Условии граничные для Уравнения основные

Первый из них, удовлетворяющий уравнениям равновесия (1) и заданным граничным условиям, назовем для краткости основным тензором. Построение его не представляет принципиальных трудностей, но оказывается более или менее сложным, в зависимости от сложности заданных нагрузок. Второй тензор правой части (11.73) должен также удовлетворять уравнениям равновесия (I) он не зависит от заданной нагрузки, так как поверхность призмы должна быть свободной от напряжений значит, он может быть построен один раз навсегда для данной призмы назовем его корректирующим тензором. Рассмотрим один из способов построения его ). [c.352]

Несмотря на очевидное различие в способах генерирования и регистрации электромагнитных волн разного типа, можно показать, что законы распространения таких волн задаются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Речь здесь идет об уравнениях Максвелла, в которых свойства среды учитываются введением соответствующих констант, а переход излучения из одной среды в другую определяется с помощью граничных условий для векторов напряженности электрического и магнитного полей. Использование метода, предложенного Максвеллом более 100 лет назад, позволяет построить единую теорию распространения электромагнитных волн и применить ее для описания основных свойств света. Такое феноменологическое рассмотрение [c.9]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Уравнения (XII.52) и (XII.53) по форме одинаковы одинаковы также их граничные условия, уравнение неразрывности является общим. Тогда для получения основных зависимостей для ламинарного диффузионного слоя достаточно в известных решениях для теплового слоя произвести замену тепловых величин на соответствующие диффузионные. Например, интегральное соотношение для диффузионного слоя запишется в виде [c.322]

Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и, = Ui. Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций ш, которые мы выписывать не будем. [c.249]

Определение напряженного состояния в теле, находящемся под действием заданных внешних сил, является одной из основных задач теории упругости. В двумерном случае необходимо решить дифференциальные уравнения равновесия (18), и решение это должно быть таким, чтобы удовлетворялись граничные условия (20). Эти уравнения, выведенные с применением статических условий равновесия и содержащие три компоненты напряжения а , G,j, недостаточны для определения указанных компонент. Задача является статически неопределимой чтобы получить ее решение, следует рассмотреть упругую деформацию тела. [c.47]

Решение задачи для конкретного упругого тела с заданными поверхностными и объемными силами требует определения компонент напряжений или перемещений, которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Если в качестве основных неизвестных выбраны компоненты напряжения, то следует удовлетворить 1) уравнениям равновесия (123), 2) условиям совместности (125) и 3) граничным условиям (124). Обозначим через ... напряжения, вызванные поверхностными силами X, Y, Z и массовыми силами X, Y, Z. [c.252]

Из основной системы уравнений (6.19) следует, что на каждом крае пластины должны быть заданы два условия для функции и) и два условия для функции ф. В этом случае число произвольных постоянных, получающихся при интегрировании уравнений, будет равно числу граничных условий. Граничные условия для функции напряжений могут быть заданы в виде напряжений в срединной поверхности на крае пластины (т , о"), либо в виде танген- [c.131]

Для вывода основных уравнений и граничных условий воспользуемся энергетическим критерием в форме Брайана (см. 14). [c.109]

Практически, во всех случаях кососимметричного (й = 1) нагружения оболочек вращения при статически определимых значениях f и 9R можно сформулировать необходимые граничные условия для интегрирования системы (5.88) уравнений четвертого порядка. При заданных нагрузках на торец оболочки известны значения Si(i) и М (1). Если торец жестко связано недеформируемым фланцем, то Р = О (ввиду равенства нулю 8j) и 0 = 0. Возможны н смешанные случаи задания граничных условий. Так, например, если торец шарнирно связан о жестким фланцем, то = О, Ali (i> = = 0. Поэтому для определения основных неизвестных , 0, 5 (i), All (1) и выражающихся через них внутренних силовых факторов в оболочке достаточно проинтегрировать уравнения (5.88) четвертого порядка. [c.274]

