.388]

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага нагружения изложено в 2.3. Возможны различные варианты нагружения стержня а) пропорциональное увеличение нагрузок б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружения, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одиу нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи. [c.123]

Здесь г (х) — заданная непрерывная функция. Краевые условия Nj у) — О представляют собой линейные однородные уравнения относительно значений неизвестной функции и ее производных до порядка к — 1 включительно в фиксированных точках х = О и X I. Если однородная краевая задача (1.13), (1.14) (т. е. задача (1.13), (1.14) при г х) = 0) имеет только нулевое решение, то существует функция Грина С х, ). При этом единственное решение краевой задачи (1.13), (1.14) дается формулой [c.236]

Индекс S определяется условием существования нетривиального решения однородной краевой задачи — должен быть равен нулю определитель Л системы линейных однородных уравнений для неизвестных коэффициентов В , С , D , получаемой в записи [c.184]

В книге со всей разумной полнотой и строгостью рассматривается линейная статика тонкой упругой однородной изотропной оболочки. Выводятся общие уравнения теории, обсуждаются возможные приближенные методы их решения, исследуются краевые задачи, возникающие в процессе приближенного расчета оболочек. [c.2]

Случай I Д7 < Зл. Стерженек, с помощью которого условно изображается краевое закрепление, при однократном обходе края оболочки совершает менее чем полтора полных оборота в положительном направлении (по часовой стрелке, если смотреть со стороны внешней нормали). Тогда однородная статическая задача не имеет нетривиальных решений, а число линейно независимых нетривиальных решений однородной геометрической задачи [c.255]

Таким образом, решение задачи А сводится к решению двух рекуррентных последовательностей задач. Одна из них (задачи Д (р), р = 0, 1, 2,. ..) состоит в решении краевых задач линейной теории вязкоупругости для анизотропной однородной среды [c.269]

Согласно (3.10), если Ф(2) и 4 (2 ) удовлетворяют граничным условиям, то Ф(С12) и F( i2) ( l — произвольное действительное число) также им удовлетворяют. Вследствие линейности и однородности краевой задачи функции С2Ф г) и 2W z) (С2 — произвольный действительный параметр) также будут решениями. Следовательно, общее решение, порожденное некоторыми решениями Ф(2) и 4 (2), имеет вид соответственно С2Ф(С12) и 2 F( i2) иначе говоря, множество искомых функций допускает группу подобия (автомодельные решения). Согласно определению группового свойства Р ], функции Ф(2) и Ч (2) должны удовлетворять функциональному уравнению [c.60]

Задача заключается в определении минимального значения параметра Т , при котором линейная однородная краевая задача (4.3.4), (4.3.5) допускает нетривиальное решение. Это решение строим в форме рядов Фурье [c.114]

С математической точки зрения проблема заключается в определении собственных значений и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы уравнений (5.3.4). В отдельных случаях (каноническая форма пластинки, однородное докритическое состояние, специальный вид краевых условий) решение этой задачи не вызывает затруднений и осуществляется элементарными методами. Примером может служить задача об устойчивости шарнирно закрепленной прямоугольной пластинки, равномерно сжатой в своей плоскости в одном или в двух направлениях. Однако в большинстве случаев исследование устойчивости равновесия пластинки является сложной математической проблемой, требующей для своего решения применения специальных методов. [c.144]

И В 2л -периодичности решения по угловой координате (р. Спектр бифуркационных нагрузок и соответствующих им форм потери устойчивости определяется путем интегрирования линейной однородной краевой задачи на собственные значения для данной системы дифференциальных уравнений с частными производными. Коэффициенты Т, Т, Т, dw/ds, dw/d

[c.257]

Методы граничных элементов, рассмотренные выше, предназначены для решения двумерных краевых задач в случае однородного изотропного линейно-упругого тела. Теперь покажем, как эти методы путем простой перестройки имеющихся программных модулей можно распространить на задачи, в которых рассматриваемая область является неоднородной. [c.169]

Замечание. В [15] указан способ представления общего решения однородной системы п линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде дифференциального оператора, примененного к п функциям ф , каждая из которых определяется из своего более простого, чем исходные, дифференциального уравнения. Для сведения краевой задачи к ИУ по границе можно использовать потенциалы , соответствующие дифференциальным уравнениям для функций (pi. В теории упругости подобный способ применяется в [16]. [c.187]

Естественно, что при решении краевых задач для линейного однородно стареющего вязкоупругого тела при общих граничных условиях можно воспользоваться суперпозицией рассмотренных случаев. [c.35]

Основная идея метода Бубнова — Галеркина состоит в том, что приближенное решение однородной краевой задачи ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех в применении метода определяется выбором базисных функций и числом этих функций, входящих в разложение. При удачном выборе базиса достаточно точные результаты получаются уже при аппроксимации решения сравнительно небольшим числом функций. [c.28]

