Уравнения равновесия элемента пластины

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТА ПЛАСТИНЫ [c.154]

Ранее в 6.3 было указано, что в излагаемой приближенной теории изгиба пластин не учитываются деформации сдвига, отвечающие поперечным силам Qx Qy Поэтому последние не могли быть непосредственно выражены через прогибы с помощью закона Гука, а должны находиться из уравнений равновесия элемента пластины. Полученные зависимости (6.10) и представляют как раз такие выражения. [c.156]

Уравнения равновесия элемента пластины в начальном не- [c.136]

Для учета влияния нагрузок в срединной плоскости на ее изгиб необходимо составить дифференциальные уравнения равновесия элемента пластины в искривленном состоянии, то есть произвести так называемый расчет по деформированной схеме. Ввиду малости углов наклона касательных к изогнутой срединной поверхности пластины примем [c.465]

Уравнения равновесия. Уравнения равновесия элемента пластины, нагруженного поперечной нагрузкой интенсивностью р(х, у), с учетом составляющих на нормаль к срединной плоскости деформированного элемента имеют вид [c.121]

Однако равнодействующей касательных напряжений, т. е. поперечной силой Q, пренебречь нельзя, так как она играет важную роль в уравнениях равновесия элемента пластины. [c.169]

Подставив выражения (5.103) и (5.104) в уравнение равновесия элемента пластины (5.32) и положив Q = О, получим дифференциальное уравнение относительно й [c.212]

Существенную роль играют только равнодействующие напряжений Тхг и Хуг, т. е. поперечные силы Qx и Qy, которые необходимо учитывать в уравнениях равновесия элемента пластины. [c.223]

Дифференциальные уравнения равновесия элемента пластины имеют вид [4] [c.174]

Дифференциальное уравнение равновесия элемента пластины имеет вид [231 [c.226]

Дифференциальное уравнение равновесия элемента пластины имеет такой же вид, как и дифференциальное уравнение равновесия элемента трубы (6.5). Оно может быть представлено в форме [c.341]

Кроме изгибающих моментов М% и М в окружных сечениях пластины возникают поперечные силы Qj, которые определим из условий равновесия элемента пластины (рис. 6.40, г). Сумма проекций на ось Z и сумма моментов относительно касательной t — t к наружной границе элемента дают уравнения [c.189]

В линейной теории поперечного изгиба пластин уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния. Условия равновесия элемента пластины в недеформированном состоянии — уравнения моментов относительно его граней — приводят к двум зависимостям [c.139]

Если на пластину действует нормальная распределенная нагрузка р2 = Рг (х, у), то независимо от усилий в срединной плоскости пластины условие равновесия элемента пластины — проекция на ось Z всех приложенных к элементу пластины сил — приводит к уравнению [c.139]

Вырежем в окрестности угла пластины элемент, как, например, показано пунктиром на рис. 2.10. Если вычислить горизонтальную составляющую главного вектора усилий Г и 5, действующих на помеченные пунктиром грани, то увидим, что эта. составляющая в точности равна приложенной силе Р. Указанное обстоятельство свидетельствует о том, что характер особенностей (2.66) есть следствие условия равновесия элемента пластины, прилегающего к нагруженному силой углу. Этот характер не может измениться, если расчет вести согласно точным уравнениям плоской теории упругости. [c.86]

Рассмотрим плоское напряженное состояние пластины, расположенной в плоскости X, у. Уравнения равновесия элемента срединной плоскости пластины имеют вид [c.128]

Подставим выражения моментов (5.88) и (5.89) в уравнение равновесия элемента круглой осесимметричной пластины (5.32) после несложных преобразований получим разрешающее дифференциальное уравнение [c.209]

Уравнения равновесия элемента изотропной пластины (6.13) — (6.15) справедливы также и для ортотропной пластины. Внеся в них выражения моментов (6.80) — (6.82) и выполнив несложные преобразования, придем к дифференциальному уравнению упругой поверхности [c.247]

Уравнения равновесия элемента, вырезанного из пластины (рнс. 82), будут иметь вид [c.193]

Это дифференциальное уравнение получено из рассмотрения условий равновесия элемента пластины в прямоугольной системе координат. Здесь [c.990]

