Уравнение дифференциальное изгиба (равновесия)

Пластинки прямоугольные гибкие 597 — Деформации и напряжения 597—599 — Изгиб 597—608 — Расчет при давлении равномерно распределенном 602—606 — Уравнения дифференциальные и равновесия 598—600 — Условия граничные 600, 601 [c.822]

В положении равновесия первая вариация полной потенциальной энергии должна обращаться в нуль при любых допустимых вариациях поперечного прогиба. Отсюда следует дифференциальное уравнение поперечного изгиба стержня [c.27]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Уравнения, связывающие усилия и моменты, действующие в трехслойной пластинке или оболочке могут быть получены из рассмотрения условий равновесия элемента, выделенного из трехслойного пакета. Таким путем получается система из пяти дифференциальных уравнений относительно изгибающих моментов Aix, Му, крутящего момента Я, усилий в срединной поверхности среднего слоя Nx, Ny, Т и перерезывающих сил Qx, Qy. Для трехслойной весьма пологой оболочки система уравнений при изгибе имеет вид [c.248]

Подставляя выражения (107) в уравнения равновесия пластинки (66), получим следующую систему дифференциальных уравнений, описывающих изгиб кольцевой пластинки с радиальной армировкой [c.41]

Подставляя выражения (117) в уравнения равновесия с учетом соотношений (118), получим дифференциальные уравнения несимметричного изгиба круглых пластин [c.44]

Наиболее общий способ — непосредственное интегрирование дифференциального уравнения криволинейной формы равновесия, как это проделано выще для простейшего случая двухпролетной стойки. Другой способ, в ряде случаев более быстро ведущий к цели, — использование теоремы о трех моментах , обобщенной на случай продольно-поперечного изгиба (см. ниже пример расчета конденсаторных трубок в условиях меняющегося теплового режима конденсатора). [c.781]

Расчет изотропных пластин на изгиб сводится к решению краевой задачи для дифференциального уравнения равновесия (6.12) относительно функции прогибов и> х, у) [c.241]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

Это основная и наиболее употребительная система дифференциальных зависимостей между М , Qy, гпх и qy при решении задачи о плоском поперечном изгибе балки. Если изгиб балки происходит в двух плоскостях, то учитывается система уравнений равновесия, выражающая поведение балки в плоскости Охг. Для этого случая положительные направления сил и моментов представлены на рис. 2.14 в проекции на плоскость Охг. Составив аналогично преды- [c.35]

При исследовании задач изгиба воспользуемся вновь функцией напряжений ср(х, у). Легко видеть, что дифференциальные уравнения равновесия (б) и (в) предыдущего параграфа удовлетворяются, если принять [c.360]

Дифференциальные уравнения равновесия стержня. Перемещения при изгибе [c.194]

Дифференциальное уравнение изгиба пластинки. Третье из уравнений равновесия (2.78) можно использовать для отыскания Ог. При ЭТОМ удается установить основное дифференциальное [c.183]

Рассмотрим идеальную мембрану, т. е. пленку бесконечно малого веса и бесконечно малого сопротивления изгибу, натянутую с равномерным натяжением на краях на некоторый замкнутый контур (рис. 35). Мембрана растягивается под действием постоянного избыточного давления р, которому подвержена одна из ее поверхностей. Мембрана уравновешивается благодаря равенству внешних растягивающих равномерно распределенных сил и сил натяжения внутри мембраны на границе S. Составим дифференциальное уравнение поверхности мембраны z х, у), используя для этого уравнения статического равновесия некоторого бесконечно малого элемента поверхности мембраны со сторонами dx и dy. [c.79]

Такое устремление значений функций к бесконечности происходит при значениях силы Р, равных соответственно п ЕЦР и 4л Е1/Р. Эти значения сил играют фундаментальную роль в теории устойчивости первоначальной формы равновесия сжатых упругих стержней. Здесь же заметим, что бесконечного роста ни перемещений, ни углов поворота, ни усилий в действительности быть не может и сам факт такого возрастания указанных величин, обнаруживаемый расчетным способом, свидетельствует о неправомочности расчетного аппарата при условии значительного роста перемещений, поскольку в этом случае нельзя использовать приближенное дифференциальное уравнение изгиба стержня. Использование же точного дифференциального уравнения позволило бы получить достоверную картину роста перемещений в области больших их значений. [c.325]

