Конфигурации равновесия

Уравнения равновесия. Оставим теперь общие рассуждения и займемся сначала односвязными системами. Конфигурация равновесия, "принимаемая каждой такой стержневой системой под действием данной системы сил и представляющая собой ломаную линию, называется веревочным многоугольником (вследствие интересной интерпретации, которую мы укажем далее). [c.153]

Для того чтобы дать типичный пример приложения этого метода, рассмотрим стержневую систему P P i Рп> прикрепленную на конце к неподвижному шарниру и имеющую свободными другой конец и промежуточные узлы (за исключением лишь связей, происходящих от соединения их со стержнями). Представим себе, что к W — 1 узлам Рз, Рд,. .., Р приложены заданные силы F , F ,. .Fn, и определим веревочный многоугольник (или конфигурацию равновесия системы) и реакцию в неподвижном конце Pi. [c.159]

Конфигурация равновесия нити, как и конфигурация стержневой системы, называется веревочным многоугольником, именно случай нити (практически веревки или цепи) и дал повод для такого названия. [c.196]

Висячие мосты упрощающее предположение о непрерывном распределении приложенных сил). В п. 37 мы изучили конфигурацию равновесия канатов, поддерживающих подвесные мосты, предполагая, что вес моста поровну распределен между некоторым конечным числом дискретных точек (точки прикрепления тяг). На основании такого предположения мы нашли, в качестве конфигурации равновесия каждого поддерживающего каната, многоугольник, вписанный в параболу с вертикальной осью, проходящей через концы каната. [c.205]

Прежде чем приступить к аналитическому решению, заметим, что конфигурация равновесия представляет собой параболу с вертикальной осью, обращенную вогнутостью вверх и проходящую через концы (предельный случай вписанного многоугольника). [c.205]

Как бы ни были заданы условия на концах, предназначенные для того, чтобы определить конфигурацию равновесия, эта конфигурация представляет собой, при надлежащем значении механической постоянной <р, дугу параболы, выражаемой уравнением (48). В конкретных случаях чаще всего задаются, для каждого каната, концы А я В, расположенные на одном и том же уровне, [c.207]

Однородная цепь. К задаче, изученной в предыдущих пунктах, присоединим задачу об определении конфигурации равновесия материальной однородной нити, подвешенной за концы в двух заданных точках и -В (не расположенных на одной и той же вертикали) и подвергающейся только действию силы тяжести. [c.209]

Как уже указывалось несколько раз, типичная задача состоит в отыскании конфигурации равновесия однородной пяти заданной длины I, когда даны обе точки прикрепления и J5 (не расположенные на одной и той же вертикали). [c.212]

Вместо этого неопределенные уравнения (72), (73) дают шесть скалярных уравнений между силами, конфигурацией и усилиями, представляемыми в их совокупности двумя векторами Ф (s) и Г (s), каждый из которых имеет три проекции, так что уравнения (72), (73), дополненные условиями на концах (74), достаточны для определения этих двух векторов в зависимости от задаваемых как угодно сил и конфигурации равновесия. [c.229]

Всякий раз, как лагранжевы составляющие имеют потенциал, из условий равновесия (12) и из тождеств (14) мы находим, что всякому максимуму или минимуму потенциала соответствует конфигурация равновесия голономной системы. [c.268]

Мы уже знаем, что если функция U( q) при частных значениях q координат q, т. е. при заданной конфигурации системы, дог пускает стационарное значение (в частности, максимум или минимум), так что исчезают лагранжевы составляющие Q действующих сил, то С" будет для системы конфигурацией равновесия (т. I, гл. XV, п. 28). [c.355]

Обобщая обычным образом данное в гл. II, п. 35 определение устойчивости, мы будем называть конфигурацию равновесия С устойчивой, если при достаточно малом возмущении равновесия (т. е. при начальной конфигурации, достаточно близкой к С , и достаточно малой живой силе Г") будет иметь место движение, при котором система остается сколь угодно близкой к С , и в то же время сохраняет сколь угодно малую живую силу, т. е. одновременные скорости всех отдельных точек системы остаются как угодно малыми. [c.355]

