Первый порядок аппроксимации

Символическая запись О к) означает величину, имеющую тот же порядок малости, что и к. Говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный с порядком т в точке х = а ,-, если разность их значений в этой точке равна 0 к ). В этом случае правая (аналогично левая) разностная производная имеет первый порядок аппроксимации. Разностное выражение определено на двух точках ш Xi + к, т. е. имеет двухточечный шаблон. [c.270]

Если разность между точным и приближенным значениями некоторой величины пропорциональна (Дл )р, что обозначают как О 1(Дд )р], то целое число р будем называть порядком аппроксимации этой величины. Представленные в виде конечных разностей первые производные имеют первый порядок аппроксимации (легко видеть из (7.1), (7.2)), что обычно записывается в виде [c.225]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Представляет интерес другая неявная схема, для которой не важно расположение характеристик. Для общей квазилинейной системы (3.66) в варианте, имеющем первый порядок аппроксимации относительно т, схема записывается так [c.105]

В этом случае говорят, что разностная схема (1.33) имеет первый порядок аппроксимации. Нетрудно убедиться, что неявная схема Эйлера (1.34) также имеет первый порядок аппроксимации. [c.30]

Первый порядок аппроксимации [c.84]

Метод интегрирования нестационарных уравнений газовой динамики на подвижных сетках (в том числе и при движущихся границах расчетной области), имеющий первый порядок аппроксимации, изложен в работе [27], а его модификации, имеющие второй порядок аппроксимации, даны в работах [28, 29]. На основе последних и разработана программа определения нестационарных аэродинамических характеристик подвижного тела. [c.100]

Исходные реализации нестационарной и стационарной (сверхзвуковой) монотонных схем на гладких решениях и на регулярных разностных сетках обеспечивали первый порядок аппроксимации интегрируемых уравнений. Как показано в [26], при сквозном счете поверхностей разрыва для разностных схем любого порядка аппроксимации [c.116]

Хотя в [2-4] были продемонстрированы монотонность и работоспособность предложенной там модификации СГ и показано, что она значительно меньше, чем СГ, размазывает слабые скачки и контактные разрывы (см. также [6-8]), описанная в [2] модификация СГ не получила должного распространения и развития. Из причин, помешавших этому, главными представляются следующие. Во-первых, возможность повышения точности, связанная со вторым порядком аппроксимации уравнений установившегося течения, не реализовывалась из-за размазывания всех скачков и недостаточно точной аппроксимации граничных условий. Во-вторых, на тех же сетках модификация СГ из [2] из-за меньшего максимально допустимого шага интегрирования по времени требует увеличения времени счета. В-третьих, практически все расчеты в рамках указанной модификации велись на почти равномерных сетках, не адаптированных к данной задаче. В то же время на основе соображений [2] и прежде всего ПМП легко предложить почти очевидное обобщение, которое, сохраняя монотонность, обеспечивает первый порядок аппроксимации полной системы уравнений нестационарного течения на произвольных сетках. Далее под [c.202]

Нетрудно показать, что схема (11)-(12) является диссипативной, т.к. проектирование (12) всегда уменьшает кинетическую энергию. Кроме того, она имеет первый порядок аппроксимации по т. Для построения полностью консервативной схемы второго порядка воспользуемся алгоритмом, аналогичным описанному в S1.2 [c.149]

Аппроксимация динамической части. Большинство уравнений динамической части аппроксимируется по явной схеме. Это объясняется эффективностью ее применения к гиперболической системе, которую образуют уравнения движения и неразрывности. Используется первый порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной. [c.168]

Эта неявная схема, формально имеющая первый порядок аппроксимации 0(т), такой же, как и рассмотренная выше чисто неявная схема. При всех тех же значениях т, которые использовались [c.134]

Но так как В > ( 13)Е, то неравенство кВ - Е > О выполняется, если только к > 3. Таким образом, при выборе к, согласно (2.54), справедливы оба неравенства (2.52) и схема (2.51) абсолютно устойчива в норме II 1и д. Применение схемы (2.50) вместо исходной схемы (2.49), как уже отмечалось, позволяет использовать для решения разностных уравнений трехточечную прогонку с матрицами р X р, а не 2р X 2р. Цена этого—первый порядок аппроксимации относительного шага т и более сильные предположения коммутативности матриц М к/л при доказательстве устойчивости независимо от шага т. Первый из этих факторов, как уже отмечалось, является не столь существенным, ес/ги интерес представляет не процесс изменения решения со временем, а стационарное решение, достигаемое в процессе установления. [c.73]