Для общего случая неоднородного граничного условия (1.8) к основному уравнению (1.1) будем искать сопряженное условие в виде Г/ =Р1 (г, т). Аналогично (1.27) получаем [c.17]

Ввиду полной идентичности уравнений для яр и ip+ и граничных условий к этим уравнениям в рассматриваемом нами случае собственные функции основного и сопряженного уравнений теплопроводности также тождественны [c.95]

Для получения решения конкретной задачи необходимо помимо уравнения основного процесса (в данном случае уравнения теплопроводности), ввести еще так называемые условия однозначности. Эти условия включают геометрические данные об исследуемом объекте физические свойства среды вместе с зависимостями их от параметров изучаемого процесса начальные условия, характеризующие состояние объекта в начальный момент времени и наконец граничные условия, описывающие характер теплообмена на границах исследуемой области. [c.11]

При количественном анализе диссипации энергии в общем случае необратимых процессов требуется совместное решение уравнений термомеханики сплошной среды при заданных начальных и граничных условиях. Такая система уравнений обсуждается, например, в [72, 87]. Получение замкнутых решений связанных задач термомеханики даже в наиболее простых случаях (например, для одномерных процессов) связано со значительными трудностями. Численный анализ термомеханических процессов осуществляют обычно на основе пространственно-временной дискретизации основных уравнений. При этом дискретизацию по пространственным координатам проводят с помощью конечных элементов, а по времени - с помощью конечных разностей. Основы конечно-элементного подхода к расчету термомеханического поведения твердых деформируемых тел изложены, например, в [72], Подробный анализ диссипативных процессов применительно к пластическому деформированию твердых тел дан в [87, т.П]. [c.195]

В работе [86] аналогичный подход использован для исследования динамической устойчивости цилиндрической оболочки с упругим заполнителем. Для цилиндрической оболочки применим уравнение основного напряженного состояния с рассмотрением различных граничных условий. Уравнение движения запишется в виде [c.216]

Наряду с основной граничной задачей, сформулированной в 4.1.1, рассмотрим вспомогательную граничную задачу для уравнений Ламе (4.1) в области fi Г. Обозначим её решение вектором U с компонентами щ, i = 1,2, (3). Функции щ удовлетворяют тем же условиям на внешней границе области fi, что и функции, и следующим условиям на поверхности Г [c.209]

И затем удовлетворить соответствующим граничным условиям. Уравнение, определяющее устойчивость системы для одной основной моды колебаний (га = 1), оказывается следующим [c.504]

Отметим, что это приближение нулевого порядка точнее решения уравнений сплошной среды (даже если для уравнений сплошной среды использовать граничные условия со скольжением). В самом деле, даже в нулевом приближении 1) кинетические пограничные -слои суш ествуют вблизи стенок, 2) в основной части потока массовая скорость удовлетворяет уравнению количества движения Навье — Стокса, но соответствуюш ие граничные условия на стенке, полученные экстраполяцией, пе являются обычными условиями скольжения, а содержат в себе члены второго порядка [c.189]

Уравнения (24) — (25) и представляют основные уравнения нашей модели. Граничным условием для уравнения (24) является условие (22) [c.327]

Для решения основного уравнения динамики вязкого газа (уравнение Навье — Стокса) в проекциях на оси координат необходимо совместить направление движения ленты между двумя роликами с положительным направлением оси X. Ось У направить перпендикулярно к абразивной поверхности ленты, ось 2 — поперек, затем принять граничные условия [c.193]

Мы можем теперь сформулировать основную задачу гидродинамики в следующем виде найти в конечном виде общие выражения для гидродинамического давления р и проекций скорости и, V, ы) в функции координат х, у, г ш времени i, удовлетворяющие четырем дифференциальным уравнениям в частных производных (22) и (23). Искомые функции и, у, ау и р, кроме того, должны удовлетворять граничным и начальным условиям. Граничные условия, как показывает само название, дают нам значения проекций скоростей и гидродинамического давления на границах рассматриваемого течения жидкости. Решение конкретной гидродинамической задачи должно быть таким, чтобы граничные условия, определяемые физической сущностью задачи, удовлетворялись в любой момент времени. Начальные условия определяют значение искомых функций и, V, ау для некоторого заданного момента времени i = to во всех точках простран- [c.264]

