Дифференциальные уравнения на поверхностях

Если 1 — собственный вектор для характеристической поверхности Ф, то дифференциальное уравнение на поверхности Ф получим из условия [c.241]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ, [c.44]

Глава 2. Дифференциальные уравнения на поверхностях. ... 44 Глава 3. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном вещественном фазовом пространстве......51 [c.243]

Выше при рассмотрении пленочной конденсации формулировка уравнений, описывающих движение и теплообмен в двухфазной системе, не вызывала принципиальных затруднений, поскольку обе фазы образовывали непрерывные потоки с одной отчетливо выраженной поверхностью раздела. Кипение представляет пример такого процесса, в котором компоненты потока могут быть в чрезвычайно сильной степени раздроблены на пузыри, капли, пленки. Для любого дифференциального объема каждого из таких конечных дискретных элементов системы безусловно справедливы рассматривавшиеся нами ранее обш,ие дифференциальные уравнения движения и теплопроводности. Точно так же для любой дифференциальной площадки на поверхностях раздела фаз справедливы рассмотренные ранее условия теплового и механического взаимодействия. Однако вследствие весьма большого числа дискретных элементов системы, их непрерывного возникновения, роста и деформации в процессе движения и теплообмена, весь такой двухфазный поток в целом должен характеризоваться некоторыми специальными вероятностными законами системы многих неустойчивых элементов. Здесь в известной степени можно провести аналогию с турбулентным течением однородной жидкости, в котором для каждого дифференциального элемента справедливо уравнение Навье-Стокса, а весь поток в целом подчиняется специальным (еще плохо известным) статистическим законам турбулентного течения. [c.342]

Предполагаем, что на поверхности пластины действует распределенная нагрузка интенсивностью q= q x,y). Для вывода дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки выделим из ее состава бесконечно малый элемент с размерами dx, dy, h, где h - толщина пластины. Выделенный элемент с указанными внутренними усилиями изображен на рис. 11.2. [c.220]

В предшествующем изложении всюду предполагалось, что пластинка изгибается одними лишь поперечными нагрузками. Если кроме поперечных нагрузок в условиях задачи имеются еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то эти последние силы могут оказать значительное влияние на изгиб пластинки, и потому при выводе дифференциального уравнения изогнутой поверхности их необходимо принять в расчет. Поступая, как и в случае поперечной нагрузки (см. 21, стр. 96), рассмотрим равновесие малого элемента, вырезанного из пластинки двумя парами плоскостей, параллельных координатным плоскостям xz и yz (рис. 191). В отличие, однако, от случая, рассмотренного в 21, у нас теперь будут еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки. Обозначим величину этих сил по отнесении их к еди- [c.421]

На рис. 7.32-7.34 представлены результаты, полученные при решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений на передней кромке пластины при г = = —1. На рис. 7.32 представлена зависимость коэффициента напряжения трения т от скорости вдува Р для значений д = 0 0,1 0,2 0,5 1 (кривые 1-5) на пластине с углом стреловидности передней кромки 45° (го = 1). Для случая обтекания холодной пластины = О (кривая 1) видно, что коэффициент напряжения трения т О при Р 1,1 для Р > 1,1 решения в рамках теории пограничного слоя нет. Это означает, что при указанных скоростях вдува, больших предельного, начинает развиваться область невязкого течения в окрестности поверхности пластины. Качественно аналогичный результат был получен в статье [Нейланд В. Я., 1972] при исследовании двумерного течения около плоской пластины, через поверхность которой вдувался газ. При сравнении полученных данных с результатами, приведенными в работе [Нейланд В. Я., 1972], необходимо отметить следующие два важных отличия. Во-первых, при обтекании треугольных пластин при любых > О даже в окрестности перед- [c.350]