Систему с распределенными параметрами — ротор с распределенной массой т (s) и жесткостью на изгиб EI (s) можно рассматривать как предельный случай ротора с п сосредоточенными массами при неограниченном возрастании п. Прогибы у, точек, к которым отнесены сосредоточенные массы, переходят в пределе в непрерывную функцию, устанавливающую закон распределения максимальных отклонений (амплитуд динамических прогибов), точек оси ротора от положения равновесия. Тогда интегральное уравнение (11) можно рассматривать как предельный случай системы п линейных дифференциальных уравнений с п неизвестными, и по аналогии с этой системой искать периодическое решение интегрального уравнения в виде [c.142]

Для учета влияния нагрузок в срединной плоскости на ее изгиб необходимо составить дифференциальные уравнения равновесия элемента пластины в искривленном состоянии, то есть произвести так называемый расчет по деформированной схеме. Ввиду малости углов наклона касательных к изогнутой срединной поверхности пластины примем [c.465]

Пример 4. Возвращаясь к данным примера 3, составим дифференциальное уравнение изгиба стержня при малых отклонениях и (х) от положения равновесия [c.478]

В положении равновесия должно выполняться условие стационарности полной потенциальной энергии 65 == 0. Воспользуемся сейчас этим условием, чтобы получить дифференциальное уравнение изгиба пластин. Уравнение Эйлера для функционала полной потенциальной энергии пластины имеет вид (см. Приложение I) [c.63]

Дифференциальные уравнения в частных производных для совместных изгиба и кручения лопасти обычно получают из условий равновесия сил и моментов, действующих на элемент лопасти, лежащий между сечениями на радиусах г и гdr. В системе координат, связанной с плоскостью вращения, рассмотрим перерезывающие силы, изгибающие моменты, растягивающую силу и момент кручения, действующие в сечении лопасти (рис. 9.14). На элемент лопасти действуют также распределенные силы (составляющие рх, рг и рг) и моменты (составляющие qx, qz и qr). Выпишем условия равновесия сил и моментов, действующих на элемент лопасти [c.414]

Такие напряжения удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии объемных сил и условию совместности деформаций и воспроизводят равномерное растяжение и изгиб в двух на- [c.166]

Здесь, на основе концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия и выведенных в предыдущих параграфах нелинейных уравнениях изгиба, устанавливаются линеаризованные дифференциальные уравнения устойчивости многослойных композитных анизотропных оболочек. Подробное изложение этой концепции и методики получения пространственных линеаризованных уравнений устойчивости из нелинейных уравнений теории упругости приведено в монографии [206 ]. Для однородных изотропных абсолютно жестких на поперечные сдвиги и обжатие оболочек эти вопросы достаточно полно рассмотрены, например, в монографиях [85, 104, 189], а для многослойных анизотропных оболочек с ограниченной поперечной сдвиговой жесткостью — в монографиях [52, 60, 116]. [c.59]

ИЗ которых следует дифференциальное уравнение равновесия стержня при изгибе [c.123]

Перейдем теперь к общему вопросу о форме изогнутой поверхности пластинки, когда изгиб приводит к плоскому распределению напряжений. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть три дифференциальных уравнения равновесия с шестью условиями совместимости. Если пренебречь объемными силами ), то эти уравнения будут [c.117]

МЫ получим ДЛЯ W дифференциальное уравнение в частных производных (104), выведенное уже ранее из условий равновесия элемента пластинки. Интегралом (h) можно, однако, с успехом воспользоваться и в приближенном исследовании Изгиба пластинки. С этой целью заменим задачу вариационного исчисления задачей об отыскании минимума некоторой функции, допустив, что прогиб w может быть представлен в виде ряда [c.383]

В предшествующем изложении всюду предполагалось, что пластинка изгибается одними лишь поперечными нагрузками. Если кроме поперечных нагрузок в условиях задачи имеются еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то эти последние силы могут оказать значительное влияние на изгиб пластинки, и потому при выводе дифференциального уравнения изогнутой поверхности их необходимо принять в расчет. Поступая, как и в случае поперечной нагрузки (см. 21, стр. 96), рассмотрим равновесие малого элемента, вырезанного из пластинки двумя парами плоскостей, параллельных координатным плоскостям xz и yz (рис. 191). В отличие, однако, от случая, рассмотренного в 21, у нас теперь будут еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки. Обозначим величину этих сил по отнесении их к еди- [c.421]