Основная трудность заключается в том, что нри решении уравнения Пуассона нельзя одновременно использовать оба граничных условия = О и Нго = д ду = О вдоль одной и той же границы, поскольку при этом задача становится переопределенной, так как для ее решения достаточно либо условия Дирихле, либо условия Неймана. Для уравнения Пуассона следует брать условие 0(5 0. (См. также разд. 3.3.2 и задачу 3.27.) [c.227]

В качестве начального условия к уравнению (1. 4. 3) обычно задают известное распределение концентрации целевого компонента l ,t = 0). Граничные условия должны формулироваться в зависимости от конкретного характера задачи они определяют значения концентраций целевого компонента па некоторых поверхностях, ограничивающих область пространства, занятую одной нз фаз. Напол1Н1ш основные виды граничных, условпй для уравнения конвективной диффузии. Условиями первого рода на поверхности задается значение самой концентрации [c.14]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьхре параметра R, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары R и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + i i, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а i — безразмерный коэффициент [c.310]

В случае динамики упругого тела, как и в случае статики, для уравнений (5.4) также ставятся три основные задачи. В отличие от основных граничных задач статики упругого тела, в случае ди- амической нагрузки к граничным условиям следует присоединить еще и начальные условия, состоящие в задании проекции вектора перемещения Uk° и проекции вектора скорости Vk° точки тела в некоторый момент времени to, с которого начинается изучение задачи, т. е. [c.86]

В пограничном слое продольная скороеть жидкости го меняется от значения гО с = О на стенке (т. е. при 2 = 0) до значения гоо, равного скорости течения в основном потоке и достигаемого на границе пограничного слоя, т. е. при 2 = 6. Поэтому граничные условия для уравнения движения жидкости в пограничном слое [c.371]

Сначала рассмотрим двухслойную модель, т.е. уравнения (3.7) и (3.9), причем для уравнения (3.9) граничные условия примем при у = Л (у = 1). Распределение скоростей в вязком подслое описывается уравнением (2.21). Однако, поскольку толщина вязкого подслоя существенно меньше радиуса потока, то, согласно современным представлениям /135, 144, 222, 261/, в пределах вязкого подслоя распределение скоростей линеаризуется, т.е. касательное напряжение считается постоянным и равным касательному напряжению на стенке трубы. Это условие при приближенных расчетах, которые присущи полуэмпирическим теориям пристенной турбулентности, особого влияния на конечные резулыаты не оказывает, тем более что и в основном турбулентном потоке касательное напряжение нередко принимается постоянным. В действительности, как следует из уравнения равновесия сил, действующих на выделенный объем потока, касательное напряжение является величиной переменной и подчиняется линейному закону. Ф. Г. Галимзянов /33 - 56/ использовал линейный закон распределения скоростей в пределах вязкого подслоя. [c.64]

В настоящее время существуют в основном два подхода в рассмотрении движения и переноса массы и энергии в двухфазных потоках [35]. При одном подходе движение и процессы переноса рассматриваются для каждой нз фаз в отдельности и полученные при этом зависимости связываются в систему условиями, характеризующими протекание этих процессов на границе раздела фаз [86]. Другой метод состоит в том, что фазы считаются распределеиными одна в другой по определенному закону распределения [156, 157]. При таком подходе либо одна из фаз, либо обе фазы считаются во всем рассматрийаемом объеме епрерывным-и и уравнения, характеризующие протекание процесса ib них, записываются для среды в целом. Во всех случаях паряду с уравнениями движения и переноса задаются условия на границах между средой и поверхностями твердого тела, ограничивающими ее. Здесь в общем виде (в трехмерной форме) рассмотрены система уравнений, описывающих движение для каждой из фаз в отдельности, и граничные условия, связывающие эти уравнения. Кроме того, рассмотрено уравнение движения, записанное в гидравлической форме, которое отражает другой подход к решению данной задачи, однако рассматривается оно в более простом, одномерном виде. [c.15]