Как и в случае стержней, при определении критических нагрузок на пластинку исследуют формы равновесия, бесконечно близкие к начальному состоянию при этом можно считать, что дополнительные напряжения в срединной поверхности пластинки, появляющиеся при выпучивании, малы по сравнению с изгибными напряжениями. Так как при решении бифуркационных задач внешнюю поперечную нагрузку не учитывают, то для получения дифференциального уравнения выпученной поверхности необходимо в уравнении теории жестких пластинок [см. т. I, гл. 17, уравнение (19)] принять 17=0. Одновременно при исследовании смежных состояний изгиба необходимо учесть проекции повернутых внутренних усилий, показанных на рис. 1, где изображен элемент пластинки йх йу в изогнутом состоянии. [c.91]

Поясним сущность метода Галеркина на примере изгиба пластины. Подставим дифференциальное уравнение упругой поверхности пластины (6.18) в следующем виде [c.262]

Представим теперь, что гибкая нерастяжимая тонкая мембрана, натянутая на жесткий контур той же формы, которую имеет сечение скручиваемого стержня, подвергается равномерному нормальному давлению р по всей своей площади. Под действием этого давления мембрана выпучится в виде бугорка, имеющего основание в плоскости жесткого контура. Дифференциальное уравнение искривленной поверхности мембраны имеет вид [c.138]

При практическом применении изложенного выше точного метода вычисления критического значения нагрузки на пластину в ряде случаев возникают значительные трудности в нахождении решения дифференциального уравнения срединной поверхности, удовлетворяющей заданным краевым условиям. Кроме того, трансцендентность уравнений, к которым приводит точный метод, не позволяет выразить критическую нагрузку в явной форме. Поэтому, так же как и при рассмотрении устойчивости сжатых стержней, наряду с точным методом целесообразно использование приближенного метода расчета, основанного на рассмотрении потенциальной энергии выпучившейся пластины. [c.979]

В данном разделе затрагиваются вопросы существования замкнутых кривых из траекторий систем дифференциальных уравнений на двумерных поверхностях. Рассматриваемые фазовые кривые стягиваются в точку по фазовой поверхности. Таким образом, искомые замкнутые фазовые траектории являются подмножеством той части фундаментальной фуппы данной двумерной фазовой поверхности, представляющей тривиальную компоненту, которая существует для любого гладкого фазового двумерного многообразия. Замкнутые траектории всегда являются ключевыми (по крайней мере для систем на двумерных многообразиях), поскольку от их расположения зависит глобальное расположение многих остальных фазовых траекторий. Последний факт объясняется тем, что фазовые кривые, состоящие из траекторий динамических систем на двумерных многообразиях и стягиваемых по ним в точку, разделяют фазовое многообразие на две части (см. также [13, 176]). [c.81]

Подобно тому как непрерывное движение динамической системы можно описать разностными уравнениями на поверхности сечения Пуанкаре, физическую задачу, сформулированную в виде отображения, можно представить в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет использовать методы усреднения и резонансной теории возмущений, рассмотренные в гл. 2. Как показано в п. 3.1в, разностные уравнения можно преобразовать в дифференциальные с помощью периодической б-функции (3.1.33). В случае отображения [c.235]

В данном разделе затрагиваются вопросы существования замкнутых кривых из траекторий систем дифференциальных уравнений на двумерных поверхностях. Рассматриваемые фазовые кривые стягиваются в точку по фазовой поверхности. Таким образом, искомые замкнутые фазовые траектории являются подмножеством той части фундаментальной группы данной двумерной фазовой поверхности, которая представляет тривиальную компоненту. [c.189]

В случае, когда температура поверхности асимптотически мала по сравнению с температурой торможения при углах стреловидности крыла меньше критического, в пограничном слое возникают области закритического и докритического течения [2]. Области закритического течения (возмущения в них не распространяются вверх по потоку и реализуется автомодельное решение) располагаются около передних кромок и при обтекании плоских треугольных крыльев их протяженность зависит от угла стреловидности передних кромок [2, 3] и угла скольжения [4]. Причем как функции потока в закритической области, так и координата перехода определяются из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на передней кромке. Исследования обтекания неплоских треугольных крыльев [5] показали, что если форма поперечного сечения является степенной функцией с показателем 3/4, то размер области закритического течения такой же, как и при обтекании плоского крыла. Причем для известного параметра % = х/8, характеризующего отношение толщины крыла к толщине пограничного слоя, можно с помощью преобразование подобия [5] определить характеристики течения и в этом случае, зная решение в закритической области на плоском треугольном крыле. [c.178]