Приведение системы уравнений равновесия к двум дифференциальным уравнениям второго порядка. Из изложенного в предыдущем параграфе выясняется, что с помощью выражений (313) и (314) мы можем получить из уравнений (312) три уравнения с тремя неизвестными V, W и Q . Пользуясь третьим из этих уравнений, мы легко можем исключить перерезывающую силу Q , и тогда три уравнения сведутся у нас к двум уравнениям с неизвестными v п w. Именно таким способом и были получены уравнения, послужившие инструментом для первых исследований изгиба оболочек ). Значительного упрощения уравнений можно достигнуть введением новых переменных 2). В качестве одной из этих новых переменных мы примем угол поворота касательной к меридиану. Обозначив этот угол через V, [c.591]

В элементарной теории изгиба пластинок исходят из предположения, что срединная плоскость при изгибе не испытывает растяжений и что линейные элементы, перпендикулярные срединной плоскости, сохраняют после изгиба свою прямолинейную форму и устанавливаются нормально к искривленной срединной поверхности. Точная теория пластинок, разработанная трудами английских ученых, дает основание заключить, что дифференциальное уравнение равновесия изогнутой пластинки [c.314]

Бифуркационный метод определяет состояние системы как критическое, если эта система допускает нетривиальные конфигурации равновесия. Рассмотрим колонну длиной I (рис. 5), нагруженную силой Р. Жесткость на изгиб обозначим через а = EI. Дифференциальное уравнение равновесия для этой задачи имеет вид аи" = —Ри (9.1) [c.56]

В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесимметричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратносимметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [c.13]

Распределение напряжений по толщине заготовки можно найти из совместного решения дифференциальных уравнений равновесия и уравнения пластичности. В рассматриваемом случае, учитывая постоянство кривизны по всей длине изгибаемой заготовки (по углу), для анализа поля напряжений используем полярную систему координат с полюсом, совпадающим с центром кривизны заготовки в данный момент деформирования. При этом следует учесть, что при изгибе моментом, ввиду отсутствия перерезывающих сил, касательные напряжения Тдр отсутствуют и напряжения Од и Ор являются главными нормальными напряжениями. Уравнение равновесия (рис. 53) получит вид [c.117]

При исследовании малых прогибов упругих стержней показано, как можно ввести поперечный сдвиг в дифференциальное уравнение равновесия этой теории. Излагается расчет балок на упругом основании и важная для судостроения задача, поставленная И. Г. Бубновым, о расчете перекрестных балок. Рассмотрен продольно-поперечный изгиб балок, приводится точное, а также приближенное, развитое автором, решение в тригонометрических рядах. Дается систематизированное изложение теории выпучивания прямых сплошных стержней, полос, круговых колец, двутавровых балок, устойчивости вала при кручении. Уточняется известная задача Ф. С. Ясинского о расчете на устойчивость пояса открытых мостов. Приводятся точные и приближенные решения этой задачи энергетическим методом, данные самим автором. Особенно ценны результаты, относящиеся к устойчивости плоской формы изгиба полос и двутавровых балок. Теория изгиба, кручения и устойчивости двутавровых балок была разработана автором в 1905—1906 годах и оказалась основополагающим исследованием для последующих разработок в области расчета и общей теории тонкостенных стержней. Автор приводит компактные формулы для расчета критических сил. [c.6]

Результатами предыдущего параграфа иногда пользуются для приближенной оценки устойчивости сжатых поясов открытых мостов. Проф. Ф. С. Ясинский поставил себе задачей более подробное исследование этого же вопроса. Он рассматривает сжатый пояс равномерно нагруженной фермы с параллельными поясами (рис. 57). В таком случае можно считать, что усилия в раскосах возрастают по направлению от середины пролета к опорам по линейному закону, и положить, что верхний пояс сжимается непрерывно распределенными усилиями, интенсивность которых изменяется по закону, представленному на рис. 57, б заштрихованной площадью. Через Q обозначена вся нагрузка, приходящаяся па ферму к — высота фермы. Предположим, что опорные стойки АА и ВВ устроены так, что верхние их точки А и В совершенно не могут перемещаться в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Что же касается промежуточных стоек, то они сравнительно гибкие, и мы для простоты допустим, что жесткость их при изгибе в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, одинакова. В таком случае верхний пояс можно рассматривать как стержень с опертыми концами, сжатый непрерывно распределенными усилиями, интенсивность которых представлена на рис. 57, б. В этом виде вопрос об устойчивости сжатых поясов открытых мостов впервые был поставлен и разрешен Ф. С. Ясинским Заменив действие отдельных стоек действием непрерывной упругой среды жесткость которой характеризуется коэффициентом к, Ясинский применил первый метод исследования устойчивости (рассмотрение условия равновесия отклоненной формы, весьма близкой к первоначальной форме равновесия), он допустил возможным искривление верхнего пояса в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка (рис. 57, а), и для этой искривленной формы составил дифференциальное уравнение равновесия. [c.285]