Определяющее дифференциальное уравнение равновесия изгиба пластин важно для понимания вопросов выбора полей перемещений в элементе. Основой для этого уравнения служат дифференциальные уравнения равновесия, которые выводятся путем рассмотрения равновесия сил, действующих на бесконечно малый элемент соответственно вдоль вертикальной оси и осей х и у. Следовательно, имеем [c.346]

Сравнение уравнений равновесия для элемента пластины (6.8) и для балки (6.7) показывает их аналогию, но в то же время позволяет обнаружить и существенное различие. В два уравнения (6.7) входят две неизвестные функции Q и М, что при заданной внешней нагрузке (включая опорные реакции) позволяет проинтегрировать эти уравнения и найти внутренние усилия в сечениях стержня Q и М только из уравнений статики (задача статически определима). [c.155]

Разрешающее уравнение изгиба пластины, представляющее условие равновесия элемента (рис. 6.47) по сумме проекций на ось 2, выражается, как и для прямоугольных пластин, через бигармонический оператор == q/D, или [c.194]

Аналогичное выражение будет и для Sk+i- Оно показывает, что в уравнения равновесия типа (8.69) войдут обобщенные упругие силы только от примыкающих к узлу конечных элементов. Это следует из механической модели обобщенных упругих сил, изображенной на рис. 8.33, б. Формально это можно доказать тем, что энергия деформации пластины равна сумме энергий отдельных элементов [c.262]

Первое уравнение представляет собой условие равновесия элемента пластинки в направлении радиуса (в направлении вектора вг), а второе — условие равновесия в направлении вектора т оно является уравнением изгиба круглой пластины при конечных прогибах (гибкая пластина). Если пластина жесткая й прогибы малы, то это уравнение линеаризуется и примет вид [c.391]

Теперь составим уравнение равновесия всех сил, действующих на выделенный элемент пластины, спроектировав их на направление оси z. При составлении уравнения равновесия учтем также проекции усилий Ny и Т, действующих в срединной поверхности. [c.128]

Перейдем к выводу уравнений равновесия. Выделим из круглой пластины (см. рис. 6.5) элемент аЬс(1 двумя радиальными сечениями с углом 0 между ними и двумя концентрическими сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии г. Рассмотрим усилия, действующие по сторонам выделенного сечения (рис. 6.6). В радиальных сечениях а(1 и Ьс будут действовать только нормальные силы Nв и изгибающие моменты Ме, причем, поскольку усилия II деформации не зависят от угла 0, величины этих усилий в сечениях а(1 и Ьс будут одинаковы. В сечениях аЬ и с с будет действовать, помимо нормального усилия Мг и изгибающего момента Мт, также поперечная сила Q. Эти усилия являются функциями только координаты г. [c.140]

Силовые граничные условия выражают условия равновесия краевых элементов пластины. Если контур пластины свободен от нагрузок, то силовые граничные условия уравнения (4.33), очевидно, полностью повторяют силовые граничные условия линейной теории поперечного изгиба пластин. Так, например, для свободно опертого края (х = 0) силовое граничное условие будет [c.147]

Когда край пластины свободен (или упруго оперт), внешние контурные нагрузки входят в граничные условия линеаризованного уравнения. Так, например, рассмотрим незакрепленный край пластины х = а, нагруженный мертвыми распределенными усилиями q (у) и qy (у) (рис. 4.6, а). Первое граничное условие, очевидно, остается таким же, как и для ненагруженного свободного края Мх = 0. Для получения второго граничного условия рассмотрим равновесие краевого элемента пластины с размерами dy и dx. Уравнение равновесия такого элемента в проекции на ось 2, сформулированное для отклоненного состояния, имеет вид [c.148]

Граничные условия линеаризованного уравнения на криволинейных участках контура пластины, свободных от контурных нагрузок или закрепленных неподвижно относительно поперечного прогиба, не отличаются от граничных условий линейной теории поперечного изгиба пластин, подробное обоснование которых можно найти, например, в работе [12. В тех случаях, когда внешние контурные нагрузки приложены к незакрепленному относительно поперечных перемещений криволинейному краю пластины, силовые граничные условия формулируются из условия равновесия краевого элемента пластины подобно тому, как это сделано выше для прямолинейного края. [c.149]

Таким образом, из условия стационарности АЭ можно получить однородное линеаризованное уравнение (4.33), которое раньше получено из условий равновесия, составленных для искривленного элемента пластины. В частности, если пластина нагружена только контурными внешними усилиями, то начальные усилия Т , Ту, 5" удовлетворяют уравнениям равновесия [c.180]