На основании предположения, что С является конфигурацией равновесия при отсутствии внешних сил, должны обращаться в нуль при А = 0 (А=1, 2, п) все частные производные от Q по д. Поэтому, предполагая внутреннюю энергию в естественном состоянии равной нулю (что равносильно соответствующему выбору несущественной аддитивной постоянной потенциала), мы будем иметь в подходящей окрестности С разложение вида [c.360]

Частный тип линейных связей (вообще, говоря, неоднородных), мы будем иметь, давая определенные значения некоторым из координат q, например первым /, что равносильно заданию I из п элементарных перемещений, переводящих систему из конфигурации С в ту, которая будет новой конфигурацией равновесия. [c.366]

Т. е. таким образом, чтобы <о,/2тс являлась основной частотой и ug/2it, Шз/2я,. .. составляли соответственно первую, вторую,. .. гармоники, то максимальное расстояние точек поверхности Е от центра определяется, как известно, основным периодом 2тс/в . Условившись в этом, допустим, согласно предположению а , что увеличивается число связей системы наложением р<С п новых голо-номных связей, которые, естественно, удовлетворяются в конфигурации равновесия С (лг,= 0, i=, 2,. .., л). В непосредственной близости от С и в принятом нами порядке приближения эти связи, выраженные в нормальных координатах, будут представлены р линейными независимыми уравнениями, обязательно однородными, так как эти уравнения должны удовлетворяться величинами х — О, В пространстве эти р уравнений определяют линейное пространство п — р измерений проходящее через О, так что, в то время как с самого начала возможные для системы конфигурации представлялись всеми точками (достаточно близкими к началу) пространства п измерений добавление новых р связей ограничивает изменение положения изображающей точки указанным выше пространством 5 р. [c.374]

С другой стороны, обращаясь к 3, возьмем снова найденные там выражения для живой силы Т и для потенциала U в непосредственной близости от конфигурации равновесия С . Эти выражения, если написать Z/ вместо что возможно на основании того, что было положено д = 9 л —9 л. принимают вид [c.389]

Представим себе далее, что на голономную систему вместе с действующими на нее консервативными силами оказывают влияние кинетические действия гиростатического типа предполагая, что конфигурация С (л-, = i ,-= 0) является конфигурацией равновесия, отбросим предположение, что потенциал в ней допускает действительный максимум или, другими словами, что в отсутствие гиро-статических (или диссипативных) действий конфигурация С соответствует состоянию устойчивого равновесия. [c.398]

Принимая за систему отсчета вертикаль Оу, направленную вниз, и горизонталь Ох, направленную произвольно, и считая углы положительными при вращении в направлении от Ох к Оу (через прямой угол), вычислим живую силу Т системы и потенциал U, соответствующий ее весу, имея в виду, что мы будем изучать малые колебания в окрестности конфигурации равновесия 6 = tf = [c.409]

В окрестности конфигурации равновесия 0 = 91 = 93 = О три параметра Лагранжа и их первые производные по времени можно рассматривать как величины первого порядка, так что, дифференцируя по t предыдущие формулы и пренебрегая членами порядка выше первого, можно принять [c.409]

Конфигурация равновесия неустойчивая 355 [c.428]

Таким образом, мы видим, что кривые, для которых интеграл S принимает стационарное значение, допускают, помимо различных уже указанных истолкований (геодезические траектории связки, световые лучи, брахистохроны). еще и следующее они могут рассматриваться как конфигурации равновесия гибкой и нерастяжимой нити в поле силы с единичным потенциалом [c.458]

На этом заключении и иа принципе суперпозиции ( 6) мы можем основать доказательство того, что только одна конфигурация равновесия совместима с заданными силами или заданными перемещениями. [c.23]

По принципу суперпозиции эти две системы сил и перемещений можно скомбинировать друг с другом любым способом. Комбинация их должна дать систему сил и соответствующих перемещений, образующих третью конфигурацию равновесия. Скомбинируем первую систему со второй, обращенной (т. е. силам и перемещениям второй системы приписываются отрицательные знаки). Тогда в третьей (комбинированной) системе мы имеем [c.24]

Если в теле, подчиняющемся закону Гука, заданы перемещения, то деформация, соответствующая конфигурации равновесия, обладает меньшей упругой анергией, чем деформация, соответствующая всякой другой конфигурации (не удовлетворяющей условиям равновесия), в которой перемещения имеют те же заданные значения. [c.114]