Если предположить отсутствие поляризации анодных участков, т. е. Al a = О (неограниченная анодная поверхность), и приблизительное постоянство плотности тока в различных точках включения, то для включений дискообразной формы, находящихся на большом расстоянии (по сравнению с диаметром диска) друг от друга, дифференциальное уравнение Лапласа [c.275]

Охлаждение однородного, изотропного тела произвольной формы в среде с постоянной температурой и постоянным коэффициентом теплоотдачи на его поверхности во времени определяется дифференциальным уравнением теплопроводности [c.398]

Дифференциальное уравнение (26-4) описывает процесс теплообмена на поверхности канала (п = 0). [c.406]

Стержни с непрерывно меняющимися по длине размерами сечений. Если размеры сечения стержня непрерывным образом изменяются по длине, то фор<мулы, полученные на основании гипотезы плоских поперечных сечений, становятся, вообще говоря, неверными (как и сама гипотеза). Однако некоторые точные решения теории упругости показывают, что в том случае, когда угол наклона образующей поверхности стержня к его осп невелик (не превышает 15— 20 ), с достаточной для инженерной практики точностью можно принимать распределение нормальных напряжений по высоте сечения прямолинейным. Тогда, естественно, можно пользоваться обычным условием прочности и дифференциальным уравнением упругой линии, т. е. [c.302]

Наиболее обоснованной моделью течения двухфазной среды является так называемая модель сплошной среды, основанная на построении и решении дифференциальных уравнений неразрывности и Навье—Стокса для каждой из фаз вместе с граничными условиями и условиями на межфазной поверхности. [c.186]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

В ряде случаев рассмотрение динамической системы сводится к исследованию системы дифференциальных уравнений (4.1), правые части которых терпят разрывы непрерывности первого рода на некоторых гладких поверхностях Si, S2,. .., 5ft, разбивающих фазовое пространство на некоторые области D , D , ., Dm- В каждой из областей Dj а = 1, 2,. ... т) движение системы определяется дифференциальными уравнениями [c.81]

Рассмотрим теперь поведение фазовой точки вблизи и на поверхности разрыва правой части дифференциальных уравнений (4.1) в случае трехмерного фазового пространства. Пусть 5 — одна из поверхностей разрыва Si п пусть [c.83]

Задача интегрирования дифференциальных уравнений механической системы еще сложнее, если на механическую систему наложены связи, силы реакций которых заранее не известны и должны быть дополнительно определены по заданным силам и связям аналогично случаю движения несвободной материальной точки по поверхности и кривой [c.283]

Для тех задач, в которых на всей граничной поверхности известны поверхностные силы (2.88), с помощью дифференциальных уравнений равновесия (2.85) и закона Гука (6.4) уравнения совместности деформаций выразим через напряжения [c.118]

В силу произвольности вариаций 8ut°, 8w из уравнения (9.74) следуют основные дифференциальные уравнения равновесия (9.30), (9.33) тонкой пластины, на которую действуют поперечные силы и силы, лежащие в срединной поверхности, а также статические граничные условия [c.204]

Проектируя векторы, входящие в последнее равенство, на оси системы координат Охуг, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности Р в таком виде [c.424]

Рассмотрим местный естественный триэдр геодезической кривой в точке М. Проектируя левую и правую части равенства (IV.207) на оси этого естественного триэдра, получим три скалярных дифференциальных уравнения движения точки по поверхности Р [c.426]