Формулы (2.13) еледуют из условий равновесия прилегающего к контуру бесконечно малого элемента пластины, представленного на рио. 2.9, а. Интенсивности сил и моментов, приложенных к элементу, показаны на рис. 2.9, 6 и в. Первое из уравнений [c.59]

Можно показать, что в деформированном состоянии элемента при малом искривлении срединной плоскости пластины уравнения равновесия Е = О и Е Му = О дадут полученные в 20.4 дифференциальные соотношения между поперечными изгибающими моментами М , Му и крутящим [c.466]

Покажем, как составить уравнения равновесия для узлов при разбиении пластины на два конечных элемента. [c.495]

Задачу изгиба пластины рассмотрим в линейной постановке, т. е. прогибы пластины будем считать малыми по сравнению с ее толщиной, уравнения равновесия составим для недеформированного элемента пластины, а в выражениях для относительных удлинений ограничимся линейными слагаемыми. При такой постановке задачи можно считать, что точки срединной плоскости пластины получают только перемещения W = W г) в направлении оси. 2, а срединную плоскость принять нерастяжимой. [c.53]

В этих условиях дифференциальные уравнения равновесия элемента пластины (фиг. 135) hdxdynpm постоянной толщине h и отсутствии объемных сил имеют вид [c.211]

Составим уравнения равновесия элемента rd(pdr пластины, предбтавленного на рив. 2.18, а, б. [c.81]

Му и крутящий момент М, выражены через функцию ш, которая пока неизвестна. Недостающие уравнения для определения этой функции получим, рассмотрев равновесие элемента пластины (рис. 6.5). По граням элемента действуют силы Ях йу, Яуйх и моменты Мх йу. Му йх. Мху йу. Мух йх. С увеличением координат на йх и йу силы и моменты получают бесконечно малые приращения. Кроме внутренних сил, на верхнюю грань элемента действует сила р йх йу от внешнего давления. [c.224]

Как известно, уравнение Софи Жермев — Лагранжа как раз выражает условие равновесия элемента пластизгы Ах, с1г/, что и подчеркивается записью (8.41). Следовательно, L (w) — это интенсивность неуравновешенной суммарной нагрузки, возникающей по области интегрирования А (площади пластины) при задании прогибов в виде суммы (8.35). Удержание N членов в нем означает, что действительную систему заменили системой с N степенями свободы, в которой а (i = 1, 2,. . ., Л ) — это обобщенные перемещения, каждому из которых отвечает деформированное состояние, определяемое функцией fi (х, у). Для того чтобы дискретная система находилась в равновесии но принципу Лагранжа, падо, чтобы j работа всех элементарных сил системы, т. е. [c.251]

Метод конечных элементов применяется не только при решении двумерных задач прикладной теории упругости (пластины, оболочки и конструкции, составленные из пластинчатых и оболочечных элементов), но и объемных (трехмерных) задач теории упругости. Для лучшей аппроксима-цпи сложной формы копструкцип применяются наряду с прямоугольными конечными элементами также конечные элементы других форм. Этот метод может применяться не только в форме метода перемещений, когда за неизвестные принимаются узловые перемещения и определяются они из уравнений равновесия, но и в форме метода сил, когда за неизвестные принимаются узловые внутренние усилия а определяются они из условия совместности перемещений в узловых точках. [c.228]

Принимая допущение о прямолинейности нормального элемента, мы тем самым пренебрегаем сдвигами в направлениях 2 , и гаг, т. е. мы должны бы пренебречь и касательными напряжениями Тз1 и Тзг, а следовательно, и поперечными силами <2з1 и зг- Однако пренебрегать поперечными силами (2з1 и Qri. не следует, так как они играют существенную роль в уравнениях равновесия. Иначе говоря, первое допущение Кирхгофа — Лява следует трактовать таким образом, что при определении деформаций волокон в оболочках II пластинах пренебрегаем сдвигами, вызванными действием касательных напряжений Тм и Тзг, по не самими напрялщнпямн. [c.238]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных [c.512]

Дальнейшее решение задачи можно проводить так же, как в предыдущем параграфе рассмотрев условие равновесия элемента нагруженной пластины и использовав соотношения (2.53), получить ди< ерен-циальное уравнение относительно поперечного прогиба w. Но можно воспользоваться иным, вариационным путем решения задачи, основанным на принципе минимума полной потенциальной энергии. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...