Для решения уравнения Больцмана используется метод прямого статистического моделирования Монте-Карло. В этом методе реальные молекулы заменяются моделирующими частицами. Их число во много раз меньше, чем число молекул в реальном течении. Сечение столкновения этих частиц должно быть увеличено, чтобы моделировать правильное значение частоты столкновений молекул друг с другом. Реальный процесс движения молекул заменяется чередующимися этапами свободного движения частиц и взаимного их столкновения. Этот метод - вариант метода частиц в ячейках - был разработан в 1960-х годах Г. Бердом [7]. Метод имеет первый порядок аппроксимации. [c.124]

Два первых разностных уравнения имеют порядок аппроксимации О (Н ) + О (т), третье О (/г ) + О (т ). Разностные уравнения [c.246]

Имеем ah = 0 h), т. е. порядок аппроксимации первый. [c.77]

Примеры аппроксимаций. Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Это наиболее простой способ аппроксимации. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные (центральные) [c.77]

Уравнения, преобразованные к новым переменным (6.3), содержат неизвестные функции ерь (О и их первые производные, которые совпадают со скоростями распространения соответствующих разрывов. Для всех трех типов разрывов скорость распространения определяется местными значениями основных газодинамических параметров. При описании численных процедур мы предполагали, что величины и [ф ]<, которые входят в коэффициенты характеристических соотношений, берутся с нижнего слоя. Именно поэтому уравнения, определяющие искомые функции слева и справа от разрыва, разделяются. При этом имеем первый порядок точности относительно шага по времени. Однако с помощью стандартной техники пересчета можно построить алгоритм, дающий аппроксимацию второго порядка. При этом для сокращения объема вычислений целесообразно сначала провести расчет в окрестностях всех линий разрыва, а затем находить неизвестные величины во внутренних узлах. [c.148]

Отметим, что схема Годунова монотонна и переводит все монотонные функции в монотонные с тем же направлением роста. Схема Годунова, однако, обладает недостатками, поскольку это схема первого порядка аппроксимации, что приводит к невысокой точности вычислений и существенным ограничениям на шаги. Имеются модификации этой схемы, которые имеют второй порядок аппроксимации. [c.166]

Эта схема при > =1/2 имеет второй порядок точности. При "кф 1/2 порядок аппроксимации первый. При этом остаточный член содержит множитель (>i—1/2), так что при значениях, мало отличающихся от 1/2, схема по точности близка к схеме второго порядка. Функции А, В, Т содержат значения F, G и их производные по л на слоях п и п + Х. [c.168]

Неявная схема переменных направлений является абсолютно устойчивой. Однако прогонка по границе при задании условий 3-го рода и при Вр >1 может стать источником осцилляций и существенных погрешностей на, первых шагах по времени. В программе (см. п. 5.3.1) эта трудность обходится путем представления оператора, описывающего теплообмен на границе, всегда в неявной форме, хотя это и снижает порядок аппроксимации вследствие появляющейся несимметричности схемы. [c.36]

Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате. [c.76]

На первый взгляд явная схема предпочтительнее, так как она имеет такой же порядок аппроксимации О (Ат + К), как и неявная, но не требует решения на каждом шаге по времени систем N уравнений. Однако более подробный анализ показывает, что явная схема условно устойчивая, т. е. устойчивая при определенном ограничении на величину шага по времени Дт. Условие устойчивости для явной схемы (3.23) — (3.25) имеет вид [c.81]

Приведенное сравнение в какой-то мере отвечает на вопрос использовать ли элементы с повышенным порядком аппроксимации и с большим числом степеней свободы в узле либо ориентироваться на более простые элементы В большинстве случаев, особенно при решении больших задач, предпочтение следует отдавать первым элементам, так как они дают возможность достичь необходимой точности при меньшем порядке L разрешающей системы алгебраических уравнений (1.5), Это очень важно, так как при увеличении L обусловленность матрицы К ухудшается, а это может привести к невозможности достижения заданной точности, хотя порядок аппроксимации для используемых типов элементов может обусловливать эту точность. Критерием обусловленности матрицы К может служить спектральное число обусловленности а(К). Чем хуже обусловленность, тем больше а (К). В работе [63] дается оценка а (К), которая при равномерной сетке имеет вид [c.25]

Сопоставление (4.25) и (4.26) показывает, что погрешность аппроксимации при значениях параметра ц, кроме ц = пропорциональна т. е. имеет первый порядок. Порядок погрешности и вычисления из (4.25) на единицу больше, т. е. х = 2, а в случае Т1 = Vg и = 3. [c.159]

Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О (Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации 0(Дх2). Здесь буква О представляет сокращение слова Order, что в переводе означает порядок . [c.60]

Рассмотренные нами схемы Эйлера имеют первый порядок аппроксимации. Для построения схем с более высоким порядком в разложении (1.32) нужно оставить члены более высокого порядка малос- [c.31]

Построенная разностная схема, как уже отмечалось в Гл. 7.4, есть стационарный аналог нестационарной разностной схемы, предолжен-ной в [2] для расчета двумерных нестационарных течений. Па гладких решениях она, как и двумерная схема, описанная в [1], имеет первый порядок аппроксимации. Исследование ее устойчивости проводит- [c.162]

От аналогичных уравнений из [1, 2] уравнения (3.1) отличаются переменой ролей целых и нолуцелых индексов. В (3.1), как и в [1, 2], большими буквами (правда, не с целыми, а с нолуцелыми индексами) обозначены пока не определенные значения Ь на боковых границах ячейки (при X = ж 1/2). Порядок аппроксимации (3.1) зависит от способа определения В 1/2 В схеме Годунова, называемой ниже схемой 1 (или С1), В 1/2 находятся из решения задачи о распаде произвольного разрыва по параметрам (/ = (рп-1 и = (рп для левой границы и по (/ = (/ и = рп+1 для правой. При равномерном или близком к равномерному разбиении по ж, когда различие между Нп-1, Ьп и /гп+1 величина порядка /г , С1 дает первый порядок аппроксимации. Первый порядок (но не только при равномерном разбиении по х) реализуется и в ее модификации [3]. В этой схеме, называемой далее схемой 2 (или С2), решению задачи о распаде предшествует интер- или экстраполяция величин слоя в нолуцелые точки того же слоя, причем каждому по луце лому индексу, например п — 1/2, ставятся в соответствие две точки, с параметрами (/ и (/ +. Для п — 1/2 значение (/ находится экстраполяцией по (рп-2 и рп-1 [c.190]

В заключение этого параграфа отметим, что, несмотря на формально первый порядок аппроксимации, описанная модель обеспечивает хорошее качество расчетов, выражаюгцееся в частности в том, что можно получать решения с достаточно хорошей точностью на очень грубых сетках. По-видимому, это можно объяснить наличием основных законов сохранения, а также неплохими дисперсионными свойствами данной модели (см. сле-дуюгций параграф). [c.39]

Рассмотренная схема С.К. Годунова имеет первый порядок аппроксимации как по пространственной переменной, так и по К настоя1цему времени предложены различные модификации этой схемы, которые обладают более высокими порядками аппроксимации (вторым и третьим). [c.73]

Здесь разностная прошзнодная от давления симметрична отпо-сптельпо точки ( , 1- и имеет в ней второй порядок аппроксимации 0(/г ). Разностная производная по времени от V имеет в этой точке первый порядок аппроксимации 0(т), т. е. уравнение [c.101]

Эта схсма определена па шаблоне (рис. 3.2.6). Обе схемы имеют первый порядок аппроксимации (9(Д + х), и формальное различие между ними состоит лишь п способе записи разпостпой производной по пространству,— в одном случае это правая про-нлподпая (схема (2.2)), в другом - леная (2.3). Тем пе мепее [c.160]

Главный член погрешности аппроксимации есть 0,Бхд и1д1 — —[h l(2х)]д и/дх , и схема имеет первый порядок точности по h и t, если x=rh. [c.79]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

В ONDU T необходимый порядок аппроксимации граничных условий может быть выбран установкой параметра (индикатора) KORD. Он может принимать значения 1 или 2, что соответствует первому или более высокому порядку аппроксимации. Значение KORD, задаваемое по умолчанию, равно 2, и его не часто приходится менять. [c.87]

Из системы (5.2.3) следует первое уравнение на равномерной сетке имеет второй порядок аппроксимации, второе и третье — первый. Для получения П-формы первого дифференциального приблин ения воспользуемся системой (5.2.2) для выражения производных во втором и третьем уравнениях, стоящих в квадратных скобках. Легко видеть, что множитель при — h во втором уравнении есть продифференцированное по 0 уравнение системы (5.2.2), множитель при- А есть продифференцированное по i второе уравнение системы (5.2.2). Аналогично в третьем уравнении множитель приДоесть продифференцировапное по t [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...