Представлены подробные сведения по локальным, интегральным и турбулентным характеристикам внутренних закрученных потоков в цилиндрических, сужающихся н расширяющихся каналах при различных граничных и геометрических условиях. Приведены законы трения, тепяо-и массообмена, уравнения для расчета основных локальных и интегральных характеристик закрученного потока. [c.2]

Но это критерий неопределяющий, поскольку в него входит перепад давления, являющийся функцией скорости, размеров канала и вязкости жидкости. Другие же критерии в данном случае не получаются ни из основного уравнения, ни из граничного условия. Следовательно, для заданной геометрии канала критерий (2-50) равен некоторому числу. [c.45]

Тогда с помощью соотношений (1.152) и (1.153) легко записать интегральные уравнения основных граничных задач для общего случая периодической системы криволинейных разрезов. Полученные таким путем уравнения, как и уравнение (II 1.4) с ядрами (II 1.5) или (111.23), имеют одинаковую структуру с рассмотренными в главе I сингулярными интегральными уравнениями. При дополнительных условиях (1.154) или (III.6) они имеют единственное peine-ние. Отметим, что представление (III.21) и уравнение (III.4) с ядрами (III.23) получено также в работе [339J, причем авторы использовали [c.83]

Методы интегральных преобразований. Довольно часто удается использовать метод интегральных преобразований для приведения основных уравнений и граничных условий в пространстве трансформант к форме, не зависящей от времени. Эта задача может быть решена для ряда значений параметров преобразования, после чего численно выполняется обращение преобразования Лапласа (переход к временной переменной). Примеры таких решений можно найти в работах Риццо и Шиппи [20, 39], которым мы следуем здесь. [c.278]

В монографии изложены результаты исследования напряженно-деформированного состояния контактирующих элементов конструкций, полученные с помощью метода конечных элементов и метода граничных интегральных уравнений, известного также под названием метод граничных элементов. Эти перспективные современные численные методы удобны для решения на ЭВМ широкого класса контактных задач механики деформируемого тела и в рамках одной программной реализации позволяют учесть большое число практически важных факторов, таких, как сложная геометрия и произвольный характер внешних воздействий, различные условия контактного взаимодействия. Метод конечных элементов представляется более универсальным, так как позволяег легко учесть физическую и геометрическую нелинейность, объемные силы, зависимость свойств материала от температуры. В методе граничных элементов учет этих факторов настолько увеличивает рудоемкость решения задачи, что сводит на нет основные преимущества метода, такие, как дискретизация только границы области и малый объем входной информации. Поэтому в книге метод граничных элементов использован только для решения контактных задач теории упругости, где наряду с простотой задания исходной информации он может дать и выигрыш машинного времени за счет понижения размерности задачи на единицу, особенно для бесконечных и полубесконечных областей. Метод граничных элементов позволяет построить также более совершенный алгоритм для учета трений в зоне контактных взаимодействий. По-виднмому, еще большего выигрыша следует ожидать в некогорых задачах при совместном использовании обоих методов. [c.3]

Предыдущие условия характеризуют случай, когда основные уравнения упругого равновесия можно представить в такрй же простой форме, как и в случае плоской задачи, и мы можем ограничиться рассмотрением соотношений, имеющих место для точек одной и той же плоскости. Так как этот случай встречается часто, ю он заслуживает особого рассмотрения. Задача заключается в том, чтобы четыре напряжения j(, jj., т, характеризующие полностью напряженное состояние в точке X, г меридионального сечения, представить в виде функций от д и г, если на контуре заданы внешние силы или поставлены другие граничные условия. [c.144]