Итак, однородная задача (24), (26) имеет счетное множество решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе 2 ([—1, 1]). Полагая, что система т является полной системой линейно независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что решение однородного уравнения конвективной теплопроводности (4) существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса Во, если на его поверхности о задана температура как функция сферического угла 9. На бесконечности температура предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить решение и в том случае, если на поверхности 8о задать тепловые граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные произвольные коэффициенты Сп, содержащиеся в т , и здесь однозначно определяются. Каждый коэффициент взаимно однозначно связан с интенсивностью 2 -польного теплового источника. [c.267]

Найти точное аналитическое решение краевых задач (23)-(27), (28)-(32), (33)-(35) не представляется возможным. Будем искать приближенное решение методом конечных разностей [15]. В результате получаем бесконечную систему однородных алгебраических уравнений, линейных относительно параметров Л , В пт. [c.308]

Однородная краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений (1.17) может иметь нетривиальные (отличные от нз ля) решения для w при некоторых значениях параметров нагружения в -конфигурации, входящих в представление 0. Равновесие в -конфигурации в этом случае называется нейтральным, а параметры нагружения критическими (или бифуркационными). Сказанное здесь связывается с задачей устойчивости равновесия разъяснению ее содержания уделено место в 10—25 этой главы. [c.336]

В книге изложены алгоритмы численного решения задач прочности, устойчивости и колебаний симметрично нагруженных тонкостенных оболочечных конструкций, состоящих из набора произвольных оболочек вращения, соединенных непосредственно или с помощью упругих шпангоутов. В этом случае исходная система уравнений, описывающих поведение конструкции, может быть сведена к краевой задаче для систем линейных или нелинейных, однородных или неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Такая формулировка краевых задач позволяет выбрать единый подход к их численному решению. [c.3]

Таким образом, выбор узловых точек /п<р> при решении задачи устойчивости должен производиться не только из условия обеспечения устойчивого процесса решения линейной однородной краевой задачи, но и из условия обеспечения достаточной точности при интерполяции величин б, , Т . [c.171]

Рассмотренная реализация вычисления определителя Д (Я) показывает, что узловые точки х при решении задачи устойчивости необходимо выбирать не только из условия обеспечения устойчивого процесса решения линейной однородной краевой задачи, но и из условия обеспечения достаточной точности при интерполяции величин Тп,..., D по формулам (5.24) — (5.25). [c.301]

Но Wi, u 2, ivg — линейно независимые решения однородной краевой задачи Ё , и, следовательно, из (4.8с) имеем i= = g—0 Так как однородная система (4.7с) не имеет нетривиальных решений, то неоднородная система уравнений (4.6) и (4.7а) всегда допускает решение и оно определяется однозначно. [c.229]

Задачей, допускающей эффективное точное решение, является задача о расклинивании бесконечного тела неподвижным клином. Г. И. Баренблатт (1959) получил решение такой задачи для клина постоянной толщины. В отличие от этого случая, когда положение точек схода известно, для клина с закругленной передней кромкой требуется еще определение положения точек схода поверхности трещины с клина. Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (1960) исследовали вопрос распространения трещины перед клином с малым закруглением и клином, где форма закругления задается по степенному закону. Здесь проведено исследование случая куло-нова трения, действующего на щеках клина. И. А. Маркузон (1961) сделал дальнейший шаг в исследовании проблемы расклинивания хрупких тел. Он получил зависимость длины трещины от длины клина и исследовал влияние однородных сжимающих или растягивающих напряжений на бесконечности на длину свободной трещины в задаче о расклинивании бесконечного тела клином конечной длины. Задачи расклинивания рассматривались также в работе Г. П. Черепанова (1962) в качестве примера приложения полученного им решения одной линейной краевой задачи Римана для двух функций к смешанным задачам плоской теории упругости. [c.384]

Все рассмотренные выше методы решения задач теории решеток в той или иной форме содержали решения линейных краевых задач (Дирихле, Неймана или смешанных) для гармонических функций, в большинстве случаев однородных или кусочно-однородных задач, причем, как правило, выбор искомой функции, вид канонической области и способы вычислений специально не обосновывались. Между тем именно от этой стороны вопроса зависят успех решения задач и эффективность результатов, что, в частности, наиболее ясно показали работы московской школы в задачах теории решеток из тонких профилей и струйных течений. [c.122]

Покажем, используя кетод разделения переменных Фурье для получения решения линейной однородной краевой задачи для функции W, что и. (х, у, )->0 при t oo. Рассмотрение проведем на примере соответствующей одномерной задачи в области Имеем [c.131]

Тензор представляет линейный дифференциальный оператор над вектором w. При отсутствии добавочных массовых и поверхностных сил (k = О, / = 0) ) задача разыскания w сведется к однородной системе линейных относительно w дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями. Это —так называемые уравнения нейтрального равновесия. Они допускают, конечно, тривиальное решение и> = 0. Но могут иметь место решения, отличные от тривиального, когдя наряду с рассматриваемым состоянием равновесия У-объема, нагруженного силами К, F, существуют близкие к нему равновесные состояния. Значения параметров нагружения, для которых уравнения нейтрального равновесия имеют нетривиальное решение, называются бифуркационными. Сформулированная однородная краевая задача позволяет найти бифуркационные [c.725]