Для определения двух неизвестных начальных функций надо решить систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений которые могут быть сведены к одному разрушающему посредством введения функции перемещений — На боковых поверхно- [c.310]

Спроектировав обе части этого векторного уравнения на неподвижные оси декартовых координат, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по идеально гладкой поверхности (4) в следующем виде [c.480]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

Другим примером может служить тождественность дифференциальных уравнений, вырал<ающих закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня, дифференциальным уравнениям упругой поверхности мембраны, натянутой на конкретный контур и подвергнутой равномерно раюпределенному давлению. Эта тождественность лежит в основе получившего распространение метода мембранной аналогии, при использовании которого в пластинке выреза- [c.7]

Гес.метрические граничные условия (5) могут быть заданы в дифференциальной форме — в виде деформационных граничных условий [0.3, 3.8], а статические уравнения на поверхности (4) — в интегральной форме, в функциях напряжений. В этом случае могут быть заданы некоторые компоненты тензоров тангенциальной и иэгибной деформаций поверхности S и дополнительные компоненты тензора функций напряжений. [c.51]

Вопрос о распределении касательных напряжений при кручении может быть представлен особенно наглядно, если воспользоваться полной аналогией между основным уравнением (76) для кручения и дифференциальным уравнением для поверхности провисания нерастяжимой мембраны, равномерно натянутой на контур, соответствуюпщй контуру поперечного сечения стержня, и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой Обозначим через р растягивающее усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, и через q — нагрузку на единицу поверхности. Пусть А (рис. 67) представляет элемент мембраны, вырезанный плоскостями, параллельными плоскостям zx и zy. [c.128]

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени или начальные условия. Кроме того, должны быть известны гео-метрическая форма и размеры тела, физические ларамехры-среды, и тела и граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности, или краевыми условиями. [c.355]

Поверхности разрыва. При течении гетерогенной смеси могут возникать зоны (ударные волны, пристенные слои, контактные поверхности), в которых параметры среды изменяются существенно на расстояниях порядка размеров самих включений или меньших (нулевых с точкп зрения сплошной среды). В этих зонах представления сплошной гетерогенной среды и следующие из них дифференциальные уравнения (1.2.5) или (1.3.25) не имеют смысла. Поэтому, как это обычно делается, необходимо ввести в рассмотрение поверхность разрыва параметров течения, по обе стороны от которой выполняются уравнения непрерывного движения. Получим основные условия на поверхности разрыва исходя из интегральных уравнений 1, которые применим к малому цилиндрическому объему, покоящемуся относптельно Sj,, с основаниями, параллельными 5 , и расположенными по разные стороны от нее. Пропуская обычные в таких ситуациях выкладки [23] и предполагая, что процессы фазовых превращений в этих тонких слоях (поверхностях) не успевают произойти, из (1.1.4), (1.1.9), (1.1.19) для случая двухфазной смеси т = 2) получим [c.42]

Если ото произведение то/кдественно равно нулю, то скорость и будет все время перпендикулярна к grad F, т. е. к нормали поверхности F = 0. Это означает, что траектория у изображающей точки М лежит всеми своими точками на этой поверхности (рис. 2.9). Таким образом, для того чтобы целые траектории дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) не принадлежали поверхности F = О, достаточно, чтобы скалярное произведение Z7-grad F не равнялось нулю тождественно [371 [c.44]

Для решения задачи определения напряжений, возникающих в теле под действием заданных сил, нужно найти функции компонентов напряжений (Ох, Оу, Ог, Хху, Тхг, Туг), удовлвтворяющие дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности (1.3) в любой точке тела. [c.12]

Допустим, кроме того, что во все время движения точка должна оставаться на поверхности (4). Таким образом, наложенная на рассматриваемую точку связь (4) является стационарной, удерживающей иголономной. Эта связь является, кроме того, идеальной (без трения). Поэтому мы можем написать для данной несвободной точки дифференциальное уравнение движения в векторной форме в следующем виде [c.480]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...