Согласно (11) главы I, упругая энергия, запасенная в первой конфигурации (конфигурации равновесия), будет [c.115]

Qn отличны от нуля. Следовательно, если система начала двигаться без начальных скоростей, имея конфигурацию, для которой V меньше, чем при положении равновесия, то потенциальная энергия должна в дальнейшем все еще уменьшаться, так как величина Т не может быть отрицательной. Отсюда вытекает, или что система будет стремиться притти в состояние покоя при новой конфигурации равновесия, или что V будет безгранично убывать ). [c.216]

В большей части практических случаев усилия представляют собоЁ неизвестные силы, которые требуется определить, предполагая, что веревочный многоугольник задан, или же неизвестна конфигурация равновесия, и нам нужно определить ее по данным задачи, исключая или, по крайней мере, принимая за вспомогательные неизвестные величины усилий. [c.155]

Для этой цеди необходимо определить реакцию F, отнесенную к единице длины нити, как функцию s. Для простоты мы ограничимся здесь рассмотрением частного (и как увидим, особенно интересного) случая, когда нить располагается на поверхности о вдоль геодезической линии, т. е. вдоль одной из таких кривых, которые дают йозможные конфигурации равновесия и при отсутствии трения. [c.221]

Интуитивные физические соображения приводят к заключению, что конфигурация равновесия определяется внешними силами и условиямй на концах, если только задана материальная природа системы, как это, например, можно заметить в случае металлического стержня, заделанного на одном конце и подвергающегося действию заданной системы сил на другом. [c.229]

Определим условие, при котором сохраняется состояние равновесия стержня, предполагая, что весом нитей можно пренебречь. Для этого заметим прежде всего, что, в силу симметрии системы и действующих сил относительно вертикали точки 31 центр тяжести стержня, как мы только что отметили, останется на этой вертикали, а сам стержень будет находиться в горизонтальном положении поэтому эту систему можно рассматривать как систему с одной степенью свободы. С этой точки зрения виртуальное перемещение (для указанной конфигурации равновесия) будет определяться вариацией Ш высоты h точки N относительно точки М и вариацией 8<р угла между БВ и АЛ. Для определения соотношения между bh, 8<р возьмем начало координат в точке М, ось. г направим по вертикали MN, ось х — по прямой МА, ось у — по перпендикуляру к плоскости XZ, направленному таким образом, чтобы направление вращения or х к у совпадало с направлением действия приложенной пары. Тогда, выразив, что расстояние между двумя точками О, Б с координатами соответственно а, О, I ж a os[c.264]

Свободная материальгая точка движется под действием силы /="(отнесенной к единице массы), зависящей только от положения. Фиксируем одно из движений, возможных в этих условиях, и пусть с есть дуга соответствую-П1ей траектории. Показать, что эта дуга е может также рассматрипаться как конфигурация равновесия гибкой и нерастяжимой нити, закрепленной на концах и находящейся под действием единичной силы —F, в предположении,, что линейная плотность нити в любом месте обратно пропорциональна скорости точки в рассматриваемом решении динамической задачи. [c.163]

Если, наоборот, как бы близка к С ни была начальная конфигурация и как бы ни была мала вначале живая сила, всегда можно сообщить системе такое движение, в котором отклонение системы от конфигурации ргвновесия С , или даже только живая сила, в конце концов превзойдет некоторую постоянную (положительную), не зависящую от начальных условий величину, то конфигурация равновесия неустойчивой. [c.355]

Наоборот, в динамическом случае (теорема Дирихле в собственном смысле) предположение о том, что уравнения движения допускают статическое решение, т. е. что для системы существует конфигурация равновесия С , влечет за собой количественные словия (обращение в нуль первых производных от потенциала), необходимые для существования минимума полной энергии, так что для обеспечения действительного минимума не нужны сверх только что указанных количественных условий какие-либо другие, кроме чисто качественных. Можно сказать, что, в конце концов, большая важность теоремы Дирихле зависит от этого обстоятельства, которое вообще не встречается в случае какой угодно обобщенной лагран-жевой системы. [c.380]

В окрестности конфигурации равновесия Xi = Q лагранжевы составляющие 2.....п) таких сил будут, как правило, представлены линейными формами с постоянными коэффициентами отно сительно лагранжевых скоростей х, и эти формы должны быть такими, чтобы выражение элементарной работы [c.393]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...