Балку длины I и единичной ширины будем представлять себе вырезанной" из пластинки двумя нормальными сечениями у = с, у=с+ с = onst). Уравнения ее изгиба полностью аналогичны уравнениям цилиндрического изгиба пластинки. Эти уравнения получим из общей системы (3.5.1) — (3.5.7), опуская в ней нелинейные и динамические слагаемые и принимая во внимание равенства = О, справедливые при перечисленных условиях для обеих рассматриваемых конструкций. Кроме того, в задаче изгиба пластинки верно равенство = О, а в задаче изгиба балки — уу Обращаясь к дифференциальным уравнениям равновесия (3.5.7), замечаем, что второе и пятое из них удовлетворяются тождественно, а остальные записываются в виде [c.95]

Решение. Определяем Ркр методом Эйлера. Находим такое значение силы Р, при котором наряду с исходной прямолинейной формой существует смежная риволинейная форма равновесия стержня (рис. 6). Упругий стержень представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Уравнение равновесия стержня в смежном состоянии будет дифференциальным уравнением изгиба [c.256]

Предположив, что изгиб отсутствует и продольная сила равна нулю, мы получим формулу (9.14.3) для нормальных напряжений, связанных только с кручением. Рассматривая равновесие малого элемента, изображенного на рис. 3.7.3, мы найдем, что нормальные напряжения, меняющиеся с координатой Хз, влекут за собою появление касательных напряжений, и дифференциальное уравнение рановесия элемента будет [c.315]

Таким образом, метод Ритца—Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения (7.17) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки (7.17), так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что вариационное уравнение (з) включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме [c.157]

Усилия и перемещения в сечениях балок. Нагрузка статическая или динамическая механические параметры балки постоянны. Вводится аналогия между распределением токов, потенциалов и электрической энергии в электрической цепи и условиями равновесия, деформациями и потенциальной и кинетической энергиями в деформируемой системе. Электрическая модель составляется из активных и реактивных сопротивлений и трансформаторов по участкам балки в соответствии с тем, что дифференциальное уравнение изгиба балки четвертого порядка может быть заменено уравнениями в конечных разностях по сечениям х . 1, X I, х , X I,. .. В элек- [c.600]

Дифференциальные уравнения изгиба пластин. Рассмотрим упругое равновесие тонкой пластины, представляющей собой тело цилиндрической формы, высота (толщина пластины) которого мала по сравнению с размерами оснований. Отнесем пластину к декартовой системе координат Oxyz, разместив оси Охи Оу ъ ее срединной плоскости (рис. 67). В классической теории изгиба тонких пластин усилия и моменты выражаются через прогиб срединной поверхности W (л , у) [c.247]

Эйри проявлял неизменный интерес к применениям математики в решении технических задач. Он принимал непосредственное участие в сооружении больших трубчатых мостов и показал Фейрбейрну, каким образом можно определять необходимые размеры поперечных сечений этих мостов по результатам, полученным из испытаний моделей (стр. 193). Занявшись теорией изгиба балок, он представил в 1862 г. доклад на эту тему в Королевское общество ). Рассматривая балку прямоугольного сечения как объект двумерной задачи, Эйри получает дифференциальные уравнения равновесия [c.273]

В соответствии с вариационным принципом Лагранжа приравняем полученное выражение к работе внешних и контурных усилий (6.4), (6.5) и потребуем выполнения этого равенства при любых значениях варьируемых перемещений. Это возможно, если равны нулю коэффициенты при независимых вариациях искомых функций. Отсюда следует система дифференциальных уравнений равновесия в усилиях, описывающгш деформирование круговой трехслойной пластины при изгибе [c.308]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

Следовательно, форма равновесия, которую получает тело под действием заданных сил, характеризуется тем, что функция перемещений и, v ш w, представленная выражением J = 2W — JjJ Vdxdydz, приобретает значение максимума или минимума, так как первая вариация этой функции обращается в нуль для всех возможных перемещений бм, б у, bw. В дальнейшем мы будем пользоваться этим обстоятельством и иногда будем интегрирование дифференциальных уравнений заменять разысканием максимума или минимума функции J. Таким путем можно находить приближенные решения при исследовании изгиба стержней и пластинок. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...