Наибольшие трудности вызывает построение коэффициентов С при однородных решениях так как для нелинейных краевых задач в областях с угловыми точками в настоящее время нет теории, аналогичной развитой в работах В. А. Кондратьева, В. Г. Мазьи и Б. А. Пламе-невского [4, 10] для линейных эллиптических задач в областях с коническими точками. [c.86]

В большинстве практически важных случаев для описания докритического равновесного положения оболочки можно использовать линейные уравнения изгиба. При этом характеристики основного напряженно-деформированного состояния пропорциональны параметру нагрузок. Если же в уравнениях устойчивости сохраняются члены, которыми учитывается влияние перемещений и деформаций перед потерей устойчивости, то зависимость коэффициентов этих уравненй от параметра нагрузок в общем случае остается нелинейной. Эта зависимость становится линейной лишь тогда, когда пренебрегается как нелинейностью основного равновесного состояния, так и влиянием докритических деформаций. В этом случае решение задачи устойчивости сводится к определению собственных чисел и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы дифферециальных уравнений с частными производными. Упрощенные уравнения такого типа позволяют выявить точки бифуркации и нашли широкое применение [c.61]

Замкнутая система нелинейных интегродифференциальных уравнений (8.1)-(8.3), (8.6)-(8.8), (8.10) описывает поведение трехслойной вязкоупругопластической оболочки при квазиста-тическом нагружении. О ее точном решении системы говорить не приходится. Для решения конкретных краевых задач предлагается использовать комбинации известных методов линейных приближений, изложенных в 1.10 для однородных сред и основанных на известном методе упругих решений Ильюшина. [c.465]

Таким образом, для однородных винтовых течений с винтовой симметрией задача отыскания поля скорости может быть полностью сведена к решению соответствующей краевой задачи для од1Юго скалярного однородного линейного уравнения (1.77). Затем по известному по]по скорости давление может быть восстатювлено с помощью интеграла Бернулли. [c.60]

Таким образом, амплитуды возмущений ф(л ) и 0(л ) определяются из системы обыкновенных линейных однородных уравнений с однородными граничными условиями. Краевая задача (43.11) — (43.13) является характеристической нетривиальное решение существует лишь при определенных значениях параметра X. Декременты находятся как собственные числа краевой задачи соответствующие собственные функции ф и 0 определяют структуру характеристических возмущений скорости и температуры. Собственные значения X зависят от параметров — чисел Грасхофа О и Прандтля Р, а также от волнового числа к. Поставленная краевая задача является несамосопряженной, и поэтому ее собственные числа X, вообще говоря, комплексны X = Хг + 1Х . Вещественная часть Хг определяет скорость затухания или нарастания возмущений. Мнимая часть Х дает частоту колебаний при О возмущения распространяются в потоке в виде плоских волн с фазовой скоростью с = Х к. [c.304]

Из (31), (33) следует, что (32) представляет собой разложение по действительным показателям степени В, по крайней мере, в области пе очепь больших значений Ке и Рг. Заметим, что при Рг = О или Ке = О система функций, отвечающая положительным показателям степени при В, тп(п<0) также совпадает, как и при га > О, с полной липейно независимой системой полиномов Лежандра. Можно полагать, как и в случае с га > О, что свойства полноты и линейной независимости функций (га<0) сохраняются и при Рг >0, Ке > 0. Это дает основание утверждать, что решение тепловой задачи в шаровом слое также существует и единственно и представимо в виде разложения (32). Видимо, существование и единственность решения краевой задачи для однородного уравнения конвективной теплопроводности будут иметь место, как в случае уравнения Лапласа, и для областей более общего вида. [c.268]

Задачи, рассмотренные в настоящей статье, при малых магнитных числах Рейнольдса сводятся к уравнению Пуассона или к неодно-эодному эллиптическому уравнению более общего вида с линейными краевыми условиями. Однородные уравнения получаются только в отдельных случаях. Вместе с тем при рассмотрении конкретных задач предпочтительнее пользоваться однородными уравнениями, для которых существуют эффективные методы решения, основанные на теории функции комплексного переменного. Поэтому представляет интерес изучение задач о течении в каналах с диэлектрическими стенками, так как отсюда получаются наиболее простые частные решения неоднородных уравнений, необходимые для перехода к однородным. [c.533]

Следовательно, однородная задача (З-За, Ь) не имеет ненулевых решений, а задача Ё (3.3а, Ь) на каждой координатной поверхности 1 x = onst имеет Зти — 3 линейно независимых решения Jv i, Поэтому неоднородная краевая задача Ё (3.3а, Ь) [c.229]

Мы обозначили линейно независимые решения соответствующей однородной краевой задачи (Z = 0, = 1, 2, 3) их число равно Зт — 3. В самом деле, числа I и V решений соответствующих однородных задач свнзаны соотношением (см. [2а], гл. 4, 4) [c.230]

Это равенство, где v — произвольное решение однородной задачи (3.22а, Ь)л представляет необходимое условие разрешимости краевой задачи (3.13а) и (3.21d). Если однородная задача (3.22aj Ь) имеет к линейно независимых решений то равен- [c.273]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...