Метод граничных интегральных уравнений представляет собой недавно возникший вариант общего метода потенциала и основывается на применении интегрального уравнения, связывающего естественные граничные условия. При решении не требуется использовать какие-либо специальные функции или моделирование внутренней области. Метод, вообще гоао1ря, применим для решения любых эллиптических задач, которые описываются квазилинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Основное его содержание рассматривается во вступительной статье. [c.10]

До последнего времени основным объектом приложения теорем о суммируемости рядов по корневым векторам операторов, близких к самосопряженным (в смысле п. 1 35), если говорить о многомерных задачах, были эллиптические граничные задачи для уравнений с самосопряженной главной частью и самосопряженными граничными условиями. Спектральный параметр в этих задачах входит з уравнение. (Пример уравнение А . .. — ки в области У+ с условиехм + — О на 5 многоточием обозначены младшие члены.) Такие задачи приводят к рассмотрению операторов Ь = 1о- -Ьи где 0 — самосопряженный оператор положительного порядка и порядок оператора 1 меньше порядка оператора о, но неотрицателен, причем ставится цель охватить случай, когда разница порядков мала. [c.410]

Каждому решению основной задачи (Я, V, Т, Я) соответствует решение сопряженной задачи (X и, 0, Л). Для получения сопряженной задачи следует уравнения, комплексно-сопряженные к (26.1), умножить соответственно на и, R6 ц h, удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и решение основной задачи, а также условиям соленоидальности для и к h, проинтегрировать по объему жидкости и сложить. Приравнивая нулю коэффициенты в подынтегральном выражении при V, Т и Я, получим [c.181]

Исследование устойчивости основного состояния (3)-(8) для горизонтальной (вертикальной) выработки и (9)-(14) для сферической выработки с многослойными крепями при принятии обобш енной концепции продолжаюш егося нагружения [10] и при предположении, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания, сводится к решению систем дифференциальных уравнений в вариациях при соответствуюш их граничных условиях [7]. Для случаев вертикальной и сферической выработок рассматривается осесимметричная форма потери устойчивости и = м(г, г), г = О, гу = ги(г, х). [c.303]

Трудности, связанные с интегрированием уравнений упругого равновесия при заданных граничных условиях, оказались столь значительными, что их не смогли преодолеть для упомянутых основных задач теории упругости (растяжение, кручение, изгиб) даже такие великие математики, как Коши и Пуассон. Только Сен-Венан смог найти практически пригодное решение задач растяжения, кручения и изгиба призматических брусьев. Но это удалось ему потому, что он отказался от точного удовлетворения граничных условий в тех концах брусьев, где приложена действующая на брус нагрузка. Эти граничные условия удовлетворяются у Сен-Венана приближённо, на основании вышеупомянутого принципа, только для равнодействующей силы и момента равнодействующей пары заданной системы нагрузок. [c.105]

Математическая формулировка для ряда основных общих задач об оптимальном управлении процессами в системах с распределенными параметрами была предложена в работах А. Г. Бутковского и А. Я. Лернера (1960). В этих задачах состояние объекта в каждый текущий момент времени i определяется совокупностью функций одной или нескольких пространственных координат, описывающих звенья со сплошной средой. Влияние управлений на поведение системы определяется в математиче ской форме управляющими функциями и, которые входят в запись дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений и т. п., определяющих поведение объекта объемные управления). Кроме того, управление может осуществляться за счет влияния на граничные условия, в которых работают те или иные звенья. Тогда функции граничные управления) входят в запись краевых условий для соответствующих задач математической физики. Переменные и могут быть как функциями от времени, так и функциями от пространственных координат. Задачи такого рода возникают при управлении процессами тепло- и массопереноса, процессами в энергетических установках и химических реакторах, при управлении гидро- и аэромеханическими объектами и т. д. Как правило, это — трудные для исследования и тем более для конкретного решения математические проблемы. [